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江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(理科)【解析版】


江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学 2014-2015 学年高 二下学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)如果 a1,a2,a3,a4,a5,a6 的方差为 3,那么 2(a1﹣3) ,2(a2﹣3) ,2(a3﹣3) , 2(a4﹣3) ,2(a5﹣3) ,2(a6﹣3)的方差是() A.0 B. 3 C. 6 D.12 2. (5 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间,将测试结 果按如下方式分成六组:每一组,成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒;第二组,成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒;…第六组,成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒.如图是按上述分组方 法得到的频率分布直方图.设成绩小于 17 秒的学生人数占全班人数的百分比为 x,成绩大 于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y,则从频率分布直方图中可以分析出 x 和 y 分别为 ()

[来源:学科网] A.0.9,35 3. (5 分)在 A.﹣120 B.0.9,45
4

C.0.1,35

D.0.1,45

的展开式中,x 的系数为() B.120 C.﹣15 D.15

4. (5 分)有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个 座位,现安排 2 人就座,规定前排中间 的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是() A.234 B.346 C.350 D.363 5. (5 分)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()

题,

A.

B.

C.
2

D.

6. (5 分)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ) ,P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)=() A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 7. (5 分)设集合 I={1,2,3,4,5}.选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数 大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有() A.50 种 B.49 种 C.48 种 D.47 种 8. (5 分)若(1﹣2x) =a0 +a1x+a2x +…+a8x +a9x ,则 a1+a2+…+a8 的值为() A.﹣1 B.﹣2 C.﹣512 D.510 9. (5 分)设 a>b>1,C<0,给出下列三个结论: ① > ; ②a <b ; ③logb(a﹣c)>loga(b﹣c) . 其中所有的正确结论的序号() A.① B.①②
c c 9 2 8 9

C.②③

D.①②③

11. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几 何体的体积为()

A.6

B. 9

C.12

D.18

12. (5 分)一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球 的体积是() 题,

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,中间一列的数字 表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人日加工 零件的平均数分别为和.

14. (5 分)已知 x、y 的取值如表所示: x 0 1 y 2.2 4.3

3 4.8

4[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 6.7

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a,则 a=. 15. (5 分)任取实数 a,b∈[﹣1,1],则 a,b 满足|a﹣2b|≤2 的概率为. 16. (5 分)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个 黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红 球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事 件,则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号) . ① ② ; ;

③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中哪一个发生有关.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千克)与 月储蓄 y (单位: 千元) 的数据资料, 计算得 i 源:学科网 ZXXK] xi=80, yi=20, xiyi=184, xi =720. [来
2

题,

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程 = x+ ,并判断变量 x 与 y 之间是 正相关还是负相关; (Ⅱ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

注:线性回归方程 = x+ 中, =

,其中 , 为样本平均值.

18. (12 分)一批零件中有 10 个合格品和 2 个次品,安装机器时从这批零件中逐个任选, 取取到 2 个合格品才能安装成功,若取出次品,则不再放回. (1)求最多取 3 次零件就能安装成功的概率; (2)求安装成功前已取出的次品数 ξ 的概率分布,期望和方差. 19. (12 分) 如图, 已知四棱锥 P﹣ABCD, 底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=60°, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ﹣C 的余弦值. ,求二面角 E﹣AF

20. (12 分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查, 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布 直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 题,

非体育迷体育迷合计 男 女 10 55 合计 (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方 法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X,若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X) P( K ≥k)0.05 0.01 k 3.8416.635 . 21. (12 分)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (Ⅰ)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (Ⅱ)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 , 答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数, 求 X 的分布列和数学期望. 22. (10 分)已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围.
2

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)如果 a1,a2,a3,a4,a5,a6 的方差为 3,那么 2(a1﹣3) ,2(a2﹣3) ,2(a 3﹣3) , 2(a4﹣3) ,2(a5﹣3) ,2(a6﹣3)的方差是() A.0 B. 3 C. 6 D.12 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子,进行对比容易得出结果. 解答: 解:由于数据 a1,a2,a3,a4,a5,a6 的平均数为 = (a1+a2+a3+a4+a5+a6) , 方差为 3= [( a1﹣ ) +(a2﹣ ) +…+(a6﹣ ) ],
2 2 2

题,

则 2(a1﹣3) ,2(a2﹣3) ,2(a3﹣3) ,2(a4﹣3) ,2(a5﹣3) ,2(a6﹣3)的平均数为: ×[2(a1﹣3)+2(a2﹣3)+2(a3﹣3)+2(a4﹣3)+2(a5﹣3)+2(a6﹣3)] =2×[ (a1+a2+a3+a4+a5+a6)﹣3]=2( ﹣3) , 其方差 ×{[2(a1﹣3)﹣2( ﹣3)] +[2(a2﹣3)﹣2( ﹣3)] +…+[2(a6﹣3)﹣2( ﹣ 3)] } = ×2 ×[(a1﹣ ) +(a2﹣ ) +…+(a6﹣ ) ]=2 ×3=12, 故选:D. 点评: 主要考查了求平均数和方差的方法. 平均数为所有数据的和除以数据的个数; 方差 S = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ].
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2. (5 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间,将测试结 果按如下方式分成六组:每一组,成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒;第二组,成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒;…第六组,成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒.如图是按上述分组方 法得到的频率分布直方图.设成绩小于 17 秒的学生人数占全班人数的百分比为 x,成绩大 于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y,则从频率分布直方图中可以分析出 x 和 y 分别为 ()

A.0.9,35

B.0.9,45

C.0.1,35

D.0.1,45

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: 频率分布直方图中,小矩形的高等于每一组的频率/组距,它们与频数成正比,小 矩形的面积等于这一组的频率.建立相应的关系式,即可求得. 解答: 解:从频率分布直方图上可以看出 x=1﹣(0.06+0.04)=0.9, y=50×(0.36+0.34)=35, 故选:A 点评: 本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力, 基 本上是低起点题. 题,

3. (5 分)在 A.﹣120

的展开式中,x 的系数为() B.120 C.﹣15 D.15

4

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 4 求出 x 的系数 解答: 解:在 x 项是
4 4

的展开式中 =﹣15x ,
4

故选项为 C. 点评: 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 4. (5 分)有两 排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间 的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是() A.234 B.346 C.350 D.363 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 前排中间的 3 个座位不能坐, 并且这 2 人不左右相邻, 当两个人分别在前排和后排 做一个时,前排有 8 种,后排有 12 种,两个人之间还有一个排列,当两个人都在前排坐时, 因为两个人不相邻,可以列举出所有情况,当两个人都在后排时,也是用列举得到结果,根 据分类计数得到结果. 解答: 解:由题意知本题需要分类讨论 (1)前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻, 前排一个,后排一个共有 2C8 ?C12 =192. (2)后排坐两个(不相邻) , 2(10+9+8+…+1)=110. (3)前排坐两个 2(6+5+…+1)+2=44 个. ∴总共有 192+110+44=346 个. 故选 B. 点评: 本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题, 题目的分类要做到不重不漏. 5. (5 分)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()
1 1

题,

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 求出阴影部分的面积即可,连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后 利用位移割补的方法, 分别平移到图中划线部分, 那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积 ﹣直角三角形 AOB 的面积. 解答: 解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 ,

连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图 中划线部分,则阴影部分的面积为: ﹣ ,

∴此点取自阴影部分的概率是



故选 C.

点评: 本题考查几何概型, 解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积, 此类不规 则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算. 6. (5 分)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ) ,P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)=() A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 分析: 由正态分布曲线知,P(ξ≤0)=1﹣P(ξ≤4) . 解答: 解:由 P(ξ≤4)=P(ξ﹣2≤2)=P 又 P(ξ≤0)=P(ξ﹣2≤﹣2)=P 故选 A. =0.84. =0.16.
2

题,

点评: 本题考查正态曲线的形状认识,从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的 曲线,其对称轴为 x=μ,并在 x=μ 时取最大值 从 x=μ 点开始,曲线向正负两个方向递减延 伸, 不断逼近 x 轴, 但永不与 x 轴相交, 因此说曲线在正负两个方向都是以 x 轴为渐近线的. 7. (5 分)设集合 I={1,2,3,4,5}.选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数 大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有() A.50 种 B.49 种 C.48 种 D.47 种 考点: 组合及组合数公式. 专题: 压轴题;分类讨论. 分析: 解法一,根据题意,按 A、B 的元素数目不同,分 9 种情况讨论,分别计算其选法 种数,进而相加可得答案; 解法二,根据题意,B 中最小的数大于 A 中最大的数,则集合 A、B 中没有相同的元素,且 都不是空集,按 A、B 中元素数目这和的情况,分 4 种情况讨论,分别计算其选法种数,进 而相加可得答案. 解答: 解: 解法一,若集合 A、B 中分别有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种; 3 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =10 种; 4 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C5 =5 种; 5 若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有四个元素,则选法种数有 C5 =1 种; 3 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种; 4 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =5 种; 5 若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有 C5 =1 种; 4 若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =5 种; 5 若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =1 种; 5 若集合 A 中有四个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =1 种; 总计有 49 种,选 B. 解法二:集合 A、B 中没有相同的元素,且都不是空集, 2 从 5 个元素中选出 2 个元素,有 C5 =10 种选法,小的给 A 集合,大的给 B 集合; 3 从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C5 =10 种选法,再分成 1、2 两组,较小元素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 2×10=20 种方法; 4 从 5 个元素中选出 4 个元素,有 C5 =5 种选法,再分成 1、3;2、2;3、1 两组,较小元素 的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 3×5=15 种方法; 5 从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C5 =1 种选法,再分成 1、4;2、3;3、2;4、1 两组,较 小元素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 4×1=4 种方法; 总计为 10+20+15+4=49 种方法.选 B. 点评: 本题考查组合数公式的运用,注意组合与排列的不同,进而区别运用. 8. (5 分)若(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+a8x +a9x ,则 a1+a2+…+a8 的值为() A.﹣1 B.﹣2 C.﹣512 D.510 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 分别令 x=0,x=1 可得 a1+a2+…+a8+a9,再由二项式定理可得 a9 的值,相减可得. 题,
9 2 8 9 2

解答: 解:令 x=0 可得 1=a0, 令 x=1 可得﹣1=a0+a1+a2+…+a8+a9, ∴a1+a2+…+a8+a9=﹣1﹣a0=﹣2, 再由二项式定理可得 a9= (﹣2) =﹣512,
9

∴a1+a2+…+a8=﹣2﹣a9=﹣2﹣(﹣512)=510 故选:D. 点评: 本题考查二项式定理,赋值是解决问题的关键,属基础题. 9. (5 分)设 a>b>1,C<0,给出下列三个结论: ① > ; ②a <b ; ③logb(a﹣c)>loga(b﹣c) . 其中所有的正确结论的序号() A.① B.①②
c c

C.②③

D.①②③

考点: 不等式比较大小. 专题: 计算题. c 分析: 利用作差比较法可判定①的真假, 利用幂函数 y=x 的性质可判定②的真假, 利用 对数函数的性质可知③的真假. 解答: 解:① ﹣ = 确; ②考查幂函数 y=x ,∵c<0∴y=x 在(0,+∞)上是减函数,而 a>b>0,则 a <b 正确; [来源:学科网] ③当 a>b>1 时,有 logb(a﹣c)>logb(b﹣c)>loga(b﹣c) ;正确. 故选 D. 点评: 本题主要考查了不等式比较大小,以及幂函数与对数函数的性质,属于基础题.
c c c c

,∵a>b>1,c<0∴ ﹣ =

>0,故 > 正

11. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几 何体的体积为()

A.6 题,

B. 9

C.12

D.18

[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可. 解答: 解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为 3; 底面三角形斜边长为 6,高为 3 的等腰直角三角形, 此几何体的体积为 V= ×6×3×3=9.

故选 B. 点评: 本题考查三视图与几何体的关系,考查几何体的体积的求法,考查计算能力. [来源:Z§xx§k.Com] 12. (5 分)一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球 的体积是() A. B. C. D.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 利用条件:球心到这个平面的距离是 4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半 径,然后求出球的体积. 解答: 解:一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,就是小圆的直径为 6, 又球心到这 个平面的距离是 4cm, 所以球的半径是:5cm 所以球的体积是: 故选 C. 点评: 本题考查球的体积,考查计算能力,是基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,中间一列的数字 表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人日加工 零件的平均数分别为 24 和 23.

考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 茎叶图中共同的数字是数字的十位, 这事解决本题的突破口, 根据所给的茎叶图看 出两组数据,代入平均数个数求出结果,这是一个送分的题目. 解答: 解:由茎叶图知, 题,

甲加工零件个数的平均数为 乙加工零件个数的平均数为

; .

故答案为:24;23. 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,属于容易题.对于一组数据,通常要求的是这组数据 的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或 填空题.考查最基本的知识点. 14. (5 分)已知 x、y 的取值如表所示: x 0 1 y 2.2 4.3

3 4.8

4 6.7

从散点图分析,y 与 x 线性相关,且 =0.95x+a,则 a=2.6. 考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 根据表中的数据可以分别求出变量 x,y 的算术平均值,而根据回归方程知道直线 的斜率为 0.95,然后带入求截距的公式即可求出 a. 解答 : 解:根据表中数据得: 又由回归方程知回归方程的斜率为 0.95; ∴ . ;

故答案为:2.6. 点评: 考查线性相关的概念, 回归方程中直线的斜率和截距的计算公式, 以及变量的算术 平均值的计算. 15. (5 分)任取实数 a,b∈[﹣1,1],则 a,b 满足|a﹣2b|≤2 的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 用不等式组表示平面区域,利用几何概型的概率公式,分别求出对应区域的面积, 即可得到结论. 解答: 解:∵a、b∈[﹣1,1], ∴﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1,对应区域的面积为 2×2=4, 不等式|a﹣2b|≤2 对应的区域如图(阴影部分) : 当 a=﹣1 时有 a﹣2b=﹣2 得 b= , 则阴影部分的面积为 4﹣2× ×1× = , 由几何概型的概率公式可得 a、b 满足|a﹣2b|≤2 的概率 P= ,[来源:学科网]

题,

故答案为: .

点评: 本题主要考查几何概型的应用,利用不等式表示平面区域,求出相应的平面区域, 求出相应的面积是解决本题的关键. 16. (5 分)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个 黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红 球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事 件,则下列结论中正确的是②④(写出所有正确结论的编号) . ① ② ; ;

③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中哪一个发生有关. 考点: 互斥事件的概率加法公式. 专题: 压轴题. 分析: 本题是概率的综合问题,掌握基本概念,及条件概率的基本运算是解决问题的关 键.本题在 A1,A2,A3 是两两互斥的事件,把事件 B 的概率进行转化 P(B)=P(B|?A1) +P(B?A2)+P(B?A3) ,可知事件 B 的概率是确定的. 解答: 解:易见 A1,A2,A3 是两两互斥的事件, . 故答案为:②④ 点评: 概率的综合问题,需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千克)与 月储蓄 y( 千元) 的数据资 料, 计算得 i 单位: xi=80, yi=20, xiyi=184, xi =720.
2

题,

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程 = x+ ,并判断变量 x 与 y 之间是 正相关还是负相关; (Ⅱ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

注:线性回归方程 = x+ 中, =

,其中 , 为样本平均值.

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意可知 n=10, = xi=8, = yi=2,代入可得 b 值,进而可

得 a 值,可得方程,由回归方程 x 的系数 b 的正负可判; (Ⅱ)把 x=7 代入回归方程求其函数值即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,n=10, = xi=8, = yi=2,

∴ =

=0.3, =2﹣0.3×8=﹣0.4,

∴ =0.3x﹣0.4, ∵0.3>0, ∴变量 x 与 y 之间是正相关; (Ⅱ)x=7 时, =0.3×7﹣0.4=1.7 千元. 点评: 本题考查线性回归方程的求解及应用,属基础题. 18. (12 分)一批零件中有 10 个合格品和 2 个次品,安装机器时从这批零件中逐个任选, 取取到 2 个合格品才能安装成功,若取出次品,则不再放回. (1)求最多取 3 次零件就能安装成功的概率; (2)求安装成功前已取出的次品数 ξ 的概率分布,期望和方差. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意可得取 2 次、3 次能安装成功的概率,相加可得; (2)由题意可得 ξ 的取值为:0,1,2,分别可求得相应的概率,可得期望和方差. 解答: 解: (1)由题意可得取 2 次 能安装成功的概率为: 恰好取 3 次安装成功的概率为: × × + × × = ; × = ;

题,

∴最多取 3 次成功的概率为:P=

+

=



(2)由题意可得 ξ 的取值为:0,1,2, 可求得 P(ξ=0)= ∴Eξ=1× +2× = ,P(ξ=1)=
2

,P(ξ=2)=1﹣
2

﹣ ﹣(

=
2

;[来源:Z.xx.k.Com] ﹣ = .

.Dξ=Eξ ﹣(Eξ) =1×

+4×

)=

点评: 本题考查离散型随机变量的期望与方差, 求出相应的概率是解决问题的关键, 属中 档题. 19. (12 分) 如图, 已知四棱锥 P﹣ABCD, 底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=60°, E,F 分别是 BC,PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ﹣C 的余弦值. ,求二面角 E﹣AF

考点: 平面与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)要证明 AE⊥PD,我们可能证明 AE⊥面 PAD,由已知易得 AE⊥PA,我们只 要能证明 AE⊥AD 即可,由于底面 ABCD 为菱形,故我们可以转化为证明 AE⊥BC,由已 知易我们不难得到结论. (2)由 EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ,我们分析后可得 PA 的值,由(1)的

结论,我们进而可以证明平面 PAC⊥平面 ABCD,则过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC,过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角,然后我们 解三角形 ASO,即可求出二面角 E﹣AF﹣C 的余弦值. 解答: 证明: (Ⅰ) 证明: 由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°, 可得△ ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA?平面 PAD,AD?平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD.又 PD?平面 PAD, 所以 AE⊥PD. 解: (Ⅱ)设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH. 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD, 题,

则∠EHA 为 EH 与平面 P AD 所成的角. 在 Rt△ EAH 中, , 所以当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时 ,

因此 .又 AD=2,所以∠ADH=45°, 所以 PA=2. 因为 PA⊥平面 ABCD,PA?平面 PAC, 所以平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角, 在 Rt△ AOE 中, 又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ ASO 中, 又 , , , ,

在 Rt△ ESO 中,

,[来源:学科网 ZXXK]

即所求二面角的余弦值为



点评: 求二面角的大小, 一般先作出二面角的平面角. 此题是利用二面角的平面角的定义 作出∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角,通过解∠AOC 所在的三角形求得∠ESO.其解 题过程为:作∠ESO→证∠ESO 是二面角的平面角→计算∠ESO,简记为“作、证、算”. 20. (12 分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查, 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布 直方图:

题,

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷体育迷合计 男 女 10 55 合计 (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方 法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X,若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X) 2 P( K ≥k)0.05 0.01 k 3.8416.635 . 考点: 独立性检验的应用;频率分布直方图. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (I)根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表,再代入公式计算得出 K , 与 3.841 比较即可得出结论; (II)由题意,用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是 ,由于 X∽B (3, ) ,从而给出分布列,再由公式计算出期望与方差即可 解答: 解: (I)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得: K=
2 2

=

≈3.03,

因为 3.03<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

题,

(II)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取 到一名“体育迷”的概率是 , 由题意 X∽B(3, ) ,从而分布列为 X P 所以 E(X)=np=3× = .D(X)=npq=3× × = . 0 1 2 3

点评: 本题考查独立性检验的运用及期望与方差的求法, 频率分布直方图的性质, 涉及到 的知识点较多,有一定的综合性,难度不大,是 2015 届高考中的易考题型 21. (12 分)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (Ⅰ)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (Ⅱ)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 , 答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数, 求 X 的分布列和数学期望. [来源:学科网 ZXXK] 考点: 离散型随机变量及其分布列; 古典概型及其概率计算公式; 离散型随机变量的期望 与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (I)从 10 道试题中取出 3 个的所有可能结果数有 ,张同学至少取到 1 道乙类

题的对立事件是:张同学取到的全为甲类题,代入古典概率的求解公式即可求解 (II)先判断随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取 值的概率,即可求解分布列及期望值 解答: 解: (I)设事件 A=“张同学至少取到 1 道乙类题” 则 =张同学至少取到的全为甲类题 ∴P(A)=1﹣P( )=1﹣ =

(II)X 的所有可能取值为 0,1,2,3 P (X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= X 的分布列为 题, + = = = =

X P EX=

0

1

2

3

点评: 本题主要考查了古典概型及计算公式, 互斥事件、 离散型随机变量的分布列及期望 值的求解,考查了运用概率知识解决实际问题的能力. 22. (10 分)已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)不等式 f(x)≤3 就是|x﹣a|≤3,求出它的解集,与{x|﹣1≤x≤5}相同,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,根据 f(x)+f(x+5) 的最小值≥m,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(x)≤3 得|x﹣a|≤3, 解得 a﹣3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤5}, 所以 解得 a=2. (6 分)

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5) ,

于是

所以当 x<﹣3 时,g(x)>5; 当﹣3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m 即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(﹣∞,5]. (12 分) 点评: 本题考查函数恒成立问题,绝对值不等

题,


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