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2014届高三数学一轮总复习单元检测(人教A):第4章-三角函数(含解析)


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2014 届高三数学一轮总复习单元检测: 第四章 三角函数

时间:120 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) π? π 1.已知 2tanα· sinα

=3,- <α<0,则 cos? ?α-6?的值是( 2 A.0 C.1 π? 1 ?π ? 2.已知 sin? ?α-4?=3,则 cos?4+α?的值等于( 2 2 A. 3 1 C. 3 π 3.若 0<α<β< ,则下列不等式不正确的是( 2 A.sinα+sinβ<α+β ) B.α+sinβ<sinα+β B. 3 2 )

1 D. 2 ) 2 2 B.- 3 1 D.- 3

4.如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是 大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位 θ → 置,在这个过程中向量OA围绕着点 O 旋转了 θ 角,其中 O 为小正六边形的中心,则 sin + 6 θ cos 的值是( 6 )

A.1 C.-1

1 B. 2 1 D.- 2 )

5. α,β∈{1,2,3,4,5},那么使得 sinα· cosβ<0 的数对(α,β)共有( A.9 个 B.11 个

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C.12 个 6.已知函数 y=-2sin2x· tanx,则( A.函数最小值是-1,最大值是 0 B.函数最小值是-4,无最大值 C.函数无最小值,最大值是 0 D.函数最小值是-4,最大值是 0 )

D.13 个

sinα sinβ 7.已知 α、β 为锐角,且 + =2,则下列结论中正确的是( cosβ cosα π A.α+β> 2 π C.α+β< 2 π 2π 1 +α?= ,则 cos? -2α?的值等于( 8.已知 sin? ?6 ? 3 ?3 ? 5 A.- 9 5 C. 9 π B.α+β= 2 π D.α+β= 4 ) 7 B.- 9 7 D. 9

)

α-β 9. 已知 acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0, α-β≠kπ, k∈Z), 则 cos2 =( 2 c2 A. 2 a +b2 b2 C. 2 2 a +c a2 B. 2 c +b2 a D. 2 c +b2

)

a+b 10.函数 f(x)=sinx 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b)=1,则 cos 的值为 2 ( ) A.0 C.1 π? sin? ?x-4? 11.函数 f(x)= 2|sinx|· 是( sinx-cosx π A.最小正周期为 的偶函数 2
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B.

2 2

D.-1

)

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B.最小正周期为 π 的非奇非偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的非奇非偶函数 2 12.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,x∈R)对定义域内的任意 x,都满足条件 f(x)=f(x +1)-f(x+2).若 A=sin(ωx+φ+9ω),B=sin(ωx+φ-9ω),则有( A.A>B C.A≥B B.A=B D.A<B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 请把正确答案填在题中横线上. ) π ? ?π ? 13.函数 y=2sin? ?3-x?-cos?6+x?(x∈R)的最小值为________. π π 14.已知函数 f(x)=x2-cosx,对于[- , ]上的任意 x1,x2,有如下条件: 2 2 ①x1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2. 其中能使 f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________. 7 ? 15.已知函数 y=asinx+bcosx+c 的图象上有一个最低点? ?4π,1?,如果图象上每点的 2 纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍,然后向左平移一个单位,可得到 y=f(x)的图象,又 π 知 f(x)=3 的所有根依次形成公差为 2 的等差数列,下列结论: (1)f(x)的周期为 4;(2)f(x)的周期为 2;(3)a= 2,b=- 2,c=3;(4)a=1,b=-1,c =2.其中正确的序号是________. 16.已知函数 f(x)= 1+sin2x ,给出下列结论: sinx+cosx
?

)

π ? ? ①f(x)的定义域为?x|x∈R,且x≠2kπ-4,k∈Z?;
?

②f(x)的值域为[-1,1]; ③f(x)是周期函数,最小正周期为 2π; π ④f(x)的图象关于直线 x= 对称; 4 π ? ⑤将 f(x)的图象按向量 a=? ?2,0?平移得到 g(x)的图象,则 g(x)为奇函数. 其中正确的结论是________.(将你认为正确的结论序号都写上) 三、 解答题: (本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) π? ? π? 17.(本小题满分 10 分)已知 tan? ?α+4?=-3,α∈?0,2?. (1)求 tanα 的值;
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π? (2)求 sin? ?2α-3?的值.

1 13 π 18.(本小题满分 12 分)已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< . 7 14 2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 β.

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(t)=

1-t ,g(x)=cosx· f(sinx)+sinx· f(cosx),x∈ 1+t

?π,17π?. 12 ? ?
(1)将函数 g(x)化简成 Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的形式; (2)求函数 g(x)的值域.

π π? 2π 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sin? ?4x-6?-2cos 8x+1. (1)求 f(x)的最小正周期; 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时 y=g(x)的最大 3 值.

x x? 3 3 21.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(cos x,sin x),b=? b- ?cos2,-sin2?,若 f(x)=a· 2 2 |a+b|2. (1)求函数 f(x)的单调减区间; π π? (2)若 x∈? ?-3,4?,求函数 f(x)的最大值和最小值.

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π 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(2ωx+φ)(ω>0)在 x= 时取得最大值 2.x1, 12 π x2 是集合 M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为 . 2 (1)求 f(x); 7π 2 ? (2)若 f(α)= ,求 cos? ? 6 -2α?的值. 3

2014 届高三数学一轮总复习单元检测 答案 2sin2α 1、 解析: 依题意得 =3, 即 2cos2α cosα 1 +3cosα-2=0,解得 cosα= 或 cosα=- 2 π π 2( 舍去 ) .又- <α<0 ,因此 α =- ,故 2 3 π? π ? π π? cos? ?α-6?=cos?-3-6?=cos2=0,选 A. 答案:A π ?π ?π ?? ? 2、 解析: cos? ?4+α?=sin?2-?4+α??= π? 1 -sin? ?α-4?=-3,故选 D. 答案:D C.α· sinα<β· sinβ 3、解析:由已知得 sinα<α,sinβ<β, 0<sinα<sinβ, 因此 sinα+sinβ<α+β, 即选项 A 正确.α· sinα<β· sinβ,即选项 C 正确.构 造函数 f(x)=x-sinx(其中 x>0), 则 f′(x)=1 -cosx≥0,因此函数 f(x)=x-sinx 在(0,+

π ∞)上是增函数, 当 0<α<β< 时, 有 f(α)<f(β), 2 即 α-sinα<β-sinβ,α+sinβ<sinα+β,即选 π π 项 B 正确.对于选项 D,当 α= ,β= 时, 6 3 π π 3 β· sinα= > · =α· sinβ,选项 D 不正确. 6 6 2 答案:D 点评:对于此类问题,可以考虑通过取 特殊值的方法来确定答案. θ 4、解析:结合图形易知 θ=6π,∴sin 6 θ +cos =-1. 6 答案:C π 3π 5、解析:注意到 0<1< <2<3<π<4< D.β· sinα<α· sinβ 2 2 <5<2π,就 α 的取值分类计数:(1)当 α 取 1、 2、3 之一时,sinα>0,此时需 cosβ<0,β 可 取 2、3、4 之一,相应的数对(α,β)有 3×3 =9 个;(2)当 α 取 4、5 之一时,sinα<0,此 时需 cosβ>0,β 可取 1、5 之一,相应的数 对(α, β)有 4 个. 因此满足题意的数对(α, β)

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共有 9+4=13 个,选 D. 答案:D 7 、 解 析 : y = - 2sin2x· tanx = - sinx 4sinxcosx· cosx =-4sin2x=2cos2x-2. π 由 y=-2sin2x· tanx,知 x≠kπ+ ,∴ 2 2x≠2kπ+π. ∴当 2x=2kπ 时,y=2cos2x-2 有最大 值为 0;由于 2x≠2kπ+π,显然 y=2cos2x -2 无最小值.故选 C. 答案:C sinx sinβ 8、解析:设 f(x)= + ,易知 x cosβ cosx π? π ∈? 而当 x= -β 和 x ?0,2?时 f(x)为增函数. 2 π ? π =α 时有 f(α)=f? ?2-β?,故 α=2-β,即 α π +β= . 2 答案:B 点评: 应用函数的单调性解题的创造性 体现在:通过已知条件进行联想,从而发现 或构造单调函数.当然此题也可以令 sinα= cosβ,则 sinβ=cosα 也满足题意,但需要具 备一定的观察能力. π ? π π π 8、 解析: ∵ +α+ -α= , ∴sin? ?6+α? 6 3 2 π 2π 1 -α? = , ∴ cos ? -2α? = = cos ? ?3 ? ?3 ? 3 π 2 ?π ? ? ?1? 2 cos2 ? ?3-α? = 2cos ?3-α? - 1 = 2× ?3? - 1 7 =- ,故选 B. 9 答案:B 9 、解析: 在平面直角坐标系中,设 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),点 A 与点 B

是直线 l:ax+by=c 与单位圆 x2+y2=1 的 两个交点,如图,从而|AB|2=(cosα-cosβ)2 +(sinα-sinβ)2=2-2cos(α-β),又∵单位 圆的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= |c| , a2+b2

1 ?2 2 由平面几何知识得|OA|2-? ?2|AB|? =d ,即 1 2-2cos?α-β? c2 - = 2 2, 4 a +b α-β c2 ∴cos2 = 2 . 2 a +b2 答案:A 10、解析:由 f(a)=-1,f(b)=1,得 a π π = 2kπ - , k ∈ Z, b = 2kπ + , k ∈ Z,故 2 2 a+b cos =cos2kπ=1,故选 C. 2 答案:C 11、解析:由 sinx-cosx≠0 得 x≠kπ+ π (k∈Z).因此,函数 f(x)的定义域不是关于 4 原点对称的数集,故函数 f(x)既不是奇函数 π 也不是偶函数. 注意到 f(x)=|sinx|(x≠kπ+ , 4 k∈Z),所以函数 f(x)的最小正周期为 π,选 B. 答案:B 12、解析:∵对于定义域内的任意 x, 都有 f(x)=f(x+1)-f(x+2),① ∴f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),② 由①、②得:f(x)=-f(x+3),③ 用 x+3 代替 x 得:f(x+3)=-f(x+6), ④ 由③、④得:f(x+6)=f(x),即 f(x)的周 期为 6. 又∵ A = sin(ωx + φ + 9ω) = sin[ω(x + 9) +φ]=sin[ω(x+6×2-3)+φ]=sin[ω(x-3)
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+φ],而 B=sin(ωx+φ-9ω)=sin[ω(x-9) + φ] = sin[ω(x - 6 - 3) + φ] = sin[ω(x - 3) + φ],∴A=B,故选 B. 答案:B π ? 二、13、解析:依题意,y=2sin? ?3-x? π ? ?π ? ?π ? - cos ? ?6+x? = 2sin ?3-x? - sin ?3-x? = π ? sin? ?3-x?,所以函数的最小值为-1. 答案:-1 π 14、解析:验证答案,令 x1= >x2=- 2 π ,则 f(x1)=f(x2),故①不符合题意;令 x1 2 π =x2=- ,则|x1|>x2,但 f(x1)=f(x2),故③ 2 不符合题意,所以只有②符合题意. 答案:② 15、解析:依题意可知- 2 2 a+ b+c 2 2

π cosx≠0,即 x∈R,且 x≠kπ- ,k∈Z; 4
? ?1,sinx+cosx>0 f(x)=? ?-1,sinx+cosx<0 ?



? ?1,x∈? ?2kπ-4,2kπ+ 4 ??k∈Z? ? 3π 7π 2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z) ?-1,x∈? 4 4? ?
观察图象可

π





知: f(x)的值域为{-1,1}; 函数 f(x)的最 小正周期为 2π;函数 f(x)的图象关于直线 x π π = 对称;f(x)的图象向右平移 个单位得到 4 2 g(x)的图象, g(x)不是奇函数, 故只有③④正 确.

=1,- a2+b2+c=1,解得 a=-b,y= π? asinx+bcosx+c= 2asin? ?x-4?+c,a>0, π π? - 2a+c=1,且 f(x)= 2asin? ?2?x+1?-4? π π? +c= 2asin? ?2x+4?+c,函数 f(x)的周期是 2π =4,因此(1)是正确的.(2)是错误的.由 π 2 f(x)=3 的所有根依次形成公差为 2 的等差 数列及 f(x)的周期是 4 得 c=3.又- 2a+c =1,由此解得 a= 2,b=- 2,(3)是正 确的.综上所述,其中正确的命题是(1)(3). 答案:(1)(3) 17、解析:∵1+sin2x=(sinx+cosx) , ∴f(x)= |sinx+cosx| ,f(x)的定义域为 sinx+ sinx+cosx
2

答案:③④ π? 三、 17 、解析: (1) 由 tan? ?α+4? =- 3 tanα+1 可得 =-3. 1-tanα 解得 tanα=2. π? (2)由 tanα=2,α∈? ?0,2?,可得 sinα= 2 5 5 4 ,cosα= .因此 sin2α=2sinαcosα= , 5 5 5 π? 3 cos2α = 1 - 2sin2α = - , sin ? ?2α-3? = 5 π π 4 1 3 3 sin2αcos - cos2αsin = × + × = 3 3 5 2 5 2 4+3 3 . 10 1 π 18、解析:(1)由 cosα= ,0<α< ,得 7 2

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sinα = 1-cos2α =

1?2 4 3 1-? ?7? = 7 . ∴

5π 3π? ∵ sint 在 ? ? 4 , 2 ?上为减函数,在

sinα 4 3 7 tanα= = × =4 3. cosα 7 1 于是 tan2α= 8 3 . 47 π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 13 又 ∵ cos(α - β) = , ∴ sin(α - β) = 14 1-cos2?α-β?= 13?2 3 3 1-? ?14? = 14 . 2×4 3 2tanα =- 2 = 1-tan α 1-?4 3?2

?3π,5π?上为增函数, ?2 3?
又 sin 5π <sin ; 4 17π? ? π? 当 x∈? ?π, 12 ?,即-1≤sin?x+4?<- 2 , 2 π x+ ?-2<-3, ∴- 2-2≤ 2sin? ? 4? 故 g(x)的值域为[- 2-2,-3). π π π π 20、 解析: (1)f(x)=sin xcos -cos xsin 4 6 4 6 π π? π 3 π 3 π -cos x= sin x- cos x= 3sin? ?4x-3?, 4 2 4 2 4 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= =8. π 4 (2) 在 y = g(x) 的图象上任取一点 (x , 1-sinx + 1+sinx g(x)) ,它 关 于 x = 1 的对称 点为 (2 - x , g(x)).由题设条件,点(2-x,g(x))在 y=f(x) 的图象上,可知, π? 5π 5π 3π <sin , ∴ sin ≤sin ? ?x+4? 3 4 2

由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α -β)] = cosαcos(α - β) + sinαsin(α - β) = 13 4 3 3 3 1 × + × = . 14 7 14 2 π 所以 β= . 3 19、解析:(1)g(x)=cosx· sinx· = sinx· 1-cosx 1+cosx cosx· ?1-cosx? sin2x
2

1 7

?1-sinx?2 cos2x



π π? g(x)=f(2-x)= 3sin? ?4?2-x?-3? π π π? ?π π? = 3sin? ?2-4x-3?= 3cos?4x+3?. 4 π π π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ x+ ≤ ,因此 y 3 3 4 3 3 4? =g(x)在区间? ?0,3?上的最大值为 g(x)max= π 3 3cos = . 3 2 3x x 3x 21、解析:(1)∵f(x)=cos cos -sin 2 2 2 x ?cos3x+cosx?2+?sin3x-sinx?2? = sin - ? 2 2? ? 2 2? ? 2 ?? cos2x-(2+2cos2x)=-cos2x-2.

1-sinx 1-cosx =cosx· +sinx· , |cosx| |sinx| 17π ∵x∈(π, ],∴|cosx|=-cosx,|sinx| 12 =-sinx, 1-sinx 1-cosx ∴ g(x) = cosx· + sinx· = -cosx -sinx π? sinx+cosx-2= 2sin? ?x+4?-2. 17π 5π π 5π (2)由 π<x≤ ,得 <x+ ≤ . 12 4 4 3

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∴ 函 数 f(x) 的 单 调 减 区 间 为

?kπ-π,kπ?(k∈Z). 2 ? ?
π π? ? 2π π? (2)∵x∈? ?-3,4??2x∈?- 3 ,2?, 3? 则 f(x)∈? ?-3,-2?, 3 ∴函数 f(x)的最大值为- , 最小值为- 2 3. 22、解析:(1)由题意知:f(x)的最小正 周期为 π,A=2, 由 2π =π 知 ω=1, 2ω

∴f(x)=2sin(2x+φ), π? π ∵f? ?12?=2,∴sin(2×12+φ)=1, π π 从而 +φ= +2kπ,k∈Z. 6 2 π 即 φ= +2kπ(k∈Z), 3 π? ∴f(x)=2sin? ?2x+3?. π? 2 2 (2)由 f(α)= 知 2sin? ?2α+3?=3, 3 π? 1 即 sin? ?2α+3?=3. π?? 7π ?3π ? ? ∴cos? ? 6 -2α?=cos 2 -?2α+3?

?

?

π? 1 =-sin? ?2α+3?=-3.

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