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2013年2月海宁市高三期初测试文科数学试题


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2013 年 2 月海宁市高三期初测试试题卷(文科数学)
考生须知: 1.全卷分试卷 I、II 和答题卷三部分,试题卷 4 页,答题卷 4 页,22 小题,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.本卷全部答案必须做在答题卷的相应位置上,做在试题卷上无效. 3.用黑色字

迹的签字笔或钢笔将姓名、准考证号分别填写在答题卷的相应位置上. 参考公式: 球的表面积公式 S=4πR 球的体积公式 V= πR 3
3 4

柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示 柱体的高 台体的体积公式
V ? 1 3 h S1 ?

2

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式 V= Sh
3 1

?

S1S 2 ? S 2

?

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥 体的高

其中 S1, S2 分别表示台体的上、下 底面积, h 表示台体的高 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

第Ⅰ卷 (共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 i 为虚数单位,则复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2 ? i ,则 z = A. 3 ?
i

B. 1 ? 3 i

C.

3 2

?

1 2

i

D.

1 2

?

3 2

i

2.已知全集 U=R,集合 A A. {? 1 , 3} 3.已知

? { ? 1 , 0 , 1 , 2 , 3} , B ? { x | 0 ? x ? 2} ,则 A ? ( C U B )



B. { 0 , 1} ∈R),则“ ?
?

C. {? 1 , 2 , 3}
? 2

D. {? 1 , 0 , 3} 是偶函数”的

f ( x ) ? sin( x ? ? ) ( ?

”是“

f (x)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则出现向上面的点数之和不小于 8 的概率是 A.
1 3

B.

5 12

C.

1 2

D.

7 12

5.已知直线和平面 ? , ? , A.若∥ ? , ? ? ? ,则 l

? ?

B.若∥ ? , ? ∥ ? ,则∥ ?

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C.若∥ ? , l

? ?

,则 ? ∥ ?

D.若⊥ ? , l

? ?

,则 ?

? ?

6.若实数 x,y

? x ? y ? 4 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 满足不等式组 ? ? x ? 0, ? y ? 0, ?

则3x ?

2y

的最小值是

A.-12 B.-10 C.-2 7.已知某几何体的三视图(单位:dm)如图所示, 则该几何体的体积(dm3)是 A. 64
? 4? 3

D.0 2 4 4 4 4
侧视图

B. 64 ? 16 ? C. 64 ? 4 ? D. 32 ? 4 ? 8.已知函数 f ( x ) ?

a sin x ? x

( a ∈R),则下列命题

正视图

中错误的是 .. A.若 ? 1 ? a ? 1 ,则 f ( x ) 在 R 上单调递减 B.若 f ( x ) 在 R 上单调递减,则 ? 1 ? a ? 1 C.若 a ? 1 ,则 f ( x ) 在 R 上只有 1 个零点 D.若 f ( x ) 在 R 上只有 1 个零点,则 a ? 1 9.设函数
f (x) ? x ?1

俯视图

(第 7 题图)

,若 0≤ a < b ,且

f ( a ) ? f ( b ) ,则 a ? b

的取值范围是 D. ( 2 , ? y P N
?)

A. (1 , 4 ]

B. ( 2 , 4 ]
x a
2 2

C. (1 , ?
y b
2 2

?)

10.已知点 P 是双曲线 C:

?

? 1 (a ? 0, b ? 0)

左支上的一点,F1,F2 是双曲线的左,右两个 焦点,且 PF1⊥PF2,两条渐近线分别与 PF2 相交 于 M,N 两点(如图),点 M 恰好平分线段 PF2, 则双曲线的离心率是 A. C.
5

M F2 x

F1

O

B.2 D.
2

3

(第 10 题图)

第Ⅱ卷 (共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知函数
?3x ? 1 , x ? 0 ? f (x) ? ? ? log 2 x , x ? 0 ?

,则

f(f(

1 2

))

的值是



. 甲 m 8 2 0 1 2 9 n



12.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数 相同,平均数也相同,则图中的 m ? n = ▲ . 13.已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 7
? ? 2 , S 9 ? 18

6


(第 12 题图)

本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 开 始 k=1 , S=0 是

则 S 11 =





14.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出 的值是 ▲ . 15.已知 sin( ? +
? 3

)?

1 3

,且满足 ? ▲
x
2

? [?

? 3

,

? 6

],

S> 2 ? 否
S ? S ? k sin

则 cos 2 ? 的值是 16.已知 F 是椭圆 C:


? y
2

k? 2

输出 k 结 束

? 1 的左焦点,

16

7

过原点 O 的直线交椭圆 C 于 P,Q 两点, 若
PF ? QF ? 9

k=k +2 (第 14 题图)

,则

PQ







17. 在△ ABC 中,AB 则 PB
? PC

? 3 , AC ? 4 , ? BAC ? 60 ?

, P 是△ ABC 所在平面内一点, AP 若 且

? 2



的最大值为





三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 (Ⅰ)求角 A,B 的大小; (Ⅱ)设函数
f ( x ) ? sin( x ? A ) ? cos x
cos A cos B ? b a

,且 ? C

?

2? 3



,求

f (x)

在[?

? 6

,

? 3

]

上的最大值.

19.(本题满分 14 分) 已知各项均为正数的等比数列 { a n } 满足 a 2 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (Ⅱ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , n 项积为 T n , 前 求所有的正整数 k , 使得对任意的 n∈N*, 不等式 S n ? k
? Tn 4 ? 1 恒成立.
?a4 ? a6



2 a3

?

1 a4

?

1 a5



20.(本题满分 15 分) 如图, 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, AF⊥平面 ABCD, CE∥AF,CE (Ⅰ)证明:BD⊥EF; (Ⅱ)若 AF=1,且直线 BE 与平面 ACE 所成角的正弦值 为
3 2

? ? AF ( ? ? 1)



E F

,求 ? 的值.

10

A B C

D

(第 20 题图)

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21.(本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ?
x ?
3

3 4

(a ? 4) x ?

2

3 2

(a ? 2) x

,a ? R.

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a ? ( 0 , 2 ] ,使得对任意的 x ? [ 0 , a ] ,不等式 0≤ 在,求出所有 a 的值;若不存在,请说明理由.

f (x)

≤a 恒成立?若存

22.(本题满分 14 分) 如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1: x 2 处的切线与圆 C2: x 2
? y
2

? 2 py ( p ? 0 )

的焦点,且抛物线 C1 上点 P

? 1 相切于点

Q.
2 ? 0 时,求抛物线

(Ⅰ)当直线 PQ 的方程为 x

? y ?

C1 的方程;
S

(Ⅱ)当正数 p 变化时,记 S1 ,S2 分别为△ FPQ,△ FOQ 的面积,求 1 的最小值. S2 y

F

P

O Q
(第 22 题图)

x

2013 年 2 月海宁市高三期初测试试题卷(文科数学) 答案及评分参考
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分) 1-5.C C A B D
4 3

6-10.A C D B A

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分) 11. 12.9 13.0 14.7

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4 6 ? 7 18

15.

16. 2

14

17. 10

? 2 37

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识,同时考查运算求解能力.满分 14 分. (Ⅰ)∵ ∴ (Ⅱ)
cos A cos B ? b a

,由正弦定理得
? B ? ? 6 ? 2

cos A cos B

?

sin B sin A ?

,即 sin ,则 A

2 A ? sin 2 B

…… 3 分 …… 6 分 …… 10 分 ……… 12 分

A ? B

或A

(舍去), ? C
3 sin( x ? ? 3 , ? 2 ] 2? 3 ? 3

2? 3

? B ?

? 6

f ( x ) ? sin( x ? ? 6 ? 3

) ? cos x ? ? 6

)



x ? [?

,

] ,则

? x ?

?

而正弦函数 y ∴
f (x)

? sin x

在[

? 6

上单调递增,在 [

? 2

,

2? 3

]

上单调递减, …14 分

的最大值为

3



19.本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式等基础知识, 同时考查运算求解能力.满分 14 分. (Ⅰ) 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ( a1
? a1 q ? a1 q 3 ? a1 q 5 ? 1 1 则由条件得 ? 2 ? ? 3 4 ?a q2 a1 q a1 q ? 1
? 0)

,公比为 q ( q

? 0)





………… 3 分

解得 a 1

? q ?

1 2

,即 a n
n

?

1 2
n


n ( n ? 1)

………… 7 分
1 2

(Ⅱ)?

Sn ?

a 1 (1 ? q ) 1? q

?1?

1 2
n

,Tn

? (

)

2



………… 11 分

若存在正整数 k ,使得不等式 S n ? k
1 2
n?k

?

Tn 4

? 1 对任意的

n∈N*都成立,

则1 ?

?(

1 2

n ( n ? 1)

?2

)

2

? 1 ,即 k ?

n ( n ? 1) 2

? 2

,正整数 k 只有取 k

? 1 .…

14 分

20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想象能 力和推理论证能力.满分 15 分. (Ⅰ)方法 1:连结 BD、AC,交点为O.∵ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC ∵AF⊥平面 ABCD ∴AF⊥BD ……4 分 ∴BD⊥平面 ACEF ……6 分 z ∴BD⊥EF ……7 分 F ……2 分 E

A x O

D y

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方法 2:如图建立空间直角坐标系 A-xyz, ∵ B (1, 0 , 0 ) , D ( 0 ,1, 0 ) ∴ BD
? ( ? 1,1, 0 )

…2 分 …4 分

设 F ( 0 , 0 , h ) ,那么 E (1,1, ? h ) , 则 EF ∴ BD
? ( ? 1, ? 1, (1 ? ? ) h )

…5 分 …7 分

? EF ? 0

∴BD⊥EF

(Ⅱ)方法 1:连结 OE,由(Ⅰ)方法1知,BD⊥平面 ACEF, 所以∠BEO 即为直线 BE 与平面 ACE 所成的角. ……10 分 ∵AF⊥平面 ABCD,CE∥AF ,∴CE⊥平面 ABCD,CE⊥BC, ∵BC =1,AF=1,则 CE= ? ,BE= ∴Rt△ BEO 中,
sin ? BEO ? BO BE
4 3

1? ?

2

,BO=
3 2 10

2 2

, …13 分

?

2 2 1? ?
2

?



因为 ?

? 1 ,解得 ? ?



……15 分

方法 2:∵ BE 故 BD
? ( ? 1,1, 0 )

? ( 0 ,1, ? )

,由(Ⅰ)法1知,BD⊥平面 ACEF, ……10 分

是平面 ACE 的法向量.

记直线 BE 与面 ACE 所成角为 ? , 则 sin
? ? BD ? BE BD ? BE ? 1 2 ? 1? ?
2

?

3 2 10

,…13 分;因为 ?

? 1 ,解得 ? ?

4 3

…15 分

21. 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质及导数应用等基础知识, 同时考查推理 论证能力.满分 15 分. (Ⅰ)当 a 令
? 2

时, f ? x ? ? , x1

x ?

3

9 2

x

2

? 6x

,求导

f ' ? x ? ? 3 x ? 9 x ? 6 ? 3 ( x ? 1)( x ? 2 )
2

.…2 分

f ' (x) ? 0

? 1 , x2 ? 2



当 f ' ( x ) ? 0 时, x ? 1 ,或 x ? 2 ; 当 f ' ( x ) ? 0 时, 1 ? x ? 2 , 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? ,1), ( 2 , ?? ) ,单调递减区间是 (1, 2 ) . (Ⅱ)求导
f ' ?x ? ? 3 x
? 3 2
2

… 6 分

?

3 2

(a ? 4) x ?

3 2

(a ? 2) ?

3 2

[2 x

2

? ( a ? 4 ) x ? ( a ? 2 )]

( x ? 1)[ 2 x ? ( a ? 2 )]


a 2 a 2 ? 1 ;当 f ' ( x ) ? 0 ? 1 ? 1( a ? 0 )

………… 7 分 , 时, 1 ?
x ? a 2 ?1,

令 当

f ' (x) ? 0

, x1

? 1 , x2 ?

f ' (x) ? 0

时, x

? 1 ,或 x ?

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所以

f (x)

的单调递增区间是 ( ?? ,1), (

a 2

? 1, ?? )

,单调递减区间是 (1,
f (x)

a 2

? 1)

. …9分

因为 f ( 0 ) ? 0 ,下面分类讨论研究当 x ? [ 0 , a ] 时, (1)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [ 0 , a ] 上单调递增, 即
f ( x ) min ? f ( 0 ) ? 0 , f ( x ) max ? f ( a )
a ? 4

最大值与最小值:

, ,所以 a 不存在. ………… 12 分

只要 (2)当 1 ?

f (a ) ? a
a ? 2

成立即可,解得 2 ?
a ? a 2

时,即 1 ?

? 1 , f (x)

在 [ 0 , 1] 上单调递增,在 (1, a ] 单调递减,

f ( x ) min ? min{ f ( 0 ), f ( a )} ,

f ( x ) max ? f (1) ,

只要 ?

? f (a ) ? 0 ? f (1 ) ? a

,解得 a

? 4

,所以 a 也不存在. ………… 15 分

综上所述,满足条件的实数 a 不存在.

22.本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思 想方法和运算求解能力.满分 14 分. (Ⅰ)设点 P ( x 0 ,
x0
2

)

,由 x 2

? 2 py ( p ? 0 )

得, y

?

x

2

,求导 y

'?

x p



……2 分

2p

2p

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以

x0 p

? 1 且 x0 ?

x0

2

?

2 ? 0

,解得 p

? 2

2



2p

所以抛物线 C1 的方程为 x 2

? 4

2y


x0 p

…………… 5 分

(Ⅱ)因为点 P 处的切线方程为: y

?

x0

2

?

2p

(x ? x0 )

,即 2 x 0 x

? 2 py ? x 0 ? 0

2

,…6 分

根据切线又与圆切,得 d

? r

,即
4

? x0
2 x0

2

?1
2

? 4p

4 ,化简得 x 0

? 4x0 ? 4 p

2

2



……7 分

2 ? 2 x 0 x ? 2 py ? x 0 ? 0 ? 由方程组 ? x 2 ? y 2 ? 1 ? x 4 ?4 x 2 ? 4 p 2 ? 0 0 ? 0

,解得 Q (

2 x0

,

4 ? x0 2p

2

)



…………9 分

所以

PQ ?

1? k

2

x P ? xQ ?

1?

x0 p

2 2

x0 ?

2 x0

?

p

2

? x0 p

2

x0 ? 2 x0

2



点 F (0,

p 2

)

到切线 PQ 的距离是 d

? p ? 4

2

? x0

2

?
2

1 2

2 x0

? 4p
2

x0 ? p

2

2



所以 S 1

?

1 2

PQ ? d ?

1 2

?

p

2

? x0 p

2

x0 ? 2 x0

?

1 2

x0 ? p

2

2

?

x0 ? p 4p

2

2

x0 ? 2 x0

2



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1 2 p 2 x0

S2 ?
4 而由 x 0

OF x Q ?


? x0 ? 4x0 ? 0
2 x0 p
2
4 2

………… 11 分 ,得
2

? 4x0 ? 4 p
2

2

2

知, 4 p 2
2 2

x0 ? 2
2


( 4 x 0 ? x 0 ? 4 x 0 )( x 0 ? 2 ) 2( x0 ? 4 x0 )
x0 ? 4 2
2
4 2 2 4 2 2

所以

S1 S2

?

x0 ? p 4p

x0 ? 2 x0

?

?

( x 0 ? p )( x 0 ? 2 ) 2p
2

?

?

x0 ( x0 ? 2)
2 2( x0

2

2

? 4)

?

x0 ? 4 2

2

?

4
2 x0

?4

?3? 2

2 ?3

,当且仅当
S1 S2

?

4
2 x0

? 4

时取“=”号,即

x0 ? 4 ? 2 2

2

,此时, p

?

2?2 2

.所以

的最小值为 3 ?

2 2



…… 14 分[


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