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河南省天一大联考(全国卷)2017届高三高中毕业班阶段性测试(二)理数试题Word版含答案.doc


理科数学
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.函数 y ?

1 的定义域为( x

) C. [0,??) D. (0,??) )

A. R

B. (??,0) ? (0,??)

r />2.在等差数列 {an } 中,若 a p ? 4, aq ? 2 且 p ? 4 ? q ,则公差 d ? ( A.1 B.

1 2

C. ?

1 2
1

D. ? 1

3.已知 a ? ? ? b ? 1 ? c ? 0 ,且 x ? a ? , y ? log? b, z ? logc A. x ? y ? z B. x ? z ? y C. y ? x ? z

1

?

,则(



D. y ? z ? x

4.将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象向左平移


? 个单位,再将横坐标伸长到原来的 2 倍后, 3

所得函数为 g ( x) ,则 g (? ) ? ( A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

5.已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且 a3 ? a5 ? 8 , a2 a6 ? 16 ,则数列 {an } 的前 2016 项 的和为( A. 8064 ) B. 4 C. ? 4 D. 0

6.已知 ?ABC 中, AE ?

3 7 AB ? AC 2 6 1 5 D. AB ? AC 2 6
A.
2 2

2 1 AC , BF ? ? BC ,则 EF ? ( ) 3 2 1 1 3 5 B. AB ? AC C. AB ? AC 2 6 2 6

7.已知圆 C1 : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 ,点 P 为圆 C2 : x ? y ? 4 x ? 12 ? 0 上且不在
2 2

直线 C1C2 上的任意一点,则 ?PC1C2 的面积的最大值为(



A. 2 5

B. 4 5

C. 8 5

D. 20 )

8.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?1 , an ? 3S n ( n ? 1 ) ,则 S10 ? ( A. ?

1 512

B.

9.已知向量 a ? (cos( 与 b 的夹角为( A.

?

1 512
? x), sin(

C.

?
2

1 1024

D.

2


? x)) , b ? (sin(

?
2

1 2048

? x), sin x) ,若 x ? ?

?
12

,则向量 a

? 6

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3


10.已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2 x ,则函数 f ( x) 的对称中心可以是( A. ( ?

?
8

,0)

B. (?

?
4

,0)

C. (?

?
8

,1)

D. (?

?
4

,1)

11.已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 倾斜角为 a 2 b2

? 的直线与双曲线的左支交于 M 点,且满足 ( F1M ? F1F2 ) ? MF2 ? 0 ,则双曲线的离心率 6
为( A. 5 ) B. 3 C. 3 ? 1 D.

3 ?1 2

12.已知函数 f ( x) ?

1 3 t 2 x ? x ? kx (t ? 0, k ? 0) 在 x ? a , x ? b 处分别取得极大值与极 3 2

小值,且 a, b,?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 t 的 值等于( A. 5 ) B. 4 C. 3 D. 1

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 ? ? [0,2? ) ,直线 l1 : x cos? ? y ? 1 ? 0 ,l 2 : x ? y sin ? ? 1 ? 0 相互垂直,则 ? 的值为 .
2

14.已知抛物线 C : y ? 4 x 的焦点为 F ,点 M 在抛物线 C 上, MQ 垂直准线 l 于点 Q , 若 ?MQF 是等边三角形,则 FQ ? FM 的值为 15.已知函数 f ( x ) ? ? .

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? a 5 (其中 a ? 0 ) ,若 f (1) ? f ( ? a ) ? ,则实数 a 的 2 ?1 ? x, x ? a

值为

.

16.已知函数 f ( x) ?

1 1 ? x 2 ,若 f (3a ?1 ) ? f (? ) ,则实数 a 的取值范围是 | x| e 9

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 M (?1,1) , N (0,2) , Q(2,0) . (1)求过 M , N , Q 三点的圆 C1 的标准方程; (2)圆 C1 关于直线 MN 的对称圆为 C2 ,求圆 C2 的标准方程. 18.(本小题满分 12 分)如图,已知 D 是 ?ABC 边 BC 上一点.

? (1)若 B ? 45 ,且 AB ? DC ? 7 ,求 ?ADC 的面积;

(2)当 ?BAC ? 90 时,若 BD : DC : AC ? 2 : 1 : 3 ,且 AD ? 2 2 ,求 DC 的长.
?

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 , 且 a2 ? 3 , bn ? ln(an ) ? ln(an?1 ) . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)令 cn ? e
?bn

,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn .

20. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,f ( x) ? f (6 ? x) , 当 x ? [1,3] 时, f ( x ) ?

1 ( x ? 1) . 2

(1)在网格中画出函数 f ( x) 在 [?5,11] 上的图象; (2)若直线 y ? k ( x ? 3) 与函数 f ( x) 的图象的交点个数为 5,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 ? : 心率为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离 a2 b2

1 ,抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点是椭圆 ? 的一个顶点. 2

(1)求椭圆 ? 的标准方程; (2)直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) 与椭圆 ? 相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,且

3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,证明: ?AOB 的面积为定值.
22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? 1) ln x ? (1)若 a ? b ?

1 2 b ax ? bx ? x (a, b ? R) . 2 e

1 b ,求函数 F ( x) ? f ( x) ? ax ln x ? x 的单调区间; 2 e 1 2 ?2 (2)若 a ? 1 , b ? ?1 ,求证: f ( x) ? ax ? bx ? ln x ? 1 ? 2e . 2

理科数学参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 B 9 D 10 C 11 D 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

? 5? 或 ; 4 4

14.8;

15.

1 3 或 ; 2 2

16. (??,?1)

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分.

1 3 , ) ,其垂直平分线的斜率为 k ? ?1 , 2 2 3 1 故线段 MN 垂直平分线方程为 y ? ? ?( x ? ) ,即 x ? y ? 1 ? 0 . 2 2
17.解: (1)线段 MN 的中点坐标为 ( ?

圆的半径为 r ?

1 1 10 . ( 2 ? ) 2 ? (0 ? ) 2 ? 2 2 2
1 2
2

∴所求圆的标准方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2

1 2

5 . 2 1 1 2 2

(2)直线 MN 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,由(1)知点 C1 ( , ) ,设点 C2 (a, b) ,

1 ? ?b ? 2 ? ?1 ? 1 ?a ? 3 5 则 ? , 解 得 C2 (? , ) . ∴ 所 求 圆 的 标 准 方 程 为 2 2 2 ? 1 1 b? ?a ? 2? 2 ?2?0 ? 2 ? 2 3 5 5 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? . 2 2 2

18.解: (1) ?ADC 的高为 AB sin 45 ? 7 ?
?

2 7 2 1 7 2 49 2 , S ?ADC ? ? . ? ?7 ? 2 2 2 2 4

(2)由 BD : DC : AC ? 2 : 1 : 3 ,设 DC ? x ,则 BD ? 2 x , BC ? 3 x , AC ? 3x . 于是 sin B ?

AC 3 6 , cos B ? , AB ? 6 x . ? BC 3 3
2 2 2

在 ?ABD 中,由余弦定理得 AD ? AB ? BD ? 2 AB ? BD cos B , 即 (2 2 ) ? 6 x ? 4 x ? 2 6 x ? 2 x ?
2 2 2

6 ? 2 x 2 ,解得 x ? 2 ,即 DC ? 2 . 3

19.解: (1)∵ an?1 ? an ? 2 ,∴数列 {an } 是等差数列,且公差为 2, ∵ a2 ? 3 ,∴ a1 ? 1 ,∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , ∴ bn ? ln(an ) ? ln(an?1 ) ? ln(an an?1 ) ? ln[(2n ? 1)(2n ? 1)] . (2) cn ? e
?bn

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), bn (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 e

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? . 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

, 0) 对称. 20.解: (1)∵ f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,∴ f ( x) 的图象关于 (1
又 f ( x) ? f (6 ? x) ,∴ f ( x) 的图象关于 x ? 3 对称. ∴ f ( x) ? f (6 ? x) ? f (1 ? (5 ? x)) ? ? f (1 ? (5 ? x)) ? ? f ( x ? 4) , ∴ f ( x) ? f ( x ? 8) ,∴函数 f ( x) 的周期为 8,故函数 f ( x) 在 [?5,11] 上的大致图象如下:

(2)∵ f ( x) 与直线 y ? k ( x ? 3) 的图象均关于 (?3, 0) 中心对称, 则当 k ? 0 时, ?

?k (3 ? 3) ? 1 1 1 ?k? . ,解得 14 6 ?k (11? 3) ? 1
1 . 10

当 k ? 0 时, k (7 ? 3) ? ?1 ,解得 k ? ? ∴实数 k 的取值范围为 (

1 1 1 , ) ? {? }. 14 6 10 c 1 ? ,故 c ? 1 , b ? 3 . a 2

2 0) ,故 a ? 2 ,又 21.解: (1)抛物线 y ? ?8x 的焦点为 (?2,

∴椭圆 ? 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 ,得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx? 4m ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
∵ ? ? (8mk) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ,
2 2 ∴ 3 ? 4k ? m ? 0 ,∴ x1 ? x2 ?

? 8mk 4(m 2 ? 3) x x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

∴ y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ?
2

3m 2 ? 12k 2 . 3 ? 4k 2

由 3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,得 3 ? ∵

4(m 2 ? 3) 3m 2 ? 12k 2 ? 4 ? ? 0 ,∴ 2m 2 ? 3 ? 4k 2 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?
48(2m 2 ? m 2 ) 12 , ? (1 ? k 2 ) ? 2 2 ( 2m ) m2

48(3 ? 4k 2 ? m 2 ) (3 ? 4k 2 ) 2

? 1? k2 ?

又点 O 到直 AB 线的距离 d ?

|m| 1? k2

?

m2 1? k2



∴ S ?AOB ?

1 1 12 m2 | AB | ?d ? ? 1 ? k 2 ? ? ? 3. 2 2 m2 1 ? k 2

22. 解:由题意知函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) . (1)当 a ? b ?

1 b 1 2 1 时, F ( x) ? f ( x) ? ax ln x ? x ? ln x ? x ? x , 2 e 4 2 1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) F ' ( x) ? ? x ? ? . x 2 2 2x

令 F ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, F ' ( x) ? 0 ,此时 F ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, F ' ( x) ? 0 ,此时 F ( x) 单调递减. ∴函数 F ( x) 的单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1,??) . (2)证明:若 a ? 1 , b ? ?1 ,原不等式等价于 x ln x ? 令 G ( x) ? x ln x ? 设 g ( x) ?

1 2 ? ?1 ? 2 x e e

1 1 ,则 G ' ( x) ? x ? ln x ? 1 . x e e

1 1 1 ex ? x ? ln x ? 1 g ' ( x ) ? ? ? ? ,则 . ex ex x xex
x x

设 h( x) ? e ? x , 则 h' ( x) ? e ? 1 ? 0 , ∴ h( x) 在 (0,??) 上单调递增, ∴ h( x) ? h(0) ? 1 , ∴ g ' ( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0,??) 上单调递增. 又∵ g (e ) ? e
?1 ? e?1

? 0 , g (e?2 ) ? e?e?2 ? 1 ? 0 ,即 g (e?1 ) g (e?2 ) ? 0 ,
? x0

∴ g ( x) 恰有一个零点 x0 ? (e?2 , e?1 ) ,即 g ( x0 ) ? e

? ln x0 ? 1 ? 0 ,即 ? e? x0 ? ln x0 ? 1.

当 x ? (0, x0 ) 时, g ( x) ? 0 , G ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 ,??) 时, g ( x) ? 0 , G ( x) 单调递 增. ∴ G( x) ? G( x0 ) ? x0 ln x0 ? e
? x0

? x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 .
1 ? 1?1? e ? 0 , x

?2 ?1 设 ? ( x) ? x ln x ? ln x ? 1 ,∵ x ? (e , e ) ,∴ ? ' ( x) ? 1 ? ln x ?

∴ ? ( x) 在 (e , e ) 上单调递增,∴ ? ( x0 ) ? ? (e?2 ) ? ?1 ? 2e?2 ,
?2 ?1

∴ G( x) ? G( x0 ) ? ? ( x0 ) ? ?1 ? 2e?2 ,

综上可知, f ( x) ?

1 2 ax ? bx ? ln x ? 1 ? 2e ?2 . 2


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