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第83课时+二项式定理


第 83 课时 二项式定理
一、知识要点
0 1 2 r n 1.二项式定理: (a ? b) n ? C n a n ? C n a n ?1b ? C n a n ?2 b 2 ? ? ? C n a n ?r b r ? ? ? C n b n r 2.二项式通项公式: Tr ?1 ? C n a n ?r b r (r=0,1,2,?,n)


3.二项式系数的性质:

(a ? b) n 的展开式的二项式系数有如下性质:

(1)在二项展开式中,与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。 (2)如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等且最大。 (3) C n ? C n ? C n ? ?? ? C n
0 1 2 0 2 4 1 n?2 n n ? C n ?1 ? C n ? 2 n 3 5 n ?1

(4) C n ? C n ? C n ? ?? ? C n ? C n ? C n ? ?? ? 2

4.二项展开式的系数 a0,a1,a2,a3,?,an 的性质:f(x)= a0+a1x+a2x +a3x ??

2

3

+anxn
⑴ a0+a1+a2+a3??+an=f(1) ⑶ a0+a2+a4+a6??= ⑸ a0=f(0)
f (1) ? f (?1) 2

⑵ a0-a1+a2-a3??+(-1) an=f(-1) ⑷ a1+a3+a5+a7??=
f (1) ? f (?1) 2

n

⑹ |a0|+|a1|+|a2|+|a3|??+|an|=?

5. 注意(1)奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。
(2) “某项”“某项的二项式系数”“某项的系数”之间的区别。 、 、

自主复习
1(湖北卷)在 ( x ? A.3 项 2( x ? (A)0
3

1 24 ) 的展开式中, x 的幂的指数是整数的项共有 x
B.4 项 C.5 项 D.6 项

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 3x

(B)2

(C)4

(D)6

解析:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识; (1) Tr+1=C24 x
r 24-r

(-

72-4 r 1 r r ) =(-1)rC24 x 3 ,当 r=0,3,6,9,12,15,18,21, 3 x

24 时,x 的指数分别是 24,20,16,12,8,4,0,-4,-8,其中 16,8,4,0,-8 均 为 2 的整数次幂,故选 C;
3r ?10 1 ? ? r r 1 10 ? r r 1 ? C10 ( )10?r x 2 ,因此含 x 的 (2) ? x ? ? 的展开式通项为 C12 ( x ) ( ) 3x ? 3x 3 ?

10

正整数次幂的项共有 2 项.选 B; 点评:多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量

化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x ? 0 .在二项 式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别。 3(06 江西卷)在(x- 2 )2006 的二项展开式中,含 x 的奇次幂的项之和为 S,当 x = 2 时,S 等于( ) A.23008 B.-23008
n

C.23009

D.-23009

i ? ? 2 3 2 ( 4 06 山东卷) 已知 ? x ? ? 的展开式中第三项与第五项的系数之比为- ,其中 i = 14 x? ?
-1,则展开式中常数项是( ) (A)-45i (B) 45i 5(06 浙江卷)若多项式 (A)9 (B)10 (C) -45 (D)45 )

x 2 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? a9 ( x ? 1) 2 ? a10 ( x ? 1)10 , 则a9 ? (
(C)-9 (D)-10 解析: (1)设(x- 2 )2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006;

则当 x= 2 时,有 a0( 2 )2006+a1( 2 )2005+…+a2005( 2 )+a2006=0 (1) , 当 x=- 2 时,有 a0( 2 )2006-a1( 2 )2005+…-a2005( 2 )+a2006=23009 (2) , (1)-(2)有 a1( 2 )2005+…+a2005( 2 )=-23009?2=-23008 ,故选 B;


(2)第三项的系数为- Cn ,第五项的系数为 Cn ,由第三项与第五项的系数之比为-
40 ?5 r i r 3 r 2 10 ? r r r ) = (?i) C10 x 2 ,令 40-5r=0,解得 r=8, 可得 n=10,则 Tr ?1 ? C10 ( x ) (? 14 x

2

4

故所求的常数项为 ( ?i ) C10 =45,选 A;
8 8

( 3 ) 令 x ? ?2 , 得 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a9 ? a10 ? 2 ? 2
2

10

, 令 x?0 , 得

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? a10 ? 0 ;
点评:本题考查二项式展开式的特殊值法,基础题;

典例剖析
三、例题分析
题型 1 二项式通项公式的应用 【例 1】. 如果在( x +

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数成等差数列,求展

开式中的有理项. 例 1.解:展开式中前三项的系数分别为 1, , 由题意得 2× =1+
n 2 n(n ? 1) ,得 n=8. 8 n 2 n(n ? 1) , 8

r 设第 r+1 项为有理项,T r ?1 =C 8 ·

1 ·x 2r

16 ? 3 r 4

,则 r 是 4 的倍数,所以 r=0,

4,8. 有理项为 T1=x4,T5= r.
【变式与拓展】 . 求式子(|x|+ .

1 35 x,T9= . 8 256x 2

评述:求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式,用待定系数法确定
1 -2)3 的展开式中的常数项. | x| 1 1 1 1 解法一: (|x|+ -2)3=(|x|+ -2) (|x|+ -2) (|x|+ | x| | x| | x| | x| 1 ,一个括号取-2,得 C 1 C 12 (-2)=-12, 3 | x|

3 -2) 得到常数项的情况有: ①三个括号中全取-2,得(-2) ;②一个括号取|

x|,一个括号取

∴常数项为(-2)3+(-12)=-20. 解法二: (|x|+
1 1 -2)3=( | x | - )6. | x| |x|

设第 r+1 项为常数项,
r 则 T r ?1 =C 6 · (-1)r· (

1 r )r·|x| 6? r =(-1)6·C 6 ·|x| 6?2r ,得 6-2r=0, | x|

r=3. ∴T3+1=(-1)3·C 3 =-20. 6
题型 2 组合和二项式知识的综合应用 10 3 4 3 【例 2】求(a-2b-3c) 的展开式中含 a b c 项的系数.

.解: (a-2b-3c)10=(a-2b-3c) (a-2b-3c)?(a-2b-3c) ,从 10 个括号中任取 3 个括号,从中取 a;再从剩余 7 个括号中任取 4 个括号,从中取
4 3 4 -2b; 最后从剩余的 3 个括号中取-3c, 得含 a3b4c3 的项为 C 10 a3C 7 · (-2b) C 3 3
3 4 3 4 (-3c)3=C 10 C 7 C 3 2 4 (-3)3a3b4c3.所以含 a3b4c3 项的系数为-C 10 C 7 ×16× 3

27
【变式与拓展】.(1)求(1+x+x +x ) (1-x) 的展开式中 x 的系数; 4 (2)求(x+ -4)4 的展开式中的常数项; x
2 3 7 4

(3)求(1+x)3+(1+x)4+?+(1+x)50 的展开式中 x3 的系数. 解: (1)原式=
4 (-1)4C 6 -

1? x4 (1-x)7=(1-x4) (1-x)6,展开式中 x4 的系数为 1? x

1=14.

(2) (x+ -4)4= 1)4=1120.

4 x

( x 2 ? 4 x ? 4) 4 x4

=

(2 ? x) 8 x4

4 ,展开式中的常数项为 C 8 2 4 · (-

(3)方法一:原式=

(1 ? x) 3 [(1 ? x) 48 ? 1] (1 ? x) 51 ? (1 ? x) 3 = . (1 ? x) ? 1 x

4 展开式中 x3 的系数为 C 51 .

方法二:原展开式中 x3 的系数为
4 4 C 3 +C 3 +C 3 +?+C 3 =C 4 +C 3 +?+C 3 =C 5 +C 3 +?+C 3 =?=C 51 . 50 50 50 3 4 5 4 4 5

评述:把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.
题型 3 二项式定理和数列的综合应用 【例 3】. 设 an=1+q+q +?+q n ?1(n∈N ,q≠±1) n=C 1 a1+C 2 a2+?+C n an. ,A n n n
2 *

(1)用 q 和 n 表示 An; (2) (理)当-3<q<1 时,求 lim ? n? 例 3.解: (1)因为 q≠1, 所以 an=1+q+q2+?+q n ?1 =
1? qn . 1? q

An 2n

.

于是 An=

1? q2 1? qn n 1? q C 1n + C 2 +?+ Cn n 1? q 1? q 1? q

=

1 [ 1n +C 2 +?+C n )-(C 1n q+C 2 q2+?+C n qn) (C ] n n n n 1? q
1 {(2n-1)-[ (1+q)n-1]} 1? q 1 [2n-(1+q)n]. 1? q

=

=

(2)

An 2
n

=

1? q n 1 [1-( ) ]. 1? q 2

因为-3<q<1,且 q≠-1, 所以 0<| 所以 lim ? n?
1? q |<1. 2
An 2
n

=

1 . 1? q

题型 4 二项式定理在整除方面的应用

被 20 除后的余数; 解析: (1)首先考虑 4·6n+5n+1 被 4 整除的余数。 ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+?+Cn+1n·4+1, ∴其被 4 整除的余数为 1, ∴被 20 整除的余数可以为 1,5,9,13,17, 然后考虑 4·6n+1+5n+1 被 5 整除的余数。 ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+?+Cnn-1·5+1), ∴被 5 整除的余数为 4, ∴其被 20 整除的余数可以为 4,9,14,19。 综上所述,被 20 整除后的余数为 9。 变式(1)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+?+Cnn-1×7 除以 9,得余数是多少? 变式(2)根据下列要求的精确度,求 1.025 的近似值。①精确到 0.01;②精 确到 0.001。 变式(1)解: 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+?+Cnn-1·7 =(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1 =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+?+(-1)n-1Cnn-1·9+(-1)nCnn-1 (i)当 n 为奇数时 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+?+(-1)n-1Cnn-1·9-2 ∴除以 9 所得余数为 7。 (ii)当 n 为偶数时 原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+?+(-1)n-1Cnn-1·9 ∴除以 9 所得余数为 0,即被 9 整除。 变式(2)(1.02)5≈(1+0.02)5 =1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025 ∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5 ∴①当精确到 0.01 时,只要展开式的前三项和,1+0.10+0.004=1.104,近似 值为 1.10。 ② 当 精 确 到 0.001 时 , 只 要 取 展 开 式 的 前 四 项 和 , 1+0.10+0.004+0.0008=1.10408,近似值为 1.104。 点评: (1)用二项式定理来处理余数问题或整除问题时,通常把底数适当地 拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论; (2)用二项式定理来求近似值,可以根据不同精确度来确定应该取到展开 式的第几项。

【例 4】 (1)求 4×6 +5

n

n+1

能力训练选择题
1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有 20 个灯泡,只要有一只灯泡坏了,整 串灯泡就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 A.20 B.219 C.220 D.220-1 2.(2004 年福建,文 9)已知(x- 常数,则展开式中各项系数的和是 A.28 B.38 D.1 或 28
a 8 ) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是 x

C.1 或 38

3.(05 浙江卷)在(1-x)5-(1-x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是( (A) -5 (B) 5 (C) -10
n

)

(D) 10

? 1 ? 1 4.(05 山东)如果 ? 3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是 3 2 x x ? ?
( ) (A)7 (B) ?7
n

(C)21

(D) ?21

1? 1 1 ? 5.(05 重庆卷)8. 若 ? 2 x ? ? 展开式中含 2 项的系数与含 4 项的系数之比为?5, x? x x ?

则 n 等于( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 10。 n 3 6. (05 重庆卷)在(1?2x) 展开式中含 x 的项的系数等于含 x 的项的系数的 8 倍,则 n 等于( ) (A) 5; (B) 7; (C) 9; (D) 11。 填空题
7.(05 全国卷Ⅰ) ( 2 x ?

1 x

) 9 的展开式中,常数项为

。 (用数字作答)

8.(2004 年全国Ⅳ,13) (x-

1 x

)8 展开式中 x5 的系数为_____________.
1 x x

9.(2004 年湖南,理 15)若(x3+ n=_____________.

) n 的展开式中的常数项为 84,则

10.已知(x lg x +1)n 展开式中,末三项的二项式系数和等于 22,二项式系数最大 项为 20000,求 x 的值. 11.若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11. 求: (1)a1+a2+a3+?+a11; (2)a0+a2+a4+?+a10. 12.在二项式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m、n≠0)中有 2m+n=0,如果它的展 开式里最大系数项恰是常数项. (1)求它是第几项; (2)求
1 n a 的范围. b

13.求证:2<(1+ )n<3(n≥2,n∈N*).
? ? 1? ? (n ? N , 且n ? 1, x ? N ) 。 n?
n

14 设函数 f ( x) ? ?1 ?

(Ⅰ)当 x=6 时,求 ?1 ?

? ?

1? ? 的展开式中二项式系数最大的项; n?

n

(Ⅱ)对任意的实数 x,证明

f (2 x) ? f (2) > f ?( x)( f ?( x)是f ( x)的导函数); 2

参考答案 能力训练: 1—6 DCDCC 11. (1)-65; A 7.672 (2) -32.
8. 28

9. 9

10. x ? 10或x ?

1 . 10

r r 12. 解: (1)设 T r ?1 =C 12 (axm)12-r· n)r=C 12 a12-rbrxm(12-r)+nr 为常数项,则 (bx

有 m(12-r)+nr=0,即 m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第 5 项. (2)∵第 5 项又是系数最大的项,
4 3 C 12 a8b4≥C 12 a9b3,

∴有



4 5 C 12 a8b4≥C 12 a7b5.


12 ? 11 ? 10 ? 9 8 4 12 ? 11 ? 10 9 3 ab≥ ab, 4 ? 3? 2 3? 2 a 9 9 ∵a>0,b>0,∴ b≥a,即 ≤ . 4 4 b a 8 a 8 9 由②得 ≥ ,∴ ≤ ≤ . 5 4 b 5 b 1 1 1 1 1 13.证明: (1+ )n=C 0 +C 1n × +C 2 ( )2+?+C n ( )n=1+1+C 2 × 2 +C 3 × n n n n n n n n n n n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 1 + ? +C n × n =2+ × + × + ?+ × n 3 3 2 2! 3! n! n n n n n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 1 1 <2+ + n 2! 3! n

由①得

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 + +?+ <2+ + 2 + 3 +?+ n ?1 =2+ =3-( ) n ?1 <3.显然(1+ ) 1 2 2 2 n 4! n! 2 2 1? 2
n

=1+1+C 2 × n

1 1 1 1 +C 3 × 3 +?+C n × n >2.所以 2<(1+ )n<3. n n 2 n n n n
3 3 5 6

? 1 ? 20 14(Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,这项是 C 1 ? ? ? 3 n ?n?
(Ⅱ)

证法一: 因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? ?1 ? ? n? ? n?
n

2n

2

? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n? ? n?
n n

2n

2

? 1? ? 1? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n?

n

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ln ?1 ? ? ? 2 f ' ? x ? ? n? ? 2? ? n? ? n?

证法二:

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? n? ? n? ? n? ? n? ? n?

2n

2

2n

2

n

? 1? ? ?1 ? ? ? n?

? 1? ? 1? 而 2 f ? x ? ? 2 ?1 ? ? ln ? 1 ? ? ? n? ? n?
'

n

故只需对 ? 1 ?

? ?

1? ? 1? ? 和 ln ?1 ? ? 进行比较。 n? ? n?

' 令 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,有 g ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? x x



x ?1 ? 0 ,得 x ? 1 x
' '

因为当 0 ? x ? 1 时, g ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减;当 1 ? x ? ?? 时, g ? x ? ? 0 , g ? x ? 单 调递增,所以在 x ? 1 处 g ? x ? 有极小值 1 故当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 1 , 从而有 x ? ln x ? 1,亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x 故有 ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? ln ?1 ? ? 恒成立。 n? ? n?
'

所以 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? 2 f

? x ? ,原不等式成立。


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