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2014年高中数学(人教a版)必修一:第1章-集合与函数的概念-单元评估试题(含答案)


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单元质量评估(一)
第一章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(201

2· 山东高考)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4}, 则( ?U A)∪B 为( A.{1,2,4} C.{0,2,4} ) B.{2,3,4} D.{0,2,3,4} )

2.如图可作为函数 y=f(x)的图象的是(

3. 已知集合 P={x|x2=1}, 集合 Q={x|ax=1}, 若 Q ? P, 那么 a 的值是 ( A.1 ) B.-1

C.1 或-1

D.0,1 或-1

4.方程 x2-px+6=0 的解集为 M,方程 x2+6x-q=0 的解集为 N,且 M∩N={2}, 那么 p+q=( A.21 ) B.8 C.6 D.7 )

5.(2012·安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

6.(2013 ·衡水高一检测 ) 下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ,y=x-5. ,y= . . )2,y=2x-5. B.(2),(3) D.(4) .

(1)y= (2)y= (3)y=x,y= (4)y=x,y= (5)y=( A.(1),(2) C.(3),(5)

7.下面 4 个结论: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶 函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),上述正确说法的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

8.已知 A={0,1},B={-1,0,1},f 是从 A 到 B 映射的对应关系,则满足 f(0)>f(1)的映射有( A.3 个 B.4 个 ) C.5 个 D.6 个

9.若函数 y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数 g(x)=f(x)+f(-x)的定义域 是( ) B.[-2,2] D.[2,4] 则 f(x)的最大值,最小值分别为( B.10,8 C.8,6 )

A.[-4,4] C.[-4,-2] 10.若 f(x)= A.10,6 D.8,8

11.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列说法: ①f(0)=0; ②若 f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1,则 f(x)在(-∞,0]上有最大值为 1; ③若 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则 f(x)在(-∞,-1]上为减函数; ④若 x>0 时,f(x)=x2-2x,则 x<0 时,f(x)=-x2-2x.其中正确说法的个数 是( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

12.f(x)满足对任意的实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)·f(b)且 f(1)=2,则 + + +?+ =( B.2 014 ) C.2 012 D.1 007

A.1 006

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在

题中的横线上) 13.(2012·广东高考)函数 y= 14.若函数 f(x)= 的定义域为 . .

则 f(-3)=

15.已知二次函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-3,2]上的最大值为 4,则 a 的值为 .

16.若函数 f(x)同时满足①对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(-x)=0; ②对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1≠x2 时,恒有 为“理想函数”.给出下列三个函数中:(1)f(x)= . (2)f(x)=x2.(3)f(x)= 相应的序号). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2 -5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},且 ? B),A∩C= ? ,求 a 的值. 18.(12 分)已知函数 f(x-1)=x2-4x,求函数 f(x),f(2x+1)的解析式. 19.(12 分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力, 特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖 4 节车厢, 一天能来回 16 次,如果每次拖 7 节车厢,则每天能来回 10 次. (1)若 每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次 函数解析式. (2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多 (A∩ 能被称为“理想函数”的有 (填 <0,则称函数 f(x)

少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数. 20.(12 分)已知函数 f(x)= ,

(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论. (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 21.(12 分)(能力挑战题)设 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意 x,y∈R, 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求 f(0)的值. (2)求证:f(x)为奇函数. (3)若函数 f(x)是 R 上的增函数,已知 f(1)=1,且 f(2a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围. 22.(12 分 )( 能 力 挑 战 题 ) 已 知 二 次 函 数 f(x) 的 最 小 值 为 1, 且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式. (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围. (3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方,试确定 实数 m 的取值范围.

答案解析
1. 【解题指南】先求集合 A 关于全集 U 的补集,再求它与集合 B 的并 集即可.

【解析】选 C.( ?U A)∪B={0,4}∪{2,4}={0,2,4}. 2.【解析】选 D.只有选项 D 中对定义域内任意 x 都有唯一的 y 值与之 对应. 3.【解析】选 D.P={-1,1},Q ? P,所以(1)当 Q= ? 时,a=0.(2)当 Q≠ ? 时,Q={ },? =1 或 =-1,解之得 a=〒1. 【 变 式 备 选 】 (2012 〃 上 海 高 考 改 编 ) 若 集 合 A={x|2x+1>0},B={x|-2<x-1<2},则 A∩B= .

【解题指南】本题考查集合的交集运算知识,此类题的易错点是临界点 的大小比较. 【 解 析 】 集 合 A={x|2x+1>0}={x|x>}, 集 合

B={x|-2<x-1<2}={x|-1<x<3},所以 A∩B={x|- <x<3}. 答案:{x|- <x<3} 4.【解析】选 A.因为 M∩N={2},所以 2 是这两个方程的解,分别代入两 个方程得 p=5,q=16,从而 p+q=21. 5.【解题指南】将选项中的函数逐个代入 f(2x)=2f(x)去验证. 【解析】选 C.f(x)=kx 与 f(x)=k|x|均满足:f(2x)=2f(x),故 A,B,D 满 足条件. 6.【解析】选 D.(1)中的 y= 与 y=x-5 定义域不同.(2)中两个函

数的定义域不同.(3)中第 1 个函数的定义域、值域都为 R,而第 2 个函 数的定义域是 R,但值域是{y|y≥0}.(5)中两个函数的定义域不同,值 域也不同.(4)中显然是同一函数. 7.【解析】选 A.偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定与 y 轴相交.反

例 : y=x0,故①错 . 奇函数的图象关于原点对称 ,但不一定经过原点 ,反 例:y=x-1,故②错.③正确.若 y=f(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可 得 f(x)=0,但未必 x∈R,反例:f(x)= 故④错. 8.【解析】选 A.当 f(0)=1 时,f(1)的值为 0 或-1 都能满足 f(0)>f(1); 当 f(0)=0 时,只有 f(1)=-1 满足 f(0)>f(1);当 f(0)=-1 时,没有 f(1) 的值满足 f(0)>f(1),故有 3 个. 9.【解析】选 B.由 得-2≤x≤2. + ,其定义域为{-1,1},

【拓展提升】复合函数的定义域的求解策略 若已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出即可;若已知 f(g(x))的定义域为[a,b],求 f(x)的定 义域,相当于当 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域(即 f(x)的定义域). 10. 【 解 析 】 选 A.f(x)=2x+6,x ∈ [1,2] 的 最 大 值 为 10, 最 小 值 为 8;f(x)=x+7,x∈[-1,1]的最大值为 8,最小值为 6,所以 f(x)的最大值 为 10,最小值为 6. 11.【解析】选 C.①f(0)=0 正确;②也正确;③不正确,奇函数在对称区 间上具有相同的单调性;④正确. 12.【解析】选 B.因为对任意的实数 a,b 都有 f(a+b)=f(a)〃f(b)且 f(1)=2,由 f(2)=f(1)〃f(1),得 由 f(4)=f(3)〃f(1),得 …… 由 f(2014)=f(2013)〃f(1), =f(1)=2,

=f(1)=2,

得 ? +

=f(1)=2, + +…+ =1007〓2

=2014. 13.【解题指南】求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取 值集合,本小题涉及分式,要注意分母不能等于 0,偶次根式被 开方数是 非负数. 【解析】由 得函数的定义域为{x|x≥-1,且 x≠0}.

答案:{x|x≥-1,且 x≠0} 14.【解析】f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2) =f(1)=1+1=2. 答案:2 15.【解析】f(x)的对称轴为 x=-1,当 a>0 时, f(x)max=f(2)=4,解得 a= ; 当 a<0 时,f(x)max=f(-1)=4,解得 a=-3. 答案:-3 或 【误区警示】本题易忽视分类讨论,简单认为 a>0,而导致错误. 16.【解析】①要求函数 f(x)为奇函数,②要求函数 f(x)为减函数,(1) 是奇函数但不是减函数,(2)是偶函数而且也不是减函数,只有(3)既是 奇函数又是减函数. 答案:(3) 17.【解析】≧B={x|x2-5x+6=0}={3,2}, C={x|x2+2x-8=0}={-4,2},

?由 A∩C= ? 知, -4 ? A,2 ? A, ? (A∩B)知,3∈A.

?9-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}=B,与 A∩C= ? 矛盾.当 a=-2 时,经检验,符 合题意. 18.【解析】已知 f(x-1)=x2-4x, 令 x-1=t,则 x=t+1,代入上式得, f(t)=(t+1)2-4(t+1)=t2-2t-3, 即 f(x)=x2-2x-3(x∈R). 因此 f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4. 【一题多解】≧f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3, ?f(x)=x2-2x-3(x∈R),因此,f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4x2-4. 19.【解析】(1)设每天来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意 y=kx+b,当 x=4 时,y=16,当 x=7 时,y=10,得到 16=4k+b,10=7k+b. 解得:k=-2,b=24,?y=-2x+24. (2)设每天来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意知,每天挂车厢最多时,运 营 人 数 最 多 , 设 每 天 运 营 S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72, 所以当 x=6 时,Smax=72,此时 y=12,则每日最多运营人数为 110〓72=7 920(人). 答:这列火车每天来回 12 次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数 为 7 920 人. S 节 车 厢 , 则

20.【解析】(1)函数 f(x)在[1,+≦)上是增函数. 任取 x1,x2∈[1 ,+ ≦),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= = ,

≧x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在[1,+≦)上是增函数. (2) 由 (1) 知函数 f(x) 在 [1,4] 上是增函数 , 最大值 f(4)= , 最小值 f(1)= . 【拓展提升】定义法证明函数单调性时常用变形技巧 (1) 因式分解 :当原函数是多项式函数时 ,作差后的变形通常进行因式 分解. (2)通分:当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进 行因式分解. (3)配方:当原函数是二次函数时,作差后可考虑配方,便于判断符号. 21.【解析】(1)令 x=y=0, 则 f(0)=f(0)+f(0)?f(0)=0. (2)令 y=-x, 则 f(0)=f(x)+f(-x)?f(-x)=-f(x), 所以 f(x)为 R 上的奇函数. (3)令 x=y=1, 则 f(1+1)=f(2)=f(1)+f(1)=2, ?f(2a)>f(a-1)+2?f(2a)>f(a-1)+f(2)

?f(2a)>f(a+1). 又因为 f(x)是 R 上的增函数,所以 2a>a+1?a>1, 所以 a 的取值范围是(1,+≦). 22.【解析】(1)由题意设 f(x)=a(x-1)2+1,代入(2,3)得 a=2, 所以 f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)对称轴为 x=1,所以 2a<1<a+1,所以 0<a< . (3)f(x)-2x-2m-1=2x2-6x-2m+2, 由题意得 2x2-6x-2m+2>0 对于任意 x∈[-1,1]恒成立, 所以 x2-3x+1>m 对于任意 x ∈ [-1,1] 恒成立 , 令 g(x)=x2-3x+1,x ∈ [-1,1], 则 g(x)min=-1,所以 m<-1.

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