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人教版数学九上22.2《降次──解一元二次方程》word学案


22.2 降次——解一元二次方程 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、掌握一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法) 2、掌握一元二次方程的根的判别式. 【重点难点】 1、 一元二次方程的解法; 2、 元二次方程的根的判别式 知识概览图 直接开平方法 配方法 一元二次方程的解法解 公式法 法 因式分解法 一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac △>0,有两个不等实根 △=0,有两个相等实根 △<0,无实根 一元二次 方程的解 法 新课导引 如下图所示,一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体 形状的盒子的全部表面(正方体的表面积为六个面面积之和),求盒子的棱长. 【问题探究】 设盒子的棱长为 x dm,可知每个正方体的表面积为 6x2 dm2,10 个正方体的表 面积和为 60x2 dm2,所以 60x2=1500,解这个方程即可.如何解这个方程呢? 【解析】 由 60x2=1500,可得 x2=25,所以 x 是 25 的平方根,即 x=±5,但由于 x 表示的 是正方体的棱长,故 x=5. 教材精华 知识点 1 解一 元二次方程的基本思想 降次 ? 一元一次方程. 一元二次方程 ??? 拓展 解一元二次方程的基本思想是 “降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为一元一 次方程和解二元一次方程组的“消元”思想类似.“降次”和“消元”都是数学中重要的化归思 想,即将新知识转化为旧知识解决. 知识点 2 利用直接开平方法解形如(ax+b)2=c(c≥0)的一元二次方程 一般地,运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 对形如(ax +b)2=c(c≥0)的一元二次方程来说,因为 c≥0,所以在方程两边直接开平方, 可得 ax+b=± c ,进而求得 x= ? c ?b (c≥0). a 拓展 (1)直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,它主要针对形如( ax+b)2= c(c≥0)的一元二次方程,它的理论依据就是平方根的意义. (2)利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果后取“正、负”. (3)用直接开平方法解方程先要将方程化为左边是含未知数的完全平方式,右边是非负实数 的形式,再利用平方根的定义求解. 知识点 3 利用配方法解一元二次方程 把一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)变形成左端是一个含有未知数的完全平方式, 而右端是一个非负常数,进而可用直接开平方法来求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的一般步骤:第一步,把方程化为一般形式(二次项系数是 1);第 二步,把常数项移到方程的右边;第三步,配方,方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平 方;第四步,把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式;第五步,用直接开平方法解方程 . |规律方法小结|(1)配方法是对二次项和一次项配方,所以一般先把常数项移到方程右边,再 利用等 式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方(二次项系数必须为 1). (2)用配方法解一元二次方程,实质就是对一元二次方程变形,转化成开平方所需的形式.配 方是为了降次,利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 知识点 4 利用公式法解一元二次方程 一般地,对于一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),当 b2-4ac≥0 时,它的根可由 式子 x= ?b ? b2 ? 4ac 2 (b ? 4ac


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