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2015步步高3.1导数的概念及其运算


§ 3.1
2014 高考会这样考 单的复合函数求导. 复习备考要这样做

导数的概念及其运算

1.利用导数的几何意义求切线方程;2.考查导数的有关计算,尤其是简

1.理解导数的意义,熟练掌握导数公式和求导法则;2.灵活进行复合函

数的求导;3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程.



1. 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-f?x1? 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 ,若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平 x2-x1 Δy 均变化率可表示为 . Δx 2. 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim →
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x Δx Δx→0 Δx
Δx 0

=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)= lim → (2)几何意义

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx

函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3. 函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. Δx

4. 基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 为常数) 导函数 f′(x)=__0__

1

f(x)=xn (n?Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 5. 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2

f′(x)=nxn

-1

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex

1 f′(x)= xln a f′(x)= 1 x

6. 复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x=y′u· u′x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. [难点正本 疑点清源] 1. 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数; (2)函数 y=f(x)的导函数, 是针对某一区间内任意点 x 而言的. 如果函数 y=f(x)在区间(a, b)内每一点 x 都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的 导数 f′(x0). 这样就在开区间(a, b)内构成了一个新函数, 就是函数 f(x)的导函数 f′(x). 在 不产生混淆的情况下,导函数也简称导数. 2. 曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,切线斜率为 k=f′(x0)的切线,是 唯一的一条切线. (2)曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点.点 P 可以是切点,也可以不 是切点,而且这样的直线可能有多条.

1 1. f′(x)是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为________. 3 答案 3 解析 ∵f′(x)=x2+2,∴f′(-1)=(-1)2+2=3.
2

2. 如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5) +f′(5)=______. 答案 2 解析 如图可知,f(5)=3,f′(5)=-1,因此 f(5)+f′(5)=2. 3. 已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=________. 答案 -2 解析 由题意得 f′(x)=2x+3f′(2), ∴f′(2)=2×2+3f′(2),∴f′(2)=-2. 4. 已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行于 3x-y=0,则点 P 的坐标 为________. 答案 (1,0)

3 解析 由题意知, 函数 f(x)=x4-x 在点 P 处的切线的斜率等于 3, 即 f′(x0)=4x0 -1=3,

∴x0=1,将其代入 f(x)中可得 P(1,0). x 5.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为____________. x+2 答案 y=2x+1 x+2-x 2 解析 易知点(-1,-1)在曲线上,且 y′= = ,∴切线斜率 k=y′|x=-1 ?x+2?2 ?x+2?2 2 = =2. 1 由点斜式得切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1.

题型一 利用定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数 f(x)=x3 在 x=x0 处的导数,并求曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切

线与曲线 f(x)=x3 的交点. 思维启迪:正确理解导数的定义,理解导数的几何意义是本题的关键. 解 f′(x0)=xlim →x
0 0

f?x?-f?x0? x3-x3 0 =xlim →x0 x-x0 x-x0

2 2 2 =xlim →x (x +xx0+x0)=3x0.

曲线 f(x)=x3 在 x=x0 处的切线方程为
2 y-x3 (x-x0), 0=3x0·



? 3 y=3x2 0x-2x0,由?

?y=x3, ?y=3x0x-2x0, ?
2 3

3

得(x-x0)2(x+2x0)=0,解得 x=x0,x=-2x0.
3 若 x0≠0,则交点坐标为(x0,x3 0),(-2x0,-8x0);若 x0=0,则交点坐标为(0,0).

探究提高 求函数 f(x)的导数步骤: (1)求函数值的增量 Δf=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 Δf f?x2?-f?x1? = ; Δx x2-x1
Δx 0

(3)计算导数 f′(x)= lim →

Δf . Δx

利用导数的定义,求: (1)f(x)= 1 在 x=1 处的导数; x

1 (2)f(x)= 的导数. x+2 1 -1 1+Δx Δy f?1+Δx?-f?1? 解 (1)∵ = = Δx Δx Δx = = 1- 1+Δx 1-?1+Δx? = Δx 1+Δx Δx 1+Δx?1+ 1+Δx? -1 = , Δx? 1+Δx+1+Δx? 1+Δx+1+Δx
Δx 0

-Δ x

∴f′(1)= lim → (2)∵

Δy = lim Δx Δx→0

1 =- . 2 1+Δx+1+Δx

-1

Δy f?x+Δx?-f?x? = Δx Δx

1 1 - x+2+Δx x+2 = Δx = = ?x+2?-?x+2+Δx? Δx?x+2??x+2+Δx? -1 , ?x+2??x+2+Δx?
Δx 0

∴f′(x)= lim →

-1 Δy 1 = lim =- . Δx Δx→0 ?x+2??x+2+Δx? ?x+2?2

题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数: (1)y=ex· ln x; 1 1 x2+ + 3?; (2)y=x? x x? ?

4

π? (3)y=sin2? ?2x+3?; (4)y=ln(2x+5). 思维启迪:求函数的导数,首先要搞清函数的结构;若式子能化简,可先化简再求导. 解 1 (1)y′=(ex· ln x)′=exln x+ex· x

1 =ex(ln x+ ). x 1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x π (3)设 y=u2,u=sin v,v=2x+ , 3 则 y′x=y′u· u′v· v′x=2u· cos v· 2 π? π? 2π? ? =4sin? cos? ?2x+3?· ?2x+3?=2sin?4x+ 3 ?. (4)设 y=ln u,u=2x+5,则 y′x=y′u· u′x, 因此 y′= 探究提高 1 2 · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,

这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错; (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量; (3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然 后求导. 求下列各函数的导数: 1 1 (1)y= + ; 1- x 1+ x cos 2x (2)y= ; sin x+cos x (3)y=(1+sin x)2; (4)y=ln x2+1. 解 1 1 2 (1)∵y= + = , 1- x 1+ x 1-x

2 -2?1-x?′ 2 ∴y′=?1-x?′= = . ? ? ?1-x?2 ?1-x?2 cos 2x (2)∵y= =cos x-sin x, sin x+cos x ∴y′=-sin x-cos x.

5

(3)设 u=1+sin x,则 y=(1+sin x)2, 由 y=u2 与 u=1+sin x 复合而成. 因此 y′=f′(u)· u′=2u· cos x=2cos x(1+sin x). (4)y′=(ln x2+1)′= = 1 · ( x2+1)′ x +1
2

1 1 1 2 x ·(x2+1)- · (x +1)′= 2 . 2 2 x + 1 x +1
2

题型三 导数的几何意义 例3 1 4 已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程. 思维启迪:求曲线的切线方程,方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式 得切线方程. 解 1 4 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x3+ 上,且 y′=x2, 3 3

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 4 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0,3x0+3?,则切线的斜率为 y′|x 3 3 =x0=x2 0. 1 3 4? 2 ∴切线方程为 y-? ?3x0+3?=x0(x-x0), 2 4 即 y=x2 x- x3 + . 0· 3 0 3 2 3 4 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0- x0+ , 3 3
2 3 2 2 即 x3 0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 2 ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. (3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 x2 1. 0=1,x0=± 5 1, ?, 切点为(-1,1)或? ? 3? 5 ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y- =x-1, 3
6

即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 探究提高 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率 可求切点坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x -3 相切,求实数 a、b、c 的值. 解 ∵y′=2ax+b,

∴抛物线在点 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2=4a+b. ∴4a+b=1.① 又∵点 P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上,∴a+b+c=1,② 4a+2b+c=-1.③ a=3, ? ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ? ?c=9. ∴实数 a、b、c 的值分别为 3、-11、9.

一审条件挖隐含 典例:(12 分)设函数 y=x2-2x+2 的图象为 C1,函数 y=-x2+ax+b 的图象为 C2,已知过 C1 与 C2 的一个交点的两切线互相垂直. (1)求 a,b 之间的关系; (2)求 ab 的最大值.

审题路线图
C1 与 C2 有交点 ↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓ ?导数的几何意义? 利用导数求两切线的斜率: k1=2x0-2,k2=-2x0+a

7

↓ ?等价转换? (2x0-2)(-2x0+a)=-1① ↓(交点(x0,y0)适合解析式)
2 ?y0=x0 -2x0+2 ? ? ,即 2x2 0-(a+2)x0+2-b=0 2 ?y0=-x0+ax0+b ?



↓ ?注意隐含条件方程①②同解? 5 a+b= 2 ↓ ?消元? 5 ? ? 5?2 25 ab=a? ?2-a?=-?a-4? +16 5 25 当 a= 时,ab 最大且最大值为 . 4 16 规范解答 解 (1)对于 C1:y=x2-2x+2,有 y′=2x-2,[1 分]

对于 C2:y=-x2+ax+b,有 y′=-2x+a,[2 分] 设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0), 由题意知过交点(x0,y0)的两切线互相垂直. ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即 4x2 0-2(a+2)x0+2a-1=0① 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上,
2 ?y0=x0 -2x0+2 ? 故有? 2 ?y0=-x0+ax0+b ?

?2x2 0-(a+2)x0+2-b=0② 5 由①②消去 x0,可得 a+b= .[6 分] 2 5 (2)由(1)知:b= -a, 2 5 ? 5 25 -a =-?a- ?2+ .[9 分] ∴ab=a? ?2 ? ? 4? 16 5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大值= .[12 分] 4 16 温馨提醒 审题包括两方面内容:题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择;本题切 入点是两条曲线有交点 P(x0,y0),交点处的切线互相垂直,通过审题路线可以清晰看到 审题的思维过程.

8

方法与技巧 1. 在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值,不一定为 0;而(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0)是 一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2. 对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的 应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换 的等价性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1. 利用导数定义求导数时,要注意到 x 与 Δx 的区别,这里的 x 是常量,Δx 是变量. 2. 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 3. 求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者 包括了前者. 4. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 答案 B 解析 f′(x)=4ax3+2bx, ( )

∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. 2. 已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 A.e2 答案 B 解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1, ln 2 B.e C. D.ln 2 2 ( )

由 f′(x0)=2,即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 3. 若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0
9

(

)

C.4x-y+3=0 答案 A

D.x+4y+3=0

解析 切线 l 的斜率 k=4,设 y=x4 的切点的坐标为(x0,y0),则 k=4x3 0=4,∴x0=1, ∴切点为(1,1), 即 y-1=4(x-1),整理得 l 的方程为 4x-y-3=0. 4. (2011· 大纲全国)曲线 y=e 面积为 1 A. 3 答案 A 解析 ∵y′=-2e
-2x -2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的 ( )

1 B. 2

2 C. 3

D.1



k=y′|x=0=-2e0=-2, ∴切线方程为 y-2=-2(x-0), 即 y=-2x+2. 2 2 如图, ∵y=-2x+2 与 y=x 的交点坐标为( , ), y=-2x+2 与 x 轴的交点坐标为(1,0), 3 3 1 2 1 ∴S= ×1× = . 2 3 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 5. 若以曲线 y= x3+bx2+4x+c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则 3 实数 b 的取值范围为__________. 答案 [-2,2] 解析 y′=x2+2bx+4,∵y′≥0 恒成立, ∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤2. π? ?π? 6. 设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′? ?2?sin x+cos x,则 f′?4?=________. 答案 - 2 π? 解析 因为 f(x)=f′? ?2?sin x+cos x, π? 所以 f′(x)=f′? ?2?cos x-sin x, π? π π ?π? 所以 f′? ?2?=f′?2?cos 2-sin 2, π? 即 f′? ?2?=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x, π? π π 故 f′? ?4?=-cos 4-sin 4=- 2.

10

7. 已知函数 f(x),g(x)满足 f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(x)=1,则函数 y= 象在 x=5 处的切线方程为____________. 答案 5x-16y+3=0 f?x?+2 解析 由 y= =h(x)知 g?x? f′?x?g?x?-?f?x?+2?g′?x? y′=h′(x)= , [g?x?]2 f′?5?g?5?-?f?5?+2?g′?5? 得 h′(5)= [g?5?]2 = 3×4-?5+2?×1 5 = . 42 16

f?x?+2 的图 g?x?

f?5?+2 5+2 7 又 h(5)= = = , 4 4 g?5? 7 5 所以切线方程为 y- = (x-5), 4 16 即 5x-16y+3=0. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第 三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1,

由已知令 3x2+1=4,解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). 1 (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 1 9 9. (12 分)已知函数 f(x)= x在 x= 处的切线为 l,直线 g(x)=kx+ 与 l 平行,求 f(x)的图象 4 4 上的点到直线 g(x)的最短距离. 解 因为 f(x)= x,所以 f′(x)= 1 . 2 x

11

1? 1 ?1 1? 所以切线 l 的斜率为 k=f′? ?4?=1,切点为 T?4,2?.所以切线 l 的方程为 x-y+4=0. 9 因为切线 l 与直线 g(x)=kx+ 平行, 4 9 所以 k=1,即 g(x)=x+ . 4 9 1 9 f(x)的图象上的点到直线 g(x)=x+ 的最短距离为切线 l:x-y+ =0 与直线 x-y+ =0 4 4 4 之间的距离,

所以所求最短距离为

?9-1? ?4 4?
2

= 2. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f′(x)的大致图象是( )

答案 A b b2 x+ ?2- +c, 解析 ∵f(x)=x2+bx+c=? ? 2? 4 b 由 f(x)的图象的顶点在第四象限得- >0,∴b<0. 2 又 f′(x)=2x+b,斜率为正,纵截距为负,故选 A. π ? sin x 1 2. (2011· 湖南)曲线 y= - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为 sin x+cos x 2 1 A.- 2 答案 B cos x?sin x+cos x?-?cos x-sin x?sin x 解析 ∵y′= ?sin x+cos x?2 = 1 π 1 2.故 y′|x= = , 4 2 ?sin x+cos x? 1 B. 2 C.- 2 2 D. 2 2 ( )

π ? 1 ∴曲线在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为2. 4 3.已知点 P 在曲线 y= x 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是( e +1 π? A.? ?0,4?
12

)

π π? B.? ?4,2?

π 3π? C.? ?2, 4 ? 答案 D 解析 设曲线在点 P 处的切线斜率为 k, -4ex -4 则 k=y′= x . 2= 1 ?e +1? ex+ x+2 e 因为 ex>0,所以由基本不等式可得 k≥ 2 -4 =-1. 1 ex·x+2 e

3π ? D.? ? 4 ,π?

又 k<0,所以-1≤k<0,即-1≤tan α<0. 3π 所以 ≤α<π.故选 D. 4 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1 1 4. 若函数 f(x)=- x3+ f′(1)x2-f′(2)x+5,则曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线 l 的方程为 3 2 ________. 答案 x-y+5=0 解析 f′(x)=-x2+f′(1)· x-f′(2),

?f′?1?=-1+f′?1?-f′?2? ? ∴? , ? ?f′?2?=-4+2f′?1?-f′?2?

∴f′(2)=-1,f′(1)=1. 1 1 ∴f(x)=- x3+ x2+x+5,f′(x)=-x2+x+1. 3 2 ∴f′(0)=1,f(0)=5. ∴曲线 f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x+5. 5. 已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x) 在点 P 处的切线方程是__________. 答案 x-y-2=0 解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线 的斜率 k=f′(2)=1,又过点 P(2,0), 所以切线方程为 x-y-2=0. 6. 曲边梯形由曲线 y=x2+1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y=x2+1,x?[1,2]上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为 __________.

13

3 13? 答案 ? ?2, 4 ?
2 2 解析 设 P(x0,x2 0+1),x?[1,2],则易知曲线 y=x +1 在点 P 处的切线方程为 y-(x0

+1)=2x0(x-x0),
2 令 y=2x0(x-x0)+x0 +1=g(x),

由 g(1)+g(2)=2(x2 0+1)+2x0(1-x0+2-x0), g?1?+g?2? 得 S 普通梯形= ×1=-x2 0+3x0+1 2 3?2 13 =-? ?x0-2? + 4 , 3 13? 所以当 P 点坐标为? ?2, 4 ?时,S 普通梯形最大. 三、解答题 b 7. (13 分)设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并 求此定值. 解 7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4

1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x b 1 2a- = , ?a=1, 2 2 ? 3 于是 解得? 故 f(x)=x- . x b 7 ? b = 3. ? a+ = , 4 4

? ? ?

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y- x 3? y0=? ?1+x2?(x-x0),
0

3 3 x0- ?=?1+ 2?(x-x0). 即 y-? x? ? x? ?
0 0

6 令 x=0,得 y=- , x0 6 0,- ?. 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? x? ?
0

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).

14

1 6? - |2x |=6. 所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面 积为S= ? 2? x0? 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为定值, 且此定 值为 6.

15


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