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福建省莆田一中2015-2016学年高二上学期国庆作业数学文试卷2


莆田一中高二文科数学国庆作业 2(数列)
1C 2A 3D 4D 5C

6.【答案】

。 【解析】由题意得,



,?,





,且

>0,∴

,易得

>=

=?=

=

=

=





+

=

+

=

。 的公差为 d,则

7.Ⅰ)设等差数列

因为

,所以

.

解得,

.

所以

的通项公式为

.

(Ⅱ)

,

所以 8(Ⅰ)设数列 的公比为 ,则 , . 由题意得

.



解得

故数列

的通项公式为

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 若存在 ,使得 当 为偶数时, ,则

. ,即

, 上式不成立;

当 为奇数时,

,即

,则

. .

综上,存在符合条件的正整数 ,且所有这样的 n 的集合为
9.解: (Ⅰ)

-

上式左右错位相减:

.
10.

11.【答案】(1)当

时, , ,

,

(2)当

时,



时,

是公差

的等差数列.

构成等比数列, 由(1)可知, 是首项 数列 的通项公式为 .

,

,解得

,

,公差

的等差数列.

(3)

12. 解:(Ⅰ) 设公差为 d,则

. (Ⅱ) .

. 所以, 是首项 ,公比 的等比数列.

13.

莆田一中高二文科数学国庆作业 2(数列)
1 .已知数列

?an ? 满足 3an?1 ? an ? 0, a2 ? ? 3 , 则?an ?的前10项和等于

4





-10 A. -6 1-3

?

?

B.

1 1-3-10 ? ? 9

-10 C. 3 1-3

?

?

-10 D. 3 1+3

?

?
( )

2 .设 S n 为等差数列

?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 =
B. ?4 C. ?2 D.2

A. ?6
3 .设首项为 1 ,公比为

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3
B. S n ? 3an ? 2 C. S n ? 4 ? 3an D. S n ? 3 ? 2an





A. S n ? 2an ? 1

4 .下面是关于公差 d ? 0 的等差数列

? an ? 的四个命题:
p2 : 数列?nan ?是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;
( )

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 A. p1 , p2 B. p3 , p4

C. p2 , p3

D. p1 , p4

5.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)} 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数” 。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上 的如下函数:①f(x)=x?;②f(x)=2x;③ 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 ;④f(x)=ln|x |。

A.①② B.③④ 6.已知 f ( x ) ?

C.①③

D.②④

1 , 各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an? 2 ? f (an ) , 若 a0 1 2 1? x

2 1 0

?a



则 a20 ? a11 的值是
7.等差数列

?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,
1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

(I)求 ?an ? 的通项公式;(II)设 bn ?

8.已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S4 , S2 , S 3 成等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存 在,说明理由.

9.设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1

? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ? N ?

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和 .

10.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 且 S 4

? 4 S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 (Ⅱ)设数列 ?bn ?满足

b b1 b2 1 ? ?? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ?的前 n 项和 Tn a1 a2 an 2

11 . 设 各项均为正 数的数列

?an ? 的 前 n 项和 为 Sn , 满足 4Sn ? an2?1 ? 4n ? 1,n ? N ? ,且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

12. 设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和.

(Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ?
1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比数列. 1? q

13. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成 立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

莆田一中高二文科数学国庆作业 2(数列)
1C 2A 3D 4D 5C

6.【答案】

1 2 8 3 ? 13 5 。 【解析】由题意得, a 3 ? , a 5 ? ,?, a11 ? , 2 3 13 26

∵ a2010 ? a2012 ,且 a n. >0,∴ a 2010 ?

?1? 5 ,易得 a2010 = a2008 =?= a 24 = a 22 = a 24 = a 20. , 2

∴ a 20. + a11 =

? 1 ? 5 8 3 ? 13 5 + = 。 13 26 2

7.Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an

? a1 ? (n ?1)d

因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9
1 . 2 n ?1 . 2

解得, a1 ? 1, d ?

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
2 1 2 2 2 2 2 3 2 n 2 2n )? . n ?1 n ?1

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

8(Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q ,则 a1 ? 0 , q ? 0 . 由题意得
? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18, ? a ? 3, 解得 ? 1 ?q ? ?2.
2 3 2 ? ? ?a q ? a1q ? a1q , 即 ? 1 2 ? ?a1q(1 ? q ? q ) ? ?18,

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 3(?2)n?1 .
3 ? [1 ? (?2)n ] ? 1 ? (?2)n . 1 ? (?2)

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 Sn ?

若存在 n ,使得 Sn ? 2013 ,则 1 ? (?2)n ? 2013 ,即 (?2)n ? ?2012.

当 n 为偶数时, (?2)n ? 0 , 上式不成立; 当 n 为奇数时, (?2)n ? ?2n ? ?2012 ,即 2n ? 2012 ,则 n ? 11 . 综上,存在符合条件的正整数 n ,且所有这样的 n 的集合为 {n n ? 2k ? 1, k ? N, k ? 5} .
9.解: (Ⅰ)

? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时, 2a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1.
2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ?

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .

设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1
? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * .
10.

1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

2 2 11.【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an

? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4

2

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , ? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 ? 当 n ? 2 时 , ?an ? 是公差 2

d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2
12. 解:(Ⅰ) 设公差为 d,则 an

? a1 ? (n ? 1)d

?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n?1 ? a n ? 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a2 ? a n?1 ) ? ? ? (a n?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? S ? a ? a ? ? ? a ? a n n ?1 2 1 ? n
? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ? n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

,q ? 0,由题知q ? 1. (Ⅱ) a1 ? 1
?n ? N *,S n ? 1? qn 1 ? q n?1 1 ? q n q n ? q n?1 ? an?1 ? S n?1 ? S n ? ? ? ? qn 1? q 1? q 1? q 1? q

?1 a n ? ? n ?1 ?q

n ?1 n?2

? a n ? q n?1,n ? N * .

所以, 数列 {an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列.

13.


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