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广东省惠州市2016届高三数学第二次调研考试试题 理


惠州市 2016 届高三第二次调研考试 数 学(理科)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己 的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3

.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
x (1)设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? ,则 A ? B 等于(

?

?

)

(A)(1,2)

(B) (1,2]

(C) [1,2) )

(D) [1,2]

(2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (3)已知双曲线

1 ? i 所对应的点位于( 1? i
(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限 )

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线为 y ? 2 x ,则双曲线的离心率等于( a 2 b2
(B) 2 (C) 5 (D) 6 )

(A) 3

(4)已知两个非零单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? ,则下列结论不正确 的是( ... (A) e1 在 e2 方向上的投影为 cos ? (C) e1 ? e2 ? e1 ? e2

?? ?? ?

??

?? ?

(B) e1 ? e2

?? 2

?? ?2

?

?? ?? ?

? ?

?? ?? ?

?
)

(D) e1 ? e2 ? 1

? ? ?? ?

3
4
主视图

(5)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示, 则该三棱锥的外接球表面积( (A) 29? (B) 30? (C)

2
侧视图

29? 2

(D) 216? 俯视图

(6)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出 100 名司机,已 知抽到的司机年龄都在 ?20,45? 岁之间,根据调查 结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图

-1-

如右图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 ( ) (B) 32.6 岁 (D) 36.6 岁

(A) 31.6 岁 (C) 33.6 岁 (7)函数 f

? x? ?

A si n?? x ? ? ? ( 其 中 A ? 0, ? ?

?
2
)

)的图像如图所示,为了得到

?? ? g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将 f ( x) 的图像( 2? ?
? 个长度单位 3 ? (C)向左平移 个长度单位 6
(A)向左平移 (B)向右平移

?

7?

? 个长度单位 3 ? (D)向右平移 个长度单位 6

x

(8)若函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 ? ??, ??? 上既是奇函数又是增函数,则

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是(
y y

)

y

y



O 1
(C)

2

x

O 1 2
(D)

x

?1

O

2

x

?1

O
2

x

A



(B)

(9)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数有( (A)144 个 (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个

)

?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ? x?2 (10)已知变量 x , y 满足 ? ,则 的取值范围是( x ? 2 ? x? y?2?0 ?
(A) ? 2, ? 2
4

)

? 5? ? ?

(B) ? , ? 4 2
3 2

?5 5? ? ?

(C) ? , ? 5 2
4 3

?4 5? ? ?

(D) ? , 2 ? 4
2

?5 ?

? ?

(11)由等式 x ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1) ? b1 ( x ? 1) ? b2 ( x ? 1) ? b3 ( x ? 1) ?b4 , 定义映射 f (a1, a2 , a3 , a4 ) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则 f (4,3,2,1) ? ( (A)0 (B)10 (C)15 (D)16 )

(12)如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在 ?ABC 中用 余弦定理解得 AC ? 8 ? 8cos108? ,乙同学在 Rt ?ACH 中解得

A B E

C

H

D
-2-

AC ?

1 ? ,据此可得 cos 72 的值所在区间为( ? cos 72
(B) ? 0.2,0.3?

) (D) ? 0.4,0.5?

(A) ? 0.1,0.2 ?

(C) ? 0.3,0.4 ? 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。第 22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为 (14)在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , .

且 ?C ? 60? , c ? 3 ,则

a ? 2 3 cos A ? sin B

. .

(15)如图所示程序框图,输出的结果是
2 2 p 为常数, (16)若数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? p (

n ? 2 , n ? N ? ),则称数列 {an } 为等方差数列, p 为公方差,

a ? 50?

已知正数等方差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列, a1 ? a2 ,设集合

? ? 1 1 1 ? ? A ? ?Tn Tn ? ? ?? ? ,1 ? n ? 100, n ? N ? ? ,取 A 的非空子集 B , a1 ? a2 a2 ? a3 an ? an ?1 ? ? ? ?
若 B 的元素都是整数, 则B 为 “完美子集” , 那么集合 A 中的完美子集的个数为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,且 a3 ? 1 是 a1 ? 1 与 a7 ? 1 的等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? a2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . .

(18) (本小题满分 12 分) 某工厂生产甲、乙两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为合格品, 小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100)

-3-

芯片甲 芯片乙

8 7

12 18

40 40

32 29

8 6

(Ⅰ)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (Ⅱ)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片乙, 若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(Ⅰ)的前提下,记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的概率分布列和数学期望值.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直. AB ∥ CD ,

AB ? BC , EA ? EB , AB ? 2CD ? 2 BC .
(Ⅰ)求证: AB ? DE ; (Ⅱ)求二面角 C ? DE ? A 余弦值.
B C D

E

A

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 e ? 焦点重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 S ? ? , 0 ? 的动直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定 点 T ,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在,求出点 T 的坐标; 若不存在,请说明理由.

1 2 2 ,且其中一个焦点与抛物线 y ? x 的 4 2

? 1 ? 3

? ?

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2ln x .
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值;

-4-

(Ⅱ)若函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ? ①求实数 a 的值;

a 有相同极值点. x

②若对于 ?x1 , x2 ? ? ,3? ( e 为自然对数的底数) ,

?1 ? ?e ?

不等式

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. k ?1

-5-

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分,答题时 请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, ?ABC ? 90 ,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC
?

边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (Ⅰ)求证: DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)求证: DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB .

A E

O
M B D

C

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为 ? y? 3t ? ? 2
极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? . (Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 1 (a ? 0) , g ( x) ? x ? 2 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

惠州市 2016 届高三第二次调研考试 数 学(理科)答案与评分标准

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。
-6-

题 1 号 答 B 案 A C D A C D C B 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 1 B

1 2 A

1

C

x (1) 【解析】集合 A ? x | 2 ? 4 = ?x | x ? 2? ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? =

?

?

?x | x ? 1? ,所

以 A ? B =(1,2],故选 B.

1 1? i 1? i ?i ? ?i ? ,故选 A. 1? i 2 2 b (3) 【解析】由渐近线知 ? 2 ,则双曲线的离心率 e ? 1 ? 22 ? 5 ,故选 C. a ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? (4) 【解析】因为 e1 , e2 为单位向量,所以 e1 ? e2 ? cos e1 , e2 ? ? ?1,1? ,故选 D.
(2) 【解析】
2 2 2 (5) 【解析】把三棱锥补为长方体,则对角线为外接球直径,所以 ? 2 R ? ? 4 ? 3 ? 2 2

? 4 R 2 ? 29 ,所以外接球的表面积为 S ? 4? R2 ? 29? ,故选 A.

5 ,3 0 (6) 【解析】 由面积和为 1, 知 ?2

? 的频率为 0.2 ,为保证中位数的左右两边面积都是 0.5 ,
0.25 ? 33.57 , 0.35

必须把 ?30,35? 的面积 0.35 划分为 0.25 ? 0.1 ,此时划分边界为 30 ? 5 ? 故选 C. (7) 【解析】由图像知 A ? 1 ,

? 2?

7? 3? ? ? ? ?? ? ? 2k? , ? ? ,得 ? ? ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ,为了得到 12 2 2 3 3

T 7? ? 2? 7? ? ? ?T ?? , ? ? ? ? ? 2 , f ( ) ? ?1 4 12 3 ? 12

?? ? ? g ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? sin(2 x) 的图像,所以只需将 f ( x) 的图象向右平移 个长度单 2? 6 ?
位即可,故选 D.
x ?x x (8) 【解析】 f ( x) ? ka ? a ? ka ?

1 是奇函数, 所以 f (0) ? 0 , 即 k ?1 ? 0 , 所以 k ? 1 , ax 1 1 x x 即 f ( x) ? a ? x ,又函数 y ? a , y ? ? x 在定义域上单调性相同,由函数是增函数 a a
可知 a ? 1 ,所以函数 g ( x) ? loga ( x ? k ) ? loga ( x ? 1) ,故选 C.

(9) 【解析】据题意,万位上只能排 4、5.若万位上排 4,则有 2 ? A4 个;若万位上排 5,则
3

有 3? A4 个.所以共有 2 ? A4 ?3? A4 ? 5 ? 24 ? 120 个,选 B.
3 3 3

-7-

(10) 【解析】根据题意作出不等式组所表示的可行域如 图阴影部分所示,即 ?ABC 的边界及其内部,又 因为

x? y?3 y ?1 y ?1 ? 1? , 而 表示可行域内 x?2 x?2 x?2

一点 ? x, y ? 和点 P ? ?2, ?1? 连线的斜率,由图可知

y ?1 ? k PC ,根据原不等式组解得 x?2 0 ?1 y ?1 2 ?1 1 y ?1 3 ? ? ? ? ? B ? 2,0? , C ? 0, 2? ,所以 2?2 x?2 0?2 4 x?2 2 5 x? y?3 5 ? ? ? .故选 B . 4 x?2 2 (11) 【解析】由定义可知 x4 ? 4x3 ? 3x2 ? 2x ?1 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 k PB ?

?b3 ( x ? 1) ? b4 ,令 x ? 0 得, 1 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 1 ,所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0 ,即
f (4,3, 2,1) ? 0 ,故选 A.
( 12 ) 【解析】因为

8 ? 8cos108? ?

1 1 ? , 令 c o s 7 2? t , 则 8 ? 8t ? , 所 以 ? cos 72 t

8t 3 ? 8t 2 ? 1 ? 0 .令 f (t ) ? 8t 3 ? 8t 2 ?1 ,则当 t ? 0 时, f '(t ) ? 24t 2 ? 16t ? 0 ,所
以 f (t ) ? 8t 3 ? 8t 2 ?1 在 ? 0, ??? 上 单 调 递 增 . 又 因 为 f ? 0.3) f (0.4? ? 0 , 所 以

f (t ) ? 8t 3 ? 8t 2 ?1 在 ? 0.3,0.4? 上 有 唯 一 零 点 , 所 以 cos 72? 的 值 所 在 区 间 为

? 0.3,0.4? .故选 C .
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)

1 , 6

(14) 4 ,

(15) 4 ,

(16) 63

1 1 1 ( x ? x 2 )dx ? ( x 2 ? x 3 ) |10 ? . 0 2 3 6 a c ? ? 2 ,所以 a ? 2 sin A , (14) 【解析】由正弦定理 sin A sin C
(13) 【解析】 S ?

?

1

代入得

2sin A ? 2 3 cos A sin( A ? 60?) ? 4? ? 4. sin B sin B

(15) 【解析】本程序框图中循环体为“直到型”循环结构, 第 1 次循环: S ? 0 ? 1 ? 1 , i ? 2 , a ? 1? 2 ? 1 ? 3 ? 50 ; 第 2 次循环: S ? 1 ? 3 ? 4 , i ? 3 , a ? 3 ? 3 ? 4 ? 13 ? 50 ; 第 3 次循环: S ? 4 ? 13 ? 17 , i ? 4 , a ? 13 ? 4 ? 17 ? 69 ? 50 ;结束循环,

-8-

输出 i ? 4 . (16) 【解析】根据等方差数列的即时定义得 an ? 2n ?1 ,Tn ?

an ?1 ? a1 2n ? 1 ? 1 ,令 ? 2 2

Tn ? k ? k ? N

*

? ,则 n ? ? 2k ?1 ?
2

2

?1

,由 1 ? n ? 100 得 k 可取 1,2,3??6,即集合 A

中有六个整数,于是 A 中的完美子集的个数为 26 ? 1 ? 63 个. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ) ? a3 ? 1? ? ? a1 ? 1?? a7 ? 1? ,又 d=2,得 a1 =3,?????????2 分
2

? an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 1,? ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1??5 分
(Ⅱ) bn ? a2n ? 2 ? 2 ? 1 ? 2
n n ?1

? 1 ??????????????????6分

Sn = 22 ? 1 ? 23 ? 1 ? ?? ? 2n?1 ? 1 ? 22 ? 23 ? ?? ? 2n?1 ? n ????8 分
? 4(1 ? 2n ) ? n ? 2n ? 2 ? n ? 4 ?????????????????11 分 1? 2

? 数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? 2n?2 ? n ? 4 ?????????????12分

(18) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为

40 ? 32 ? 8 80 4 ? ,???????1 分 = 100 100 5 40 ? 29 ? 6 75 3 ? .???????2 分 = 100 100 4

芯片乙为合格品的概率约为

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 90, 45,30, ?15 ,??????????4 分

P( X ? 90) ? P( X ? 30) ?

4 3 3 1 3 3 × = , P( X ? 45) ? × = , 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 × = , P( X ? ?15) ? × = ,?????8 分 5 4 5 5 4 20

所以随机变量 X 的概率分布列为

X

90

45

30

?15

-9-

P

3 5

3 20

1 5

1 20
???????????10 分

3 3 1 1 E ( X ) ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
所以随机变量 X 的数学期望值为 66 .?????????????12 分 (19) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)取 AB 中点 O ,连结 EO , DO .因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB .??1 分 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2 BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD .??2 分 又 EO ? DO ? O ,????????????3 分
E

EO ? 面 EOD , DO ? 面 EOD ,?????4 分
所以 AB ? 平面 EOD ,又 ED ? 面 EOD ,
C

O
B D

A

所以 AB ? ED .????????????5 分

(Ⅱ)因面 ABE ? 面 ABCD ,且 EO ? AB ,所以 EO ? 面 ABCD ,所以 EO ? OD . 由 OD, OA, OE 两两垂直,建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .??????6 分 因为三角形 EAB 为等腰直角三角形,所以 OD ? OA ? OE ,设 OD ? a , 所以 C ? a, ?a,0? , D ? a,0,0? , E ? 0,0, a ? , A? 0, a,0? . 所以 DC ? ? 0, ?a,0 ? , DE ? ? ?a,0, a ? , DA ? ? ?a, a,0 ? ,??????7 分 设平面 CDE 的一个法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? .

????

????

??? ?

??

z
E

?? ???? ? ?n1 ? DC ? 0 ? ?a ? y1 ? 0 ?? 则 ? ?? ???? , ? a ? x ? a ? z ? 0 n ? DE ? 0 ? 1 1 ? ? 1 ?? 所以可取 n1 ? ?1,0,1? ????????8 分
设平面 ADE 的一个法向量为 n2 ? ? x2 , y2 , z2 ? .

O
B C D

y
A

?? ?

x

?? ? ??? ? ?? ? ? n2 ? DA ? 0 ??a ? x2 ? a ? y2 ? 0 ? ?? 则 ? ?? ,所以可取 n2 ? ?1,1,1? ??????9 分 ? ???? ? ?n2 ? DE ? 0 ? ?a ? x2 ? a ? z2 ? 0
所以 cos n1 , n2 ?

?? ?? ?

1?1 6 ,??????????????????11 分 ? 3 2? 3

- 10 -

由图可知二面角 C ? DE ? A 为钝角,所以二面角的余弦值为 ? (20) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)设椭圆的方程为 又抛物线 y ?

6 .???12 分 3

x2 y 2 2 c 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率 e ? ,?1 分 , ? 2 b a 2 a 2

1 2 x 的焦点为 ? 0,1? ,所以 c ? 1, a ? 2, b ? 1 ,???2 分 4

? 椭圆 C 的方程是 x 2 ?

y2 ? 1.?????????????????3 分 2

(Ⅱ)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? y 2 ? 1,若直线 l 垂直于 x 轴,

1? 16 ? 则以 AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ? .???????????????4 分 3? 9 ?
? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 2 由 ?? 解得 ? 即两圆相切于点 ?1,0 ? .?????????5 分 1? 16 2 y ? 0. x ? ? y ? , ? ?? ? 3? 9 ??
因此所求的点 T 如果存在,只能是 ?1,0 ? .事实上,点 T ?1,0 ? 就是所求的点. 证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T ?1,0 ? .???????????6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l : y ? k ? x ? ? .????????????7 分

2

? ?

1? 3?

? 1? ? y ? k ? x ? ?, ? 2 2 1 2 3? ? ? 2 2 由? 消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? k x ? k ? 2 ? 0 .???????8 分 2 3 9 ? x 2 ? y ? 1, ? ? 2
2 ? ? k2 ? x1 ? x2 ? 23 , ? ? k ?2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . ? 1 2 k2 ? 2 ? ??? ??? 又因为 TA ? ? x1 ? 1, y1 ? , TB ? ? x2 ? 1, y2 ? ,

?????????????9 分

??? ??? ?TA ? TB ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2 ???????????????????10 分
- 11 -

1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 9 ?3 ? 1 2 2 k ?2 ? k2 1 1 ? ? ? ? k 2 ? 1? ? 9 2 ? ? k 2 ? 1? ? 23 ? k 2 ? 1 k ?2 ?3 ? k ?2 9
? 0, ???????????????????????????11 分
? TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒过点 T ?1,0 ? .
故在坐标平面上存在一个定点 T ?1,0 ? 满足条件. ????????????12 分 (21) (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ) f ? ? x ? ? ?2 x ?

2 ? x ? 1?? x ? 1? 2 ?? ? x ? 0 ? ,??????????1 分 x x

由?

? f ? ? x ? ? 0, ? x?0

得 0 ? x ? 1 ;由 ?

? f ? ? x ? ? 0, ? x?0

得 x ?1.

? f ? x ? 在 ? 0,1? 上为增函数,在 ?1, ?? ? 上为减函数. ????????2 分
? 函数 f ? x ? 的最大值为 f ?1? ? ?1.????????????????3 分
(Ⅱ)? g ? x ? ? x ?

a a ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x

①由(1)知, x ? 1 是函数 f ? x ? 的极值点, 又? 函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ?

a 有相同极值点, ? x ? 1 是函数 g ? x ? 的极值点, x

? g? ?1? ? 1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 .?????????????????4 分
经验证,当 a ? 1 时,函数 g ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值,符合题意. ??5 分 ②? f ? ? ? ?

?1? ?e?

1 ? 2, f ?1? ? ?1, f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3 , e2
1 ?1? ? 2 ? ?1 ,即 f ? 3? ? f ? ? ? f ?1? . 2 e ?e?
???7 分

易知 ?9 ? 2 ln 3 ? ?

?1 ? ??x1 ? ? ,3? , f ? x1 ?min ? f ? 3? ? ?9 ? 2ln 3, f ? x1 ?max ? f ?1? ? ?1 ?e ?
由①知 g ? x ? ? x ?

1 1 ,? g ? ? x ? ? 1 ? 2 . x x
- 12 -

当 x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1,3? 时, g? ? x ? ? 0 . 故 g ? x ? 在 ? ,1? 上为减函数,在 ?1,3? 上为增函数.

?1 ? ?e ?

?1 ? ?e ?

1 1 10 ?1? ? g ? ? ? e ? , g ?1? ? 2, g ? 3? ? 3 ? ? , e 3 3 ?e?
而2? e?

1 10 ?1? ? ,? g ?1? ? g ? ? ? g ? 3? . e 3 ?e?

10 ?1 ? ??x2 ? ? ,3? , g ? x2 ?min ? g ?1? ? 2, g ? x2 ?max ? g ? 3? ? . ???????9 分 3 ?e ?
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 1? 当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时 , 对 于 ?x1 , x2 ? ? ,3? , 不 等 式 ?1 恒 成 立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? max ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ?1? ? g ?1? ? ?1? 2 ? ?3 ,
? k ? ?3 ? 1 ? ?2, 又? k ? 1,? k ? 1 . ?????????????????10 分
f ? x1 ? ? g ? x2 ? ?1 ? 2? 当 k ? 1 ? 0 , 即 k ? 1 时 , 对 于 ?x1 , x2 ? ? ,3? , 不 等 式 ?1 恒 成立 k ?1 ?e ?
? k ?1 ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? k ? ? ? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? min ? 1 .

? f ? x1 ? ? g ? x2 ? ? f ? 3? ? g ? 3? ? ?9 ? 2 ln 3 ? ?k ? ?

10 37 ? ? ? 2 ln 3 , 3 3

34 34 ? 2 ln 3, 又 ? k ? 1,? k ? ? ? 2 ln 3 . ????????????11 分 3 3

综上,所求实数 k 的取值范围为 ? ??, ? 22.(本小题满分 10 分)

? ?

34 ? ? 2ln 3? ? ?1, ?? ? .???????12 分 3 ?
A E

解: (Ⅰ)连结 OE .∵点 D 是 BC 中点,点 O 是 AB 中点, ∴ OD // ?

1 AC ,∴ ?A ? ?BOD , ?AEO ? ?EOD . 2

O
M B D

∵ OA ? OE ,∴ ?A ? ?AEO ,∴ ?BOD ? ?EOD . 在 ?EOD 和 ?BOD 中,∵ OE ? OB ,??EOD ? ?BOD ,

C

- 13 -

? ∴ ?OED ? ?OBD ? 90 ,即 OE ? ED .

∵ E 是圆 O 上一点,∴ DE 是圆 O 的切线. ????????????5 分 (Ⅱ)延长 DO 交圆 O 于点 F .∵ ?EOD ≌ ?BOD ,∴ DE ? DB . ∵点 D 是 BC 的中点,∴ BC ? 2 DB . ∵ DE , DB 是圆 O 的切线,∴ DE ? DB .∴ DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2DE2 . ∵ AC ? 2OD, AB ? 2OF , ∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2DM ? DF . ∵ DE 是圆 O 的切线, DF 是圆 O 的割线,
2 ∴ DE ? DM ? DF ,∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB ????????10 分

23.(本小题满分 10 分)

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 解: (Ⅰ)将直线 l : ? 消去参数 t 得普通方程 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,?2 分 3 ? y? t ? ? 2
将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .??4 分 ? y ? ? sin ?

化简得 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 ??4 分(注意解析式不进行此化简步骤也不扣分) 6?

(Ⅱ)方法一: C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .??????????6 分 由?

? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? ? ? x ?1 或 ? ? x ? 3 ?????????8 分 解得: ? ? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 3

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

5? ? ) , (2 3, ) .????????10 分 3 6

方法二:由 ?

? ? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ,???????????6 分 ? ? 4 cos ? ? ?

得: sin(2? ?

?
3

) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ??????????8 分

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ?? ?? ? ? 3 ? 6 ?

- 14 -

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 24.(本小题满分 10 分)

5? ? ) , (2 3, ) .??????10 分 3 6

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? x ? 2

1 1 ? 1 ? ? 1 ?x ? x?? ?? ? x ? ? 所以 ? ?????????3 分 2 或? 2 2 或? 2 ? ? ? ??4 x ? x ? 2 ? 2 ? x ? 2 ?4 x ? x ? 2
1 1 2 或 ? x ? ??????????????4 分 2 2 3 ? 2? 综上,不等式的解集为 ?0, ? .?????????????????5 分 ? 3?
解得 x ?? 或 0 ? x ? (Ⅱ) | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1|? x ? 2 ,转化为 | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ? 0 令 h( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ,??????????????6 分

1 ? ? ?5 x ? a ? 3, x ? ? 2 ? 1 a ? h( x) ? ?? x ? a ? 1, ? ? x ? ,??????????????7 分 2 2 ? a ? ? 3 x ? a ? 1, x ? 2 ?
a ? 0 时, h( x ) min ?


a ? 1 ,?????????????????8 分 2

a ? 1 ? 0, a 得 a ? 2.a ??????????????????10 分 2

- 15 -


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