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2集合学案+作业(含解析)


第二节 集__合

一、元素与集合 1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. 2.集合中元素与集合的关系: 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和?. 3.常见集合的符号表示: 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 * 表示 N N 或 N+ Z Q 4.集合的表示法:列举法、描述法、韦恩图. 二、集合间的基本关系 描述关系 文

字语言 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 集合 间的 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 基本 A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B 中至 真子集 关系 少有一个元素 A 中没有 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何非空集合的真子集 三、集合的基本运算 集合的并集 符号表示 图形表示 意义 {x|x∈A,或 x∈B} 四、性质 A∪B=A ? B ? A. A∩B=A ? A ? B.
[来源:Z_xx_k.Com]

实数集 R

符号语言 A=B A?B 或 B?A A B或B A ??B ? B(B≠?)

集合的交集 A∩B

A∪B

集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的 补集为?UA

{x|x∈A,且 x∈B}

{x|x∈U,且 x?A}

[探究] 1.集合 A={x|x2=0},B={x|y=x2},C={y|y=x2},D={(x,y)|y=x2}相同吗?它们 的元素分别是什么? 提示:这 4 个集合互不相同,A 是以方程 x2=0 的解为元素的集合,即 A={0};B 是函数 y =x2 的定义域,即 B=R;C 是函数 y=x2 的值域,即 C={y|y≥0};D 是抛物线 y=x2 上的 点组成的集合. 2.0 与集合{0}是什么关系??与集合{?}呢? 提示:0∈{0},?∈{?}或??{?}. [探究] 3.对于集合 A,B,若 A∩B=A∪B,则 A,B 有什么关系? 提示:A=B.假设 A≠B,则 A∩B A∪B,与 A∩B=A∪B 矛盾,故 A=B.

1.正确理解集合的概念 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述 法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x,y)|y =f(x)}三者的不同. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非 空时, 要考虑到集合为空集的可能性. 例如: A?B, 则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的情况. 集合的基本概念

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1.(1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数 为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 2 (2)已知集合 A={-4,2a-1, a }, B={a-5,1-a,9}, 若 9∈(A∩B), 则实数 a 的值为________. [自主解答] (1)法一:由 x-y∈A,及 A={1,2,3,4,5}得 x>y,当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,有 4 个;y=2 时,x 可取 3,4,5,有 3 个;y=3 时,x 可取 4,5,有 2 个;y=4 时,x 可取 5,有 1 个.故共有 1+2+3+4=10(个). 法二:因为 A 中元素均为正整数,所以从 A 中任取两个元素作为 x,y,满足 x>y 的(x,y) 2 即为集合 B 中的元素,故共有 C5 =10 个. (2)∵9∈(A∩B),∴9∈A 且 9∈B, ∴2a-1=9 或 a2=9. ∴a=5 或 a=± 3.当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当 a=3 时,A ={-4,5,9},B 不满足集合中元素的互异性,故 a≠3;当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B ={-8,4,9},符合题意. ∴a=5 或 a=-3. [答案] (1)D (2)5 或-3 本例(2)中,将“9∈(A∩B)”改为“A∩B={9}” ,其他条件不变,则实数 a 为何值? 解:∵A∩B={9},∴9∈A 且 9∈B, ∴2a-1=9 或 a2=9, 即 a=5 或 a=± 3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}, ∴A∩B={-4,9},不满足题意, ∴a≠5. 当 a=3 时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},不满足集合中元素的互异性,∴a≠3. 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9}, ∴A∩B={9},符合题意, 综上 a=-3. ————— —————————————— 解决集合问题的一般思路 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述 法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合是否满足互异性. 2.(1)已知非空集合 A={x∈R|x2=a-1},则实数 a 的取值范围是________. (2)已知集合 A={x|x2-2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 解析:(1)∵集合 A={x∈R|x2=a-1}为非空集合, ∴a-1≥0,即 a≥1. (2)∵1?{x|x2-2x+a>0},∴1∈{x|x2-2x+a≤0}, 即 1-2+a≤0,∴a≤1. 答案:(1)[1,+∞) (2)(-∞,1] 元素与集合 3.(1)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数 为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 (2)已知集合 M={1,m},N={n,log2n},若 M=N,则(m-n)2013=________. [自主解答] (1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5}, ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
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∴B 中所含元素的个数为 10. (2)由 M=N 知 ? ? ?n=1, ?n=m, ? 或? ?log2n=m ?log2n=1, ? ?
?m=0, ?m=2, ? ? ∴? 或? ? ? ?n=1 ?n=2, 2 013 故(m-n) =-1 或 0. [答案] (1)D (2)-1 或 0 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出 字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. 2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方 程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性. 4.(1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5}, Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 (2)已知集合 A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则 a=________. 解析:(1)∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},∴当 a=0 时,a+b 的值 为 1,2,6;当 a=2 时,a+b 的值为 3,4,8;当 a=5 时,a+b 的值为 6,7,11, ∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},∴P+Q 中有 8 个元素. (2)∵-3∈A, ∴-3=a-2 或-3=2a2+5a. 3 ∴a=-1 或 a=- . 2 当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3, 与元素互异性矛盾,应舍去. 3 7 当 a=- 时,a-2=- ,2a2+5a=-3. 2 2 3 ∴a=- 满足条件. 2 3 答案:(1)B (2)- 2 集合间的基本关系 5.(1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞), 其中 c=________. [自主解答] (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4. [答案] (1)D (2)4

由题悟法 1.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二 是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转
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化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析. 6.已知集合 A={2,3},B={x|mx-6=0},若 B?A,则实数 m 的值为( ) A.3 B.2 C.2 或 3 D.0 或 2 或 3 解析:选 D 当 m=0 时,B=??A; ?6? 当 m≠0 时,由 B=?m??{2,3}可得 ? ? 6 6 =2 或 =3, m m 解得 m=3 或 m=2, 综上可得实数 m=0 或 2 或 3. 7.已知集合 A={y|y= -x2+2x},B={x||x-m|<2 013},若 A∩B=A,则 m 的取值范围是 ( ) A.[-2 012,2 013] B.(-2 012,2 013) C.[-2 013,2 011] D.(-2 013,2 011) 解析:选 B 集合 A 表示函数 y= -x2+2x的值域,由 t=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,可 得 0≤y≤1,故 A=[0,1]. 集合 B 是不等式|x-m|<2 013 的解集,解之得 m-2 013<x<m+2 013,所以 B=(m-2 013, m+2 013). 因为 A∩B=A,所以 A?B. 如图,由数轴可得 ? ?m-2 013<0,
? ?m+2 013>1, ?

解得-2 012<m<2 013. 1 ? ? 8.已知集合 A={x|0<ax+1≤5},B=?x|-2<x≤2?,若 A?B,则实数 a 的取值范围是
? ?

________. [自主解答] A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R; 1? ? 4 ②若 a<0,则 A=?x|a≤x<-a?; ? ? 1 4? ? ③若 a>0,则 A=?x|-a<x≤a?. ? ? 当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,

?a>-2, 则? 1 ?-a≤2,

4

1

a>0或a<-8, ? ? 即? 1 ? ?a>0或a≤-2.

又∵a<0,∴a<-8. 当 a>0 时,若 A?B,如图,

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?-a≥-2, 则? 4 ?a≤2,

1

1

?a≥2或a<0, ? 即? ?a≥2或a<0. ?

又∵a>0,∴a≥2. 综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2. [答案] (-∞,-8)∪[2,+∞) 保持例题条件不变,当 a 满足什么条件时,B?A? 解:当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

?a≤-2, 则? 1 ?-a>2,

4

1

-8≤a<0, ? ? 即? 1 ? ?-2<a<0.

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2 当 a>0 时,若 B?A,如图,

?-a≤-2, 则? 4 ?a≥2,

1

1

?0<a≤2, ? 即? ? ?0<a≤2.

又∵a>0,∴0<a≤2. 1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2 ————— —————————————— 根据两集合的关系求参数的方法 已知两集合的关系求参数时, 关键是将两集合的关系转化为元素间的关系, 进而转化为参数 满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且经常要对参数进 行讨论. 9.若集合 A={x|x2+ax+1=0,x∈R},集合 B={1,2},且 A?B,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:(1)若 A=?,则 Δ=a2-4<0,解得-2<a<2; (2)若 1∈A,则 12+a+1=0,解得 a=-2,此时 A={1},符合题意; 1? 5 ? (3)若 2∈A,则 22+2a+1=0,解得 a=- ,此时 A=?2,2?,不合题意. 2 ? ? 综上所述,实数 a 的取值范围为[-2,2). 答案:[-2,2) 10.A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则 A∩B=B 时 a 的值是( ) A.2 B.2 或 3 C.1 或 3 D.1 或 2 解析:选 D 验证 a=1 时 B=?满足条件;验证 a=2 时 B={1}也满足条件. 集合的基本运算 11. (1)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( A.M∪N B.M∩N
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)

C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 2 (2)设集合 A={x|x +2x-8<0}, B={x|x<1}, 则图中阴影部分表示的集合 为( ) A.{x|x≥1} B.{x|-4<x<2} C.{x|-8<x<1} D.{x|1≤x<2} [自主解答] (1)∵M∪N={1,2,3,4}, ∴(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6}. (2)∵x2+2x-8<0, ∴-4<x<2, ∴A={x|-4<x<2}, 又∵B={x|x<1}, ∴图中阴影部分表示的集合为 A∩(?UB)={x|1≤x<2}. [答案] (1)D (2)D 将例 3(1)中的条件“M={2,3}”改为“M∩N=N”,试求满足条件的集合 M 的个数. 解:由 M∩N=N 得 M?N. 含有 2 个元素的集合 M 有 1 个,含有 3 个元素的集合 M 有 4 个, 含有 4 个元素的集合 M 有 6 个,含有 5 个元素的集合 M 有 4 个, 含有 6 个元素的集合 M 有 1 个. 因此,满足条件的集合 M 有 1+4+6+4+1=16 个. 1.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合 元素离散时用 Venn 图表示; 集合元素连续时用数轴表示, 用数轴表示时注意端点值的取舍. 2. 在解决有关 A∩B=?, A?B 等集合问题时, 一定先考虑 A 或 B 是否为空集, 以防漏解. 另 外要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 12.已知全集 U=R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(?UA)∩B 等于( ) A.{x|x>2,或 x<0} B.{x|1<x<2} C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} 解析:选 C A={x|x(x-2)>0}={x|x>2,或 x<0}, B={x|y=lg(x-1)}={x|x-1>0}={x|x>1}, ?UA={x|0≤x≤2}. ∴(?UA)∩B={x|1<x≤2}. 13.(1)已知集合 A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则 A∩B=( ) 2 ? A.(-∞,-1) B.? ?-1,-3? 2 ? C.? D.(3,+∞) ?-3,3? ?1? (2)已知集合 A={1,2a},B={a,b},若 A∩B=?2?,则 A∪B=( ) ? ? ?1 ? ?1 ? A.?2,1,b? B.?2,-1? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? ? C.?2,1? D.?2,1,-1? ? ? ? ? (3)已知 A,B 均为集合 U={1,2,3,4,5,6}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={1},(?UA)∩(? UB)={2,4},则 B∩(?UA)=________. 2? ? [自主解答] (1)∵A=?x|x>-3?,B={x|x<-1,或 x>3},∴A∩B={x|x>3}. ? ? 1? 1? ?1? 1 1 ? ? a (2)由 A∩B=?2?得 2 = ,解得 a=-1,则 b= .所以 A=?1,2?,B=?-1,2?,则 A∪B 2 2 ? ? ? ? ? ? 1? ? =?1,-1,2?. ? ? (3)依题意及韦恩图得,B∩(?UA)={5,6}.
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[答案] (1)D (2)D (3){5,6} ————— —————————————— 1.集合的运算口诀 集合运算的关键是明确概念.集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于 A 且 属于 B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集 U 是大范围,去掉 U 中 A 元素,剩余元 素成补集. 2.解决集合的混合运算的方法 解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时,可以 通过列举集合的元素进行运算;当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解. 1 14.已知全集 U=R,函数 y= 2 的定义域为 M,N={x|log2(x-1)<1},则如图所示阴 x -4 影部分所表示的集合是( ) A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 解析:选 C 集合 M=(-∞,-2)∪(2,+∞),?UM=[-2,2],集合 N=(1,3),所以?UM∩ N=(1,2]. 15.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( ) A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 解析:选 B 因为?RB={x|x>3,或 x<-1},所以 A∩(?RB)={x|3<x<4}. 2 ? ? 16.已知全集 U={-2,-1,0,1,2},集合 A=?x?x=n-1,x,n∈Z? ,则?UA=________. ? ? ? 2 ? ? 解析:因为 A=?x?x=n-1,x,n∈Z? ,
?

?

?

当 n=0 时,x=-2;n=1 时不合题意; n=2 时,x=2;n=3 时,x=1; n≥4 时,x?Z;n=-1 时,x=-1; n≤-2 时,x?Z. 故 A={-2,2,1,-1}, 又 U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}. 答案:{0} 集合中的新定义问题 17. 非空集合 G 关于运算⊕满足:(1)对任意 a、b∈G,都有 a⊕b∈G;(2)存在 c∈G,使 得对一切 a∈G,都有 a⊕c=c⊕a=a,则称集合 G 关于运算⊕为“融洽集” .现给出下列集 合和运算: ①G={非负整数},⊕为整数的加法; ②G={偶数},⊕为整数的乘法; ③G={平面向量},⊕为平面向量的加法; ④G={二次三项式},⊕为多项式的加法. 其中 G 关于运算⊕为“融洽集”的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ [自主解答] ②错,因为不满足条件(2);④错,因为不满足条件(1). [答案] B ————— —————————————— 解决新定义问题应注意以下几点
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(1)遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质. (2)按新定义的要求, “照章办事”逐步分析、验证、运算,使问题得以解决. (3)对于选择题,可以结合选项通过验证,排除、对比、特值等方法解诀. 1 18.若 x∈A,且 ∈A,则称集合 A 为“和谐集” .已知集合 M= 1-x 1 1 2 ? ? ?-2,-1,- ,0,1, , ,2,3?,则集合 M 的子集中, “和谐集”的个数为( ) 2 2 3 ? ? A.1 B.2 C.3 D.4 1 1 解析:选 C 当 x=-2 时, = ?M,故-2 不是“和谐集”中的元素; 1-x 3 1 1 当 x=-1 时, = ∈M; 1-x 2 1 1 当 x= 时, =2∈M; 2 1-x 1 当 x=2 时, =-1∈M. 1- x 1 所以-1, ,2 可以作为“和谐集”中的一组元素; 2 1 1 2 当 x=- 时, = ∈M; 2 1-x 3 2 1 当 x= 时, =3∈M; 3 1-x 1 1 当 x=3 时, =- ∈M. 2 1- x 1 2 所以- , ,3 可以作为“和谐集”中的一组元素; 2 3 1 1 当 x=0 时, =1∈M,但 x=1 时, 无意义, 1- x 1-x 所以 0,1 不是“和谐集”中的元素. 1 1 2 所以集合 M 的子集为“和谐集” ,其元素只能从两组元素:-1, ,2 与- , ,3 中选取 2 2 3 1 1 2 ? ? ? ? 1 1 2 一组或两组,故“和谐集”有?-1,2,2?,?-2,3,3?,-1, ,2,- , ,3 三个. 2 2 3 ? ? ? ?

1 组转化——两个集合的运算与包含关系之间的转化 在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系, 在一定的情况下, 集合 的运算关系和包含关系之间可以相互转化,如 A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB?A ∩(?UB)=?,在解题中运用这种转化能有效简化解题过程. 3 种技巧——集合的运算技巧 (1)对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号. (2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图.这是数形结合思想的又 一体现. (3)两个有限集合相等,可以从两个集合中的元素相同求解,如果是两个无限集合相等,从 两个集合中元素相同求解就不方便,这时就根据两个集合相等的定义求解,即如果 A?B, B?A,则 A=B. 5 个注意——解答集合题目应注意的问题 (1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系. (3)要注意空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
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(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. (5)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满 足“互异性”而导致解题错误.

创新交 1.集合的运算是高考的常考内容,以两个集合的交集和补集运算为主,且常与函数、不等 式、三角函数、向量等内容相结合,以创新交汇问题的形式出现在高考中. 2.解决集合的创新问题常分三步: (1)信息提取,确定化归的方向; (2)对所提取的信息进行加工,探求解决方法; (3)将涉及到的知识进行转换,有效地输出,其中信息的提取和转化与化归是解题的关键, 也是解题的难点. 1 ? ? y- ?≥0?,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所 19.设平面点集 A=??x,y?|?y-x?? x ? ? ? ? 表示的平面图形的面积为( ) 3 3 A. π B. π 4 5 4 π C. π D. 7 2 y-x≥0, y-x≤0, ? ? ? ? 1? ? [解析] 不等式(y-x)?y-x?≥0 可化为? 1 或? 1 集 y- ≥0, y- ≤0. ? ? ? x ? x 合 B 表示圆(x-1)2+(y-1)2=1 上以及圆内部的点所构成的集合,A∩B 1 所表示的平面区域如图所示.曲线 y= ,圆(x-1)2+(y-1)2=1 均关于 x 直线 y=x 对称,所以阴影部分占圆面积的一半. [答案] D [名师点评] 1.本题具有以下创新点 1 ? ??y-x?? y- ?≥0, ? x? (1)命题方式的创新:题目并不是直接求解不等式组? 域的面积,而是以求集合交集的形式考查. 1 (2)考查内容的创新:本题通过集合 A,B 考查了一元一次函数 y=x、反比例函数 y= 的图 x 1 象和圆的方程(x-1)2+(y-1)2=1,以及圆和函数 y= 的图象的对称性、不等式所表示的平 x 面区域等内容. 2.解决本题的关键有以下两点 (1)正确识别集合 A 与集合 B 中元素的几何性质,并正确画出各自所表示的区域; 1 (2)注意到圆(x-1)2+(y-1)2=1 与函数 y= (x>0)的图象都关于直线 y=x 对称. x 3.在解决以集合为背景的创新交汇问题时,应重点关注以下两点 (1)认真阅读,准确提取信息,是解决此类问题的前提.如本题应首先搞清集合 A 与 B 的性 质,即不等式表示的点集. (2)剥去集合的外表,将陌生转化为熟悉是解决此类问题的关键,如本题去掉集合的外表, 将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题. x2 y2 ? ? 20.已知 A={(x,y)|y=|ln x|},B=??x,y?| 9 + 4 =1?,则 A∩B 的子集个数为( ) ? ? A.3 B.4
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? ??x-1?2+?y-1?2≤1

所表示的平面区

C.2

x2 y2 解析: 选 B A∩B 中元素的个数就是函数 y=|ln x|的图象与椭圆 + =1 9 4 的交点个数,如图所示.由图可知,函数图象和椭圆有两个交点,即 A∩ B 中有两个元素,故 A∩B 的子集有 22=4 个. 21.设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N= ? ? 1 ?x || x- ?< 2,i为虚数单位,x∈R?,则 M∩N 为( ) i ? ? ? A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1] 2 2 解析:选 C ∵y=|cos x-sin x|=|cos 2x|,且 x∈R, 1? ∴y∈[0,1],∴M=[0,1].在 N 中,x∈R 且? ?x- i ?< 2,∴|x+i|< 2, ∴x2+1<2,解得-1<x<1, ∴N=(-1,1). ∴M∩N=[0,1). 22.设 M={a|a=(2,0)+m(0,1),m∈R}和 N={b|b=(1,1)+n(1,-1),n∈R}都是元素为向 量的集合,则 M∩N=( ) A.{(1,0)} B.{(-1,1)} C.{(2,0)} D.{(2,1)} 解析:选 C 设 c=(x,y)∈M∩N,则有(x,y)=(2,0)+m(0,1)=(1,1)+n(1,-1),即(2,m) =(1+n,1-n), ? ?2=1+n, 所以? 由此解得 n=1,m=0,(x,y)=(2,0), ?m=1-n, ? 即 M∩N={(2,0)}. 23.(易错)已知集合 A={x|x2+x-2=0},B={x|ax=1},若 A∩B=B,则 a=( ). 1 A.- 或 1 B.2 或-1 2 1 C.-2 或 1 或 0 D.- 或 1 或 0 2 解析:依 题意可得 A∩B=B ? B ? A. 因为集合 A={x|x2+x-2=0}={-2,1}, 1 当 x=-2 时,-2a=1,解得 a=- ; 2 当 x=1 时,a=1; 又因为 B 是空集时也符合题意,这时 a=0,故选 D. 答案:D 24.(易错)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B ? A,则由 m 的可取值 组成的集合为__________. 解析:当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B= ? ,满足 B ? A; 若 B≠ ? ,且满足 B ? A,如图所示,
[来源 :学科网]

D.8

m+1≤2m-1, ? ? 则?m+1≥-2, ? ?2m-1≤5,

m≥2, ? ? 即?m≥-3, ? ?m≤3,

∴2≤m≤3.

故 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}. 答案:{m|m≤3} 答题指导:
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1.典例 1 易出现忽略 a =0 的情况,典例 2 易出现不讨论 B= ? 的情况. 2.在解决有关 A∩B= ? ,A∪B= ? ,A ? B 等集合问题时,往往容易忽略空集的情 况,一定要先考虑 ? 是否成立,以防漏解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 25.设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集 合为( ).

A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,-1)∪[0,1) D.(-∞,-1]∪(0,1) D 解析:因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1}, 则 u=1-x2∈(0,1], 所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0}, A∪B=(- ∞,1),A∩B=(-1,0], 故题图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),选 D. 课后作业 1 1.已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( ) A.A B B.B A C.A=B D.A∩B=? 2 解析:选 B A={x|x -x-2<0}={x|-1<x<2}, B={x|-1<x<1}, 所以 B A. 2.(已知集合 M={0,1},则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:选 C 依题意得,满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2}共 4 个. 3.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=( ) A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 解析:选 B 因为 P∩Q={0},所以 0∈P,log2a=0,a=1,而 0∈Q,所以 b=0.所以 P∪ Q={3,0,1}. 4. 已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集合 A={0,1,3,5,8}, 集合 B={2,4,5,6,8}, 则(?UA)∩(? ) UB)=( A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} 解析:选 B 因为 A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},所以(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={7,9}. 5.已知集合 A={-2,-1,0,1,2},集合 B={x∈Z||x|≤a},则满足 A B 的实数 a 的一个值 为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 D 当 a=0 时,B={0}; 当 a=1 时,B={-1,0,1}; 当 a=2 时,B={-2,-1,0,1,2}; 当 a=3 时,B={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 显然只有 a=3 时满足条件. 6.已知全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则?U(A∩B)=( ) A.(-∞,3)∪(5,+∞) B.(-∞,3]∪[5,+∞) C.(-∞,3)∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞) 解析:选 C x2-7x+10<0?(x-2)· (x-5)<0?2<x<5,A∩B={x|3≤x<5},
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故?U(A∩B)=(-∞,3)∪[5,+∞). 7.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( ) A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 解析:选 B 法一:∵A∪B=A,∴B?A.又 A={1,3, m},B={1,m},∴m=3 或 m= m. 由 m= m得 m=0 或 m=1.但 m=1 不符合集合中元素的互异性,故舍去,故 m=0 或 m= 3. 法二:∵B={1,m},∴m≠1,∴可排除选项 C、D. 又当 m=3 时,A={1,3, 3},B={1,3},满足 A∪B={1,3, 3}=A,故选 B. 8.设 S={x|x<-1,或 x>5},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则 a 的取值范围是( ) A.(-3,-1) B.[-3,-1] C.(-∞,-3]∪(-1,+∞) D.(-∞,-3)∪(-1,+∞) 解析:选 A 在数轴上表示两个集合,因为 S∪T=R,由图可得 ? ?a<-1, ? 解得-3<a<-1. ? ?a+8>5, 9.若集合 U=R,A={x|x+2>0},B={x|x≥1},则 A∩(?UB)=________. 解析:由题意得?UB=(-∞,1), 又因为 A={x|x+2>0}={x|x>-2}, 于是 A∩(?UB)=(-2,1). 答案:(-2,1) 10.已知 A,B 均为集合 U={1,2,3,4,5,6}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={1},(?UA)∩(? UB)={2,4},则 B∩(?UA)=________. 解析:依题意及韦恩图得,B∩(?UA)={5,6}. 答案:{5,6} ? 2 ? <1? , 11. 已知 R 是实数集, M=?x? N={y|y= x-1}, 则 N∩(? ? ?x ? RM)=________. 解析:M={x|x<0,或 x>2},所以?RM=[0,2], 又 N=[0,+∞),所以 N∩(?RM)=[0,2]. 答案:[0,2] 12. 已知 U=R, 集合 A={x|x2-x-2=0}, B={x|mx+1=0}, B∩(?UA)=?, 则 m=________. 1 解析:A={-1,2},B=?时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 2 1 答案:0,1,- 2 13.已知集合 A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R},存在 a∈R,使得集合 A 中所有整数元素的和 为 28,则实数 a 的取值范围是________. 解析: 不等式 x2+a≤(a+1)x 可化为(x-a)(x-1)≤0, 由题意知不等式的解集为{x|1≤x≤a}. A 7×?1+7? 中所有整数元素构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,其前 7 项和为 =28,所以 2 7≤a<8,即实数 a 的取值范围是[7,8). 答案:[7,8) 14.设集合 Sn={1,2,3,?,n},若 X?Sn,把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量(若 X 中只 有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0).若 X 的容量为奇(偶) 数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集.则 S4 的所有奇子集的容量之和为________. 解析:∵S4={1,2,3,4},∴X=?,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}. 其中是奇子集的为 X={1}, {3}, {1,3}, 其容量分别为 1,3,3,所以 S4 的所有奇子集的容量之和为 7. 答案:7

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? ? 1 ? 1.(2012· 杭州十四中月考)若集合 A=?y? ?y=lg x,10≤x≤10 ,B={-2,-1,1,2},全集 U ? ?

=R,则下列结论正确的是( ) A.A∩B={-1,1} B.(?UA)∪B=[-1,1] C.A∪B=(-2,2) D.(?UA)∩B=[-2,2] 1 ? 解析:选 A ∵x∈? ?10,10?,∴y∈[-1,1], ∴A∩B={-1,1}. 2.设 A 是自然数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k2?A,且 k?A,那么 k 是 A 的一个 “酷元”, 给定 S={x∈N|y=lg(36-x2)}, 设 M?S, 且集合 M 中的两个元素都是“酷元”, 那么这样的集合 M 有( ) A.3 个 B .4 个 C.5 个 D.6 个 解析:选 C 由 36-x2>0,解得-6<x<6.又因为 x∈N,所以 S={0,1,2,3,4,5}. 依题意, 可知若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k2 与 k都不属于集合 M.显然 k=0,1 都不是“酷 元”. 若 k=2,则 k2=4;若 k=4,则 k=2.所以 2 与 4 不同时在集合 M 中,才能成为“酷元”. 显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元”. 综上,若集合 M 中的两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类: (1)只选 3 与 5,即 M={3,5}; (2)从 3 与 5 中任选一个,从 2 与 4 中任选一个,即 M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}. 所以满足条件的集合 M 共有 5 个. 3.(2013· 河北质检)已知全集 U=R,集合 M={x|x+a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若 M∩(? ) UN)={x|x=1,或 x≥3},那么( A.a=-1 B.a≤1 C.a=1 D.a≥1 解析: 选 A 由题意得 M={x|x≥-a}, N={x|1<x<3}, 所以?UN={x|x≤1, 或 x≥3}, 又 M∩(? UN)={x|x=1,或 x≥3},因此-a=1,a=-1. 4.给定集合 A,若对于任意 a,b∈A,有 a+b∈A,且 a-b∈A,则称集合 A 为闭集合, 给出如下三个结论: ①集合 A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合 A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合. 其中正确结论的序号是________. 解析:①中,-4+(-2)=-6?A,所以不正确; ②中设 n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则 n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确; ③令 A1={-4,0,4},A2={-2,0,2},则 A1,A2 为闭集合,但 A1∪A2 不是闭集合,所以③不 正确. 答案:② 5.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)若 A∩B=[1,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}. ? ?m-2=1, (1)∵A∩B=[1,3],∴? 得 m=3. ?m+2≥3, ? (2)?RB={x|x<m-2,或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3. 即 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞). 6.设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}.
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(1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实数 a 的取值范围. 解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2}, ∵A∪B=A,∴B?A,∴B=?或 B={2}, 当 B=?时,a-1>5-a,∴a>3; ? ?a-1=2, 当 B={2}时,? 解得 a=3, ?5-a=2, ? 综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.

b ? ? 1.现有含三个元素的集合,既可以表示为?a,a,1?,也可表示为{a2,a+b,0},则 a2 013+
? ?

b2 013=________. b 解析:由已知得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a=-1,又根据集合中 a 元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a2 013+b2 013=(-1)2 013=-1. 答案:-1 2.集合 S={a,b,c,d,e},包含{a,b}的 S 的子集共有( ) A.2 个 B.3 个 C.5 个 D.8 个 解析:选 D 包含{a,b}的 S 的子集有:{a,b};{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e};{a, b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e};{a,b,c,d,e}共 8 个. 3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 解析:由题意知,同时参加三个小组的人数为 0,设同时参加数学和 化学小组的人数为 x,Venn 图如图所示, ∴(20-x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得 x=8. 答案:8 4.已知集合 A={x|x2+2x+a≤0},B={x|a≤x≤4a-9},若 A,B 中 至少有一个不是空集,则 a 的取值范围是________. 解析:若 A,B 全为空集,则实数 a 满足 4-4a<0 且 a>4a-9,即 1<a<3,则满足题意的 a 的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞). 答案:(-∞,1]∪[3,+∞) 1 ? y- ?≥0?,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所 5.设平面点集 A=(x,y)(y-x)· ? ? x? ? 表示的平面图形的面积为( ) 3 3 A. π B. π 4 5 4 π C. π D. 7 2 解析:选 D A∩B 表示的平面图形为图中阴影部分,由对称性可知, SC=SF, SD=SE.因此 A∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的一半, π 即为 . 2 课后作业 2
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1.已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩ (?UB)=( ) A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} 解析:选 B ?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9},则(?UA)∩(?UB)={7,9}. 2.已知 S={(x,y)|y=1,x∈R},T={(x,y)|x=1,y∈R},则 S∩T=( ) A.空集 B.{1} C.(1,1) D.{(1,1)} 解析:选 D 集合 S 表示直线 y=1 上的点,集合 T 表示直线 x=1 上的点,S∩T 表示直线 y =1 与直线 x=1 的交点. 3.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( ) A.0 或 3 B.0 或 3 C.1 或 3 D.1 或 3 解析:选 B 由 A∪B=A 得 B?A,有 m∈A,所以有 m= m或 m=3,即 m=3 或 m=1 或 m=0,又由集合中元素互异性知 m≠1. 4.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( ) A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 解析:选 B B={x|-1≤x≤3}, A∩(?RB)={x|3<x<4}. 5.已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的 集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 - 解析:选 D A={1,2},B={1,2,3,4},A?C?B,则集合 C 的个数为 24 2=22=4,即 C= {1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 6.设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集 合为( )

A.[-1,0] B.(-1,0) C.(-∞,-1)∪[0,1) D.(-∞,-1]∪(0,1) 2 解析:选 D 因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x >0}={x|-1<x<1},则 u=1-x2∈(0,1],所以 B ={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1). 9a ? ? 2 7.若 1∈?a-3, 2 -1,a +1,-1?,则实数 a 的值为________. ? ? 9a 9a 解析:若 a-3=1,则 a=4,此时 -1=a2+1=17 不符合集合中元素的互异性;若 -1 2 2 4 9 a =1,则 a= ,符合条件;若 a2+1=1,则 a=0,此时 -1=-1,不符合集合中元素的 9 2 4 互异性.综上可知 a= . 9 4 答案: 9 8.已知集合 A={x∈R||x+2|<3},集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 A∩B=(-1,n),则 m=________,n=________. 解析:A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1}, 由 A∩B=(-1,n)可知 m<1, 则 B={x|m<x<2},画出数轴,可得 m=-1,n=1.

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答案:-1 1 m+n 9.对于任意的两个正数 m,n,定义运算⊙:当 m,n 都为偶数或都为奇数时,m⊙n= , 2 当 m,n 为一奇一偶时,m⊙n= mn,设集合 A={(a,b)|a⊙b=6,a,b∈N*},则集合 A 中的元素个数为________. a+b 解析:(1)当 a,b 都为偶数或都为奇数时, =6?a+b=12,即 2+10=4+8=6+6=1 2 +11=3+9=5+7=12,故符合题意的点(a,b)有 2×5+1=11 个. (2)当 a,b 为一奇一偶时, ab=6?ab=36,即 1×36=3×12=4×9=36,故符合题意的 点(a,b)有 2×3=6 个. 综上可知,集合 A 中的元素共有 17 个. 答案:17 10.A={x|-2<x<-1 或 x>1},B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x<3},求实 数 a,b 的值. 解:∵A∩B={x|1<x<3},∴b=3, 又 A∪B={x|x>-2}, ∴-2<a≤-1, 又 A∩B={x|1<x<3}, ∴-1≤a<1, ∴a=-1. 11.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)· (x-3a)<0}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (3)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的取值范围. 解:∵A={x|x2-6x+8<0},∴A={x|2<x<4}. (1)若 A?B, 当 a=0 时,B=?,显然不成立; 当 a>0 时,B={x|a<x<3a}, ? ?a≤2, 4 应满足? ? ≤a≤2; 3 ?3a≥4 ? 当 a<0 时,B={x|3a<x<a}, ? ?3a≤2, 应满足? 此时不等式组无解, ?a≥4, ? 4 ∴当 A?B 时, ≤a≤2. 3 (2)∵要满足 A∩B=?, 当 a=0 时,B=?满足条件; 当 a>0 时,B={x|a<x<3a}, a≥4 或 3a≤2. 2 ∴0<a≤ 或 a≥4; 3 当 a<0 时,B={x|3a<x<a}. ∴a<0 时成立, 2 综上所述,a≤ 或 a≥4 时,A∩B=?. 3 (3)要满足 A∩B={x|3<x<4},显然 a=3. 12.设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}. 1 (1)当 m< 时,化简集合 B; 2 (2)若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围;
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(3)若?RA∩B 中只有一个整数,求实数 m 的取值范围. 解:∵不等式 x2-(2m+1)x+2m<0? (x-1)(x-2m)<0. 1 (1)当 m< 时,2m<1, 2 ∴集合 B={x|2m<x<1}. (2)若 A∪B=A,则 B?A, ∵A={x|-1≤x≤2}, 1 ①当 m< 时,B={x|2m<x<1}, 2 1 1 此时-1≤2m<1?- ≤m< ; 2 2 1 ②当 m= 时,B=?,有 B?A 成立; 2 1 ③当 m> 时,B={x|1<x<2m}, 2 1 此时 1<2m≤2? <m≤1; 2 1 综上所述,m 的取值范围是- ≤m≤1. 2 (3)∵A={x|-1≤x≤2}, ∴?RA={x|x<-1,或 x>2}, 1 3 ①当 m< 时,B={x|2m<x<1},若?RA∩B 中只有一个整数,则-3≤2m<-2?- ≤m<-1; 2 2 1 ②当 m= 时,不符合题意; 2 1 3 ③当 m> 时,B={x|1<x<2m},若?RA∩B 中只有一个整数,则 3<2m≤4? <m≤2. 2 2 3 3 综上所述,m 的取值范围是- ≤m<-1 或 <m≤2. 2 2

1.已知集合 M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且 a≠b},则集合 M 与集合 N 的关系 是( ) A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? 解析:选 C 由于 M={-1,0,1},所以 x=0,-1,故 N={0,-1},所以 N?M. 2.设全集 U=R,A={x|-x2-3x>0},B={x|x<-1},则图中阴影部分 表示的集合为( ) A.{x|x>0} B.{x|-3<x<-1} C.{x|-3<x<0} D.{x|x<-1} 解析:选 B 依题意得集合 A={x|-3<x<0},所求的集合即为 A∩B,所以图中阴影部分表 示的集合为{x|-3<x<-1}. 3.若集合 A={x|x≥1},B={0,1,2},则下列结论正确的是( ) A.A∪B={x|x≥0} B.A∩B={1,2} C.(?RA)∩B={0,1} D.A∪(?RB)={x|x≥1} 解析:选 B 依题意得,A∪B={x|x≥1}∪{0},A∩B={1,2},(?RA)∩B={0},A∪(?RB) =(-∞,0)∪(0,+∞),因此结合各选项知,选 B. 4.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞), 其中 c=________. 解析:A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},即 A=(0,4],由 A?B,B=(-∞,a),且 a 的取值范
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围是(c,+∞),可以结合数轴分析得 c=4. 答案:4

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