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【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第二章 幂函数与二次函数课件 新人教A版


§2.8

幂函数与二次函数

[高考调研 明确考向] 考纲解读 ?了解幂函数的概念 ?结合幂函数y=x,y=x ,y=x ,y=x
2 3
1 2

1 ,y= x 的

图像,了解它们的变化情况. ?理解并掌握二次函数的定义、图像及性质. ?会求二次函数在闭区间上的最值. ?

运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式 之间的联系去解决问题.

考情分析 ?关于幂函数常以5种幂函数为载体,考查幂函数的概 念、图像与性质,多以小题形式出现,属容易题. ?二次函数的图像及性质是近几年高考的热点;用三 个“二次”间的联系解决问题是重点,也是难点. ?题型以选择题和填空题为主,若与其他知识点交 汇,则以解答题的形式出现.

知识梳理 1.常用幂函数的图像与性质

图 像 定 义 域 1 ______ □ 2 ______ □ 3 _____ □ 4 _____ □ 5 ____ □

值域 奇偶 性 单调 性

6 _____ □ 7 _____ □ 8 _____ □ 9 ___ □ 10 ____ □ 11 _____ □ 12 _____ □ 13 ____ □ 14 ___ □ 15 ____ □ 16 _____ □ 17 _____ □ 18 _____ □ 19 ___ □ 20 ____ □

21 ________________ 定点 □

2.二次函数的表示形式 22 ________________; (1)一般式:y=□ 23 _____________,其中 □ 24 __________ (2)顶点式:y= □ 为抛物线顶点坐标; 25 ________________,其中x1、x2是抛 (3)零点式:y= □ 物线与x轴交点的横坐标.

3.二次函数的图像及其性质 a>0 图 像 定 义 域 26 _____________ □ 27 ___________ □ a<0

a>0 值域

a<0

28 ______________ □ 29 _____________ □

30 ____________________ 对称轴 □ 顶点 坐标 奇偶性
2? ? 4 ac - b b ? ? - , ? 2a 4a ? ? ?

b=0?y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数

a>0

a<0

31 ____是减函数 x∈□ 34 ___是增函数 x∈□ 单调性 32 ____是增函数 x∈□ 35 ___是减函数 x∈□ b 当x=-2a时, b 当x=-2a时,

最值

33 __________ ymax=□ 36 ________ ymin=□

2 R □ 3 R □ 4 [0,+∞) □ 5 {x|x∈R □ 6 R □ 7 [0,+∞) □ 8 R □ 9 [0,+∞) □ 10 且x≠0} □ 11 奇函数 □ 12 偶函数 □ 13 奇函数 (-∞,0)∪(0,+∞) □ 14 非奇非偶函数 □ 15 奇函数 □ 16 在R上递增 □ 17 在(- □ 18 在R上递增 □ 19 在 ∞,0]上递减,在[0,+∞)递增 □ 20 在(-∞,0)和(0,+∞)上递减 □ 21 [0,+∞)上递增 □

1 R 答案:□

21 (1,1) □ 22 ax2+bx+c(a≠0) □ 23 a(x-h)2+k(a≠0) □ 24 □ (h,k) 25 □ a(x-x1)(x-x2) 29 □ 32 □ 35 □ 26 □ R 27 □ R 28 □ 31 □ 34 □

?4ac-b2 ? ? ? ,+∞ ? 4a ? ? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ? ? b? ?-∞,- ? 2a? ?

2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ?

b 30 x=- □ 2a 4ac-b2 33 □ 4a

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

4ac-b2 36 □ 4a

名师微博 ●五个代表 函数y=x,y=x ,y=x ,y=x 学习幂函数图像和性质的代表. ●两种方法 函数y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)= x1+x2 f(x2),那么函数y=f(x)的图像关于x= 2 对称.
2 3
1 2

,y=x-1可做为研究和

(2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x) =f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称(a为常数).

基础自测 1.若幂函数的图像过点 ( ) A.(0,+∞) C.(-∞,+∞) B.[0,+∞) D.(-∞,0)
? 1? ?2, ? 4? ?

,则它的单调递增区间是

1 解析:设y=x ,则 4 =2α,α=-2,则幂函数为y=x-
α 2

,其单调递增区间为(-∞,0),故选D.

答案:D

1 2.设α∈{-1,1, 2 ,3},则使函数y=xα的定义域为R, 且为奇函数的所有α的值为( A.1,3 C.-1,3 )

B.-1,1 D.-1,1,3

解析:∵y=x 1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴α


=-1不符合题意,排除B、C、D,故选A.

答案:A

3.函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函 数,则f(1)的取值范围是( A.f(1)≥25 C.f(1)≤25 )

B.f(1)=25 D.f(1)>25

m 解析:由题知, 8 ≤-2,∴m≤-16.∴f(1)=9-m≥25.

答案:A

4.已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1, b],则b等于( A.3 C.2 ) B.2或3 D.1或2

解析:函数f(x)=x2-2x+2在[1,b]上递增, ?f?1?=1, ? 由已知条件?f?b?=b, ?b>1, ?
2 ? ?b -3b+2=0, 即? ? ?b>1.

解得b=2.

答案:C

5.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函 数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= __________.

解析:f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2 由已知条件ab+2a=0,又f(x)的值域为(-∞,4], ?a≠0, ? 则?b=-2, ?2a2=4. ? 因此f(x)=-2x2+4.

答案:-2x2+4

考点一

二次函数的图像

[例1]

(2010· 安徽)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的 )

图像可能是(

A.

B.

C.

D.

解析:若a>0,则bc>0,根据选项C、D,c<0,此时 b 只有b<0,二次函数的对称轴方程x=- >0,选项D有可 2a 能;若a<0,根据选项A,c<0,此时只能b>0,二次函数 b 的对称轴方程x=- >0,与选项A不符合;根据选项B,c 2a b >0,此时只能b<0,此时二次函数的对称轴方程x=- < 2a 0,与选项B不符合.综合知只能是选项D.
答案:D

方法点睛

分析二次函数的图像,主要有两个要点:一

个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图像的开口方 向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对 于函数图像判断类似题要会根据图像上的一些特殊点进行判 断,如函数图像与正半轴的交点、函数图像的最高点与最低 点等.

变式训练1

已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c,且a )

+b+c=0,则它的图像可能是(

A.

B.

C.

D.

解析:∵a>b>c,且a+b+c=0,∴a>0,c<0. ∴y=ax2+bx+c的图像开口向上,且不过原点.

答案:D

考点二

二次函数的性质

[例2]

函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最

小值记为g(t). (1)试写出g(t)的函数表达式; (2)作g(t)的图像并写出g(t)的最小值.

解析:(1)f(x)=(x-1)2+1. 当t+1≤1,即t≤0时,g(t)=t2+1. 当t<1<t+1,即0<t<1时,g(t)=f(1)=1 当t≥1时,g(t)=f(t)=(t-1)2+1 ?t2+1,t≤0, ? 综上可知g(t)=?1,0<t<1, ?t2-2t+2,t≥1. ?

(2)g(t)的图像如图所示,可知g(t)在(-∞,0]上递减,在 [1,+∞)上递增,因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.

方法点睛

①二次函数y=ax2+bx+c,在(-∞,+∞)

上的最值可由二次函数图像的顶点坐标公式求出;②二次函 数y=ax2+bx+c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数y= ax2+bx+c图像对称轴的位置,通过讨论进行求解.

变式训练2

已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].

(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单 调函数.

解析:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x ∈[-5,5], ∴x=1时,f(x)取得最小值1; x=-5时,f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图像的对称轴为直线x=- a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, ∴-a≤-5或-a≥5, 故a的取值范围是a≤-5或a≥5.

考点三

幂函数的图像和性质

[例 3]

已知幂函数 f(x)=x

m2-2m-3

(m∈N*)的图像关于 y 轴对
- m 3

称, 且在(0, +∞)上是减函数, 求满足(a+1) 的 a 的取值范围.

<(3-2a)



m 3

解析:∵函数在(0,+∞)上递减, ∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图像关于 y 轴对称,∴m2-2m-3 是偶数, 而 22-2×2-3=-3 为奇数, 12-2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1. 而 f(x)=x
- 1 3

在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,

∴(a+1)



1 3

<(3-2a)



1 3

等价于 a+1>3-2a>0

或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 2 3 解得 a<-1 或3<a<2. 2 3 故 a 的取值范围为{a|a<-1 或3<a<2}.

方法点睛

本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶

性于一体,综合性较强,解此题的关键是弄清幂函数的概念 及性质.解答此类问题可分为两大步:第一步,利用单调性 和奇偶性(图像对称性)求出 m 的值或范围;第二步,利用分 类讨论的思想,结合函数的图像求出参数 a 的取值范围.

变式训练 3

幂函数 y=xa,当 a 取不同的正数时,在区

间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点 A(1,0), B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y =xβ 的图像三等分,即有|BM|=|MN|=|NA|,那么 αβ=( )

A.1 C.3

B.2 D.无法确定

解析:方法一:由条件得 1 ?2?α 2 ?1?β 可得3=?3? ,3=?3? , ? ? ? ?
即 α=

?1 2? ?2 1? M?3,3?,N?3,3?,由一般性, ? ? ? ?

?1? ??1? ? 1 ?2?α 2 ?1?β αβ 方法二:由方法一,得3=?3? ,3=?3? ,则?3? =??3?β?α ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2? 1 α ? ? = 3 =3,即 ? ?

αβ=1.

思想方法 (二) 值

如何求解二次函数在某个闭区间上的最

问题研究:二次函数在闭区间上的最值问题,一定要根 据对称轴与区间的相对位置关系确定最值,当函数解析式中 含有参数时,要根据参数的取值情况进行分类讨论,避免漏 解.

解决方案:对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)而言, 首先确定对称轴,然后与所给区间的位置关系分三类进行讨 论.

[示例]

(2013· 济南调研,12 分)已知 f(x)=-4x2+4ax-

4a-a2 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值及函数表达式 f(x). 思维突破:求二次函数 f(x)的对称轴,分对称轴在区间的 左侧、中间、右侧讨论.

? a? 2 解答示范:∵f(x)=-4?x-2? -4a, ? ? ?a ? ∴抛物线顶点坐标为?2,-4a?.(1 ? ?

分)

a ①当2≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a2. 令-4-a2=-5,得 a2=1,a=± 1<2(舍去);(4 分) a a ②当 0< <1,即 0<a<2 时,x= 时,f(x)取最大值为 2 2 -4a.

5 令-4a=-5,得 a=4∈(0,2);(7 分) a ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减,∴x=0 时, 2 f(x)取最大值为-4a-a2, 令-4a-a2=-5,得 a2+4a-5=0, 解得 a=-5 或 a=1,其中-5∈(-∞,0].(10 分) 5 综上所述,a=4或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值- 5.

105 ∴f(x)=-4x +5x- 16 或 f(x)=-4x2-20x-5.
2

(12 分)

解后反思:求解本题易出现的问题是直接利用二次函数 的性质——最值在对称轴处取得,忽视对称轴与闭区间的位 置关系,不进行分类讨论.


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