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第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”


第3讲

全称量词与存在量词、逻辑联结 词“且”“或”“非”

一、选择题 1.已知命题 p:存在 n∈N,2n>1 000,则綈 p 为( A.任意 n∈N,2n≤1 000 B.任意 n∈N,2n>1 000 C.存在 n∈N,2n≤1 000 D.存在 n∈N,2n<1 000 解析:由特称命题的否定为全称命题知,綈

p 为任意 n∈N,2n≤1 000,故选 A. 答案:A 2.命题“所有不能被 2 整除的整数都是奇数”的否定是( A.所有能被 2 整除的整数都是奇数 B.所有不能被 2 整除的整数都不是奇数 C.存在一个能被 2 整除的整数是奇数 D.存在一个不能被 2 整除的整数不是奇数 解析:命题“所有不能被 2 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能 被 2 整除的整数不是奇数”,选 D. 答案:D 3.下列命题中的真命题是 3 A.存在 x∈R,使得 sin x+cos x=2 B.任意 x∈(0,+∞),ex>x+1 C.存在 x∈(-∞,0),2x<3x D.任意 x∈(0,π ),sin x>cos x 3 ? π? 解析 因为 sin x+cos x= 2sin?x+ ?≤ 2<2,故 A 错误;当 x<0 时,y=2x 4? ? π? ? 的图像在 y=3x 的图像上方,故 C 错误;因为 x∈?0, ?时有 sin x<cos x,故 4? ? D 错误.所以选 B. ( ). ) )

答案 B 4.已知 a>0,函数 f(x)=ax2+bx+c,若 x0 满足关 于 x 的方程 2ax+b=0,则下 列选项的命题中为假命题的是( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B. ?x∈R,f(x)≥f(x0) C.?x∈R,f(x)≤f(x0) D.?x∈R,f(x)≥f(x0) 解析:f′(x)=2ax+b,则 f′(x0)=0.∵a>0,易证 f(x)在 x=x0 处到得极小值, 则?x,有 f(x)≥f(x0),故选 C.[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 答案:C 5.命题 p:若 a· b>0,则 a 与 b 的夹角 为锐角;命题 q:若函数 f(x)在(-∞,0] 及(0,+∞)上都是减函数,则 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正 确的是( ) B.“p 或 q”是假命题 D.綈 q 为假命题 )

A.“p 或 q”是真命题 C.綈 p 为假命题

解析:∵当 a· b>0 时,a 与 b 的夹角为锐角或零度角,∴命题 p 是假命题; 命题 q 是假命题,例如 f(x)= ?-x+1,x≤0, ? 综上可知,“p 或 q”是假命题,选 B. ?-x+2,x>0, 答案:B 6.已知命题 p:“任意 x∈[1,2]都有 x2≥a” .命题 q:“存在 x∈R,使得 x2 +2ax+2-a=0 成立”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围 为 A.(-∞,-2] C.(-∞,-2]∪{1} B.(-2,1) D.[1,+∞) ( ).

解析 若 p 是真命题,即 a≤(x2)min,x∈[1,2],所以 a≤1;若 q 是真命题, 即 x2+2ax+2-a=0 有解,则 Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2.命题 “p 且 q”是真命题,则 p 是真命题,q 也是真命题,故有 a≤-2 或 a=1. 答案 C

二、填空题 7.给定下列几个命题: π 1 ①“x=6”是“sin x=2”的充分不必要条件;[来源:Z§xx§k.Com] ②若“p∨q”为真,则“p∧q”为真; ③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题. 其中为真命题的是________.(填上所有正确命题的序号) 解析 π 1 ①中,若 x=6,则 sin x=2,

1 π 5π 但 sin x=2时,x=6+2kπ 或 6 +2kπ(k∈Z). π 1 故“x=6”是“sin x=2”的充分不必要条件, 故①为真命题; ②中,令 p 为假命题,q 为真命题, 有“p∨q” 为真命题, 而“p∧q”为假命题, 故②为假命题; ③为真命题.[来源 XXK] 答案 ①③

8.存在实数 x,使得 x2-4bx+3b<0 成立,则 b 的取值范围是________. 解析 要使 x2-4bx+3b<0 成立,只要方程 x2-4bx+3b=0 有两个不相等的 3 实根,即判别式 Δ=16b2-12b>0,解得 b<0 或 b>4. ?3 ? 答案 (-∞,0)∪?4,+∞? ? ? 15 9.已知命题“任意 x∈R,x2-5x+ 2 a>0”的否定为假命题,则实数 a 的取值 范围是________. 解析 15 由“任意 x∈R,x2-5x+ 2 a>0”的否定为 假命题,可知命题“任意

15 15 x∈R,x2-5x+ 2 a>0”为真命题,即不等式 x2-5x+ 2 a>0 恒成立,故 Δ=

15 25-4× 2 a<0, 5 ?5 ? 解得 a>6,即 a 的取值范围为?6,+∞?. ? ? 答案 ?5 ? ?6,+∞? ? ?

10.下列结论: 3 ①若命题 p:存在 x∈R,tan x= 3 ;命题 q:任意 x∈R,x2-x+1>0.则命题 “p 且綈 q”是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是b= -3; ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+ 2≠0”.其中正确结论的序号为________. 解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题,所以 p 且綈 q 为假命题,故 ①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确.所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③ 三、解答题 11.写出下列命题的否定,并判断其真假. 1 (1)p:任意 x∈R,x2-x+4≥0 ; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:存在 x∈R,x2+2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x,使 x3+1= 0. 解 1 (1)綈 p:存在 x∈R,x2-x+4<0,假命题.

(2)綈 q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)綈 r:任意 x∈R,x2+2x+2>0,真命题. (4)綈 s:任意 x∈R,x3+1≠0,假命题. 12.已知命题 p:任意 x∈[1,2],x2- a≥0,命题 q:存在 x∈R,x2+2ax+2-a

=0,若“p 且 q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 解 由“p 且 q”为真命题,则 p,q 都是真命题.

p:x2≥a 在[1,2]上恒成立,只需 a≤(x2)min=1,所以命题 p:a≤1; q:设 f(x)=x2+2ax+2-a,存在 x∈R 使 f(x)=0, 只需 Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即 a2+a-2≥0?a≥1 或 a≤-2, 所以命题 q:a≥1 或 a≤-2. ?a≤1, 由? 得 a=1 或 a≤-2 ?a≥1或a≤-2 ∴实数 a 的取值范围是 a=1 或 a≤-2. ?1 ? 13.已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈?2,2?时,函数 ? ? 1 1 f(x)=x+x > c恒成立.如果“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求 c 的 取值范围. 解 由命题 p 为真知,0<c<1, 1 5 由命题 q 为真知,2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,需c <2,即 c>2, 若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题, 则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤2; 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1.
? ? 1 综上可知,c 的取值范围是?c|0<c≤2或c≥1?. ? ?

14.已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;命题 q:方程 4x2+4(m -2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,求实数 m 的取值范 围. 解 若方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根,则
2 ?Δ =m -4>0, ? 解得 m>2,即命题 p:m>2. ?m>0,

若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根, 则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. 因“p 或 q”为真,所以 p,q 至少有一个为真, 又“p 且 q”为假,所以命题 p,q 至少有一个为假, 因此,命题 p,q 应一真一假,即命题 p 为真、命题 q 为假或命题 p 为假、命 题 q 为真. ?m>2, ?m≤2, ∴? 或? 解得:m≥3 或 1<m≤2, ?m≤1或m≥3 ?1<m<3. 即实数 m 的取值范围为[3,+∞)∪(1,2].


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