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江苏省盐城市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题含答案


2014-2015 学年度第二学期高一年级期终考试 数 学 试 题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分 钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 参考公式:锥体体积公式: V ? Sh 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.函数 f ( x) ? sin 2x 的最小正周期为 2.直线 3x ? y ?1 ? 0 的倾斜角为 ▲ ▲ . ▲ . .

1 3

3.若向量 a = ?1, k ? , b= ? 2, 2 ? ,且 a // b ,则 k 的值为

?

?

? ?

4.已知正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 6 ,则该正四棱锥的 体积为 ▲ . ▲ . 第 4 题图 ▲ .

5.过点 A(1, 2) ,且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程为

6.在等比数列 {an } 中, an ? 0 ,其前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 2 , S4 ? S2 ? 12 ,则 a1 = 7.已知向量 AB ? BC , | AC |? 5 , | BC |? 3 ,则 AB ? AC ? 8.已知 cos ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?





5 , ? 是第四象限角,且 tan(? ? ? ) ? 1 ,则 tan ? 的值为 5





2 2 9.若直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与圆 C : x ? y ? 2x ? 6 y ? 2 ? 0 交于 A 、 B 两点,则 ?ABC 的面积为

. 10.设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? , l ? ? ,则 l ? ? ; ②若 l ∥ m , l ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 m ? ? , l ? m ,则 l ∥ ? ; 其中真命题的序号为 ▲ . ▲ . ④若 ? ? ? , l ? ? , m ? ? ,则 l ? m .



11.若等差数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? 4n ,则其前 n 项和 Sn =

12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 3 , c ? 1 , sin 2 A ? sin C ,则 AB ? AC ? ▲ .
2 2

uu u r uuu r

13.已知圆 O : x ? y ? 1 ,点 M ( x0 , y0 ) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上一点,若圆 O 上存在一点 N ,使得 ?NMO ?

?
6



则 x0 的取值范围是





14 .已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,直线 MN 过正方形的中心 O 交边 AD, BC 于 M , N 两点,若点 P 满足

???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (??R ) ,则 PM ? PN 的最小值为 2OP ? ? OA? (1? ? ) OB





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分)
[来源:学科网]

已知函数 f ? x ? ? 2cos x ? sin x ? cos x ? , x ? R . (1 )求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 16. (本小题满分14分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 PAB ? 平面 ABC , PA ? PB ? PC , M 、 N 分别为 AB 、 BC 的中点.

? ?? 上的最大值和最小值. ? 2? ?

P

(1 )求证: AC ∥平面 PMN ; (2)求证: MN ? BC .

B
17. (本小题满分14分) A 在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60? , M ,N 分别为边 BC , CD 的中点. (1)用 AB 、 AD 表示 MN ; (2)求 AM ? AN 的值. 18. (本小题满分16分) 第 17 题图 如图,为对某失事客轮 AB 进行有效援助,现分别在河岸 MN 选择两处 C 、 D 用强 N 光柱进行辅助照明,其中 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面内.现测得 CD 长为 100 米,

M
第 16 题图

N C

??? ?

????

???? ?

D

N
M

C

???? ? ????

A

B

D

?ADN ? 105? , ?BDM ? 30? , ?ACN ? 45? , ?BCM ? 60? .
(1)求 ?BCD 的面积; (2)求船 AB 的长. 19. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O : x ? y ? 4 交 x 轴于点 A, B (点 A 在 x 轴的负半
2 2

A

C
M
第 18 题图

B

轴上) ,点 M 为圆 O 上一动点, MA, MB 分别交直线 x ? 4 于 P, Q 两点. (1)求 P, Q 两点纵坐标的乘积; (2)若点 C 的坐标为 (1, 0) ,连 接 MC 交圆 O 于另一点 N .

①试判断点 C 与以 PQ 为直径的圆的位置关系,并说明理由; ②记 MA, NA 的斜率分别为 k1 , k2 ,试探究 k1k2 是 否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

y

P M

20. (本小题满分16分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? m ? m ? ?1? ,前 n 项和 Sn 满足 (1)求 a3 (用 m 表示) ; (2)求证:数列 ?Sn ? 是等比数列;

A

O

B

x

1 1 1 ? ? (n ? 2) . Sn an an?1
第 19 题图

Q

? k , 时 , bn ? a2k ?n?1 ; 当 ( 3 ) 若 m ? 1 , 现 按 如 下 方 法 构 造 项 数 为 2 k 的 有 穷 数 列 ?bn ? : 当 n ? 1, 2,

n ? k ?1, k ? 2, ? ,2 k时, bn ? an an?1 ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,试问:
求出 k 的取值集合;若不能,请说明理由.

T2 k 是否能取整数?若能,请 Tk

2014-2015 学年度第二学期期终调研考试

高一数学参考答案
一、填空题:每小题 5 分,共计 70 分. 1. ? 8. ? 3 2.

? 3

3.1 10.①

4.

8 3
2

5. 2 x+y ? 4=0 12.

6.1 13. ? ?2,0?

7. 16 14. ?

9. 2 3

11. n

1 2

7 16

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.解: (1) f ? x ? ? 2cos x ? sin x ? cos x ? ? 2sin x cos x ? 2cos2 x=sin 2x ? cos2x ? 1

?? ? = 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ………………………………………………………………………………4 分 4? ?
由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

,解得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? 8 8

3? ?? ? ,k? ? ? ? k ? Z ? …………………………………7 分 所以函数 f ? x ? 单调递增区间 为 ? k? ? 8 8? ?
(2)当 0 ? x ?

?
2

时 0 ? 2x +

?
4

?

2x +

?
4

=

5? ? 即 x = 时,函数 f ? x ? 取得最小值 0 ……………………………14 分 4 2

5? ? ? ? ,所以当 2x + = 即 x = 时,函数 f ? x ? 取得最大值 2+1 ,当 4 4 2 8

16.证明:(1)证明:因为 M 、 N 分别为 AB 、 BC 的中点,所以 MN ∥ AC ……………3 分 又因为 MN ? 平面PMN , AC ? 平面PMN ,所以 AC ∥平面 PMN ……………………7 分 (2) 因为 PA ? PB ? PC ,M 、N 分别为 AB 、BC 的中点, 所以 PM ? AB ,PN ? BC , 又因为平面 PAB ? ABC PM ? 平面PAB 平面PAB ? 平面ABC ? AB 平 面 , , , 所 以 P ? M 平面 A B C ………………………………………………………………………………10 分 又 BC ? 平面ABC ,所以 PM ? BC ,所以 BC ? 平面PMN ,因为 MN ? 平面PMN , 所以 MN ? BC ……………………………………………………………………………………14 分
[来源:Z|xx|k.Com]

17.解: (1)由 题,在 ?AMN 中, MN ? AN ? AM ? AD+ DN ? AB ? BM

???? ?

???? ???? ?

???? ????

?

??? ? ???? ?

?

???? 1 ??? ? ? ??? ? 1 ???? ? 1 ???? 1 ??? ? ? AD ? AB ? ? AB ? AD ? ? AD ? AB ………………………………………………7 分 2 2 2 ? ? 2 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? (2)在 ?ABM , AM ? AB ? BM ? AB ? BC ? AB ? AD ……………………………9 分 2 2 ???? ???? 1 ??? ? 同理,在 ?ADN , AN ? AD ? AB …………………………………………………………11 分 2 ???? ? ???? ? ??? ? 1 ???? ?? ???? 1 ??? ?? 所以 AM ? AN = ? AB ? AD ?? AD ? AB ? 2 2 ? ?? ?
= ? 2 1 ???? 2 5 ??? ? ???? 1 1 ??? 1 5 1 13 AB + AD + AB ? AD = ? 4+ ? 4+ ? 2 ? 2 ? = ……………………………14 分 2 2 4 2 2 4 2 2

? ? ? ? 18.解: (1)由题, ?BDM ? 30 , ?ACN ? 45 , ?BCM ? 60 ,得 ?CBD ? 30 ,所以 BC ? BD=100 ,

所以 S ?BCD ?

1 1 CB ? CD ? sin ?BCD = ? 100 ?100 ? sin120? 2 2

? 2500 3 平方米…………………………………………………………………………………7 分
(2)由题, ?ADC ? 75 , ?ACD ? 45 , ?BDA ? 45 ,
? ? ?

在 ?ACD 中, 在 ?BCD 中,

CD AD 100 AD 100 ? ? 6 ……9 分 ,即 ,所以 AD ? ? ? sin ?CAD sin ?ACD sin 60 sin 45 3
在 ?ABD

BD ? BC2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos ?BCD ? 1002 ?1002 ? 2 ?100 ?100 ? cos120? =100 3
中, AB ?

AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?BDA

100 100 100 2 15 , ? ( 6)2 ? ( 100 3) ? 2? 6 ?100 3 ? cos 45? = 3 3 3
即船长为

100 15 米……………………………………………………………………………16 分 3

19.解: (1)由题意,解得 A(?2, 0) , B(2, 0) ,设 M ( x0 , y0 ) ,

? 直线 AM 的方程为 y ?

y0 6 y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2

? P(4,

6 y0 2 y0 6 y0 2 y0 12 y 2 ) ,同理 Q(4, ) ,? yP yQ ? ? ? 2 0 ? ?12 ……………5 分 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

(2)①? C (1, 0) ,由(1)知 CP ? (3,

??? ?

??? ? 6 y0 2 y0 ) , CQ ? (3, ), x0 ? 2 x0 ? 2

??? ? ??? ? ? 6 y0 2 y0 ? ? ?3 ,即 ?PCQ ? ,? 点 C 在圆内…………………10 分 ? CP ? CQ ? 9 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
②设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,当直线 MN 的斜率不存在时, M (1, 3) , N (1, ? 3) ,此时 k1k2 ? ? 线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入圆方程 x2 ? y 2 ? 4 ,整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ,

1 ;当直 3

? x1 ? x2 ?

2k 2 k2 ? 4 y1 y2 k 2 ( x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1) x x ? , ,又 , k k ? ? 1 2 1 2 1? k 2 1? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

k 2 ? 4 2k 2 ? ?1 2 2 1 2 1? k 1 ? k ? ? ………………16 分 ? k1k2 ? k 2 2 k ? 4 4k 3 ? ?4 2 2 1? k 1? k
20 . 解 : (1)令 n?2 ,则

1 1 1 1 1 1 , 将 a1 ? 1 , a2 ? m 代 入 , 有 ,解得 ? ? ? ? S2 a2 a3 1? m m a 3

a3 ? m2 ? m ………………………………………………………… ……………………………5 分
(2)由

1 1 1 1 1 1 ,化简得 Sn 2 ? Sn?1Sn?1 , ? ? (n ? 2) ,得 ? ? Sn an an?1 Sn Sn ? Sn?1 Sn?1 ? Sn

又 Sn ? 0 ,? 数列 ?Sn ? 是等比数列… …………………………………………………………10 分 (3)由 m ? 1 ,? S1 ? 1 , S2 ? 2 ,又数列 ?Sn ? 是等比数列,? Sn ? 2n?1 ,

? an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 ? 2n?2 ? 2n?2 (n ? 2) ,当 n ? 1, 2,?, k 时, bn 依次为 a2k , a2k ?1,?, ak ?1 , ? Tk ? S2k ? Sk ? 22k ?1 ? 2k ?1 ? 2k ?1 (2k ?1) …………………………………………………13 分


n ? k ? 1, k ? 2,?, 2k



bn ? an an?1 ? 22n?3 , ? T2 k ? Tk ? 22( k ?1)?3 ?

1 ? 4k 22 k ?1 (4k ? 1) ? 1? 4 3



?

T 2k ? 1 2k ? 1 T2k T2k ? Tk 2k (2k ? 1) 为整数,令 ck ? , ? ?1 ? ? 1 ,要使 2 k 取整数 ,需 3 3 Tk Tk Tk 3
2k ? 2 ? 1 2k ? 1 ? ? 2k ,? ck ? 2 , ck 要么都为整数,要么都不是整数, 3 3
5 * ,? 当且仅当 k 为奇数时, ck 为整数,即 k 的取值集合为 k k ? 2n ? 1, n ? Z 3

? ck ? 2 ? ck ?
又 c1 ? 1, c2 ?

?

?

时,

T2 k 取 Tk

整数.…………………………………………………………………………………16 分


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