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《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习:第二篇 第5讲 对数与对数函数


第 5 讲 对数与对数函数

A级

基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) ?1? 1.(2011· 天津)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=?5?log30.3 则 ? ? A.a>b>c C.a>c>b 解析 B.b>a>c D.c>a>b ( ).

10 10 ?1? ∵ ?5? log30.3 = 5log3 3 , 1<log23.4<2,0<log43.6<1,1<log3 3 <2 , 又 ? ?

10 10 10 10 log23.4>log2 3 >log3 3 , ∴log23.4>log3 3 >log43.6, ∴5log23.4>5log3 3 >5log43.6, 故选 C. 答案 C 2. (2013· 徐州模拟)若函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值, 则 a 的取值范围是( A.0<a<1 C.1<a<2 B.0<a<2,a≠1 D.a≥2
2

).

4-a2 解析 因为 y=x -ax+1 是开口向上的二次函数,从而有最小值 4 ,故要 4-a2 使函数 y=loga(x2-ax+1)有最小值,则 a>1,且 4 >0,得 1<a<2,故选 C. 答案 C 3.(2013· 九江质检)若函数 f(x)=loga(x+b) 的大致图象如图所示,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)= ax+b 的大致图象是 ( ).

解析 由已知函数 f(x)=loga(x+b)的图象可得 0<a<1,0<b<1.则 g(x)=ax+b 的图象由 y=ax 的图象沿 y 轴向上平移 b 个单位而得到,故选 B. 答案 B a 4. 若函数 f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0 且 a≠1)满足对任意的 x1, x2, 当 x1<x2≤2时, f(x1)-f(x2)>0,则实数 a 的取值范围为 A.(0,1)∪(1,3) C.(0,1)∪(1,2 3) B.(1,3) D.(1,2 3) ( ).

a 解析 “对任意的 x1,x2,当 x1<x2≤2时,f(x1)-f(x2)>0”实质上就是“函数 单调递减”的“伪装”,同时还隐含了“f(x)有意义”.事实上由于 g(x)=x2 a>1, ? ? a -ax+3 在 x≤2时递减,从而? ?a? g? ?>0. ? ? ?2? D. 答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1 ?2 ? 5.函数 y=log2(3x-a)的定义域是?3,+∞?,则 a=________. ? ? a 1 ?a ? 解析 由 3x-a>0 得 x>3.因此,函数 y=log2(3x-a)的定义域是?3,+∞?, ? ? a 2 所以3=3,a=2. 答案 2

由此得 a 的取值范围为(1,2 3).故选

1 ?1? 6. 对任意非零实数 a, b, 若 a?b 的运算原理如图所示, 则(log28)??3?-2=________. ? ?

1 ?1?- 解析 框图的实质是分段函数,log28=-3,?3? 2=9,由框图可以看出输出 ? ? 9 =-3. -3 答案 -3. 三、解答题(共 25 分) 1 7.(12 分)已知函数 f(x)=log2(a2-3a+3)x. (1)判断函数的奇偶性; (2)若 y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 1 解 (1)函数 f(x)=log2(a2-3a+3)x 的定义域为 R. 1 又 f(-x)=log2(a2-3a+3)-x 1 =-log2(a2-3a+3)x=-f(x), 所以函数 f(x)是奇函数. 1 (2)函数 f(x)=log2(a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则 y=(a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,知 a2-3a+3>1,解得 a<1 或 a>2. 所以 a 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). 8.(13 分)已知函数 f(x)=-x+log2 1-x . 1+x

1 ? ? 1 ? ? (1)求 f?2 014?+f?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若 存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log2 1-x 1+x +log2 1+x 1-x

1 ? ? 1 ? ? =log21=0.∴f?2 014?+f?-2 014?=0. ? ? ? ? (2)f(x)的定义域为(-1,1), ∵f(x)=-x+log2(-1+ 2 ), x+1

当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, ∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 1-a . 1+a

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.函数 f(x)=lg(ax+4a-x-m)(a>0 且 a≠1)的定义域为 R,则 m 的取值范围为 ( A.(0,4] C.(-∞,4] B.(-∞,4) D.(1,4] ).

4 4 解析 由于函数 f(x)的定义域是 R,所以 ax+ax-m>0 恒成立,即 m<ax+ax恒 成立,由基本不等式知只需 m≤4. 答案 C 2. 已知函数 f(x)=|lg x|, 若 0<a<b, 且 f(a)=f(b), 则 a+2b 的取值范围是 A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞) ( ).

解析 作出函数 f(x)=|lg x|的图象,由 f(a)=f(b),0<a<b 知 0<a<1<b,-lg a 2 2 =lg b,∴ab=1,∴a+2b=a+a,由函数 y=x+x的单调性可知,当 0<x<1 2 时,函数单调递减,∴a+2b=a+a>3.故选 C. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) ax+b,x≤0, ? ? 3.函数 f(x)=? ? 1? log ?x+ ?,x>0 ? ? c? 9? =________. ? 1? 解析 由图象可求得 a=2, b=2, 又易知函数 y=logc?x+9? ? ? 1 1 13 的图象过点(0,2),进而可求得 c=3,所以 a+b+c=2+2+3= 3 .

的图象如图所示,则 a+b+c

答案

13 3

4.对于任意实数 x,符号[x]表示 x 的整数部分,即[x]是不超过 x 的最大整数.在 实数轴 R(箭头向右)上[x]是在点 x 左侧的第一个整数点,当 x 是整数时[x]就 是 x.这个函数[x]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应 用.那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+?+[log3243]=________. 解析 当 1≤n≤2 时,[log3n]=0,当 3≤n<32 时, [log3n]=1, ?,当 3k≤n<3k
+1

时,[log3n]=k.

故 [log31] + [log32] + [log33] + [log34] + ? + [log3243] = 0×2 + 1×(32 - 3) + 2×(33-32)+3×(34-33)+4×(35-34)+5=857. 答案 857 三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)若函数 f(x)满足对于(0,+∞)上的任意实数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y), 且 x>1 时 f(x)>0,试证: ?x? (1)f?y?=f(x)-f(y); ? ? ?1? (2)f(x)=-f?x?; ? ? (3)f(x)在(0,+∞)上递增. ?x? 证明 (1)由已知 f?y?+f(y)=f(x), ? ? ?x? 即 f(x)-f(y)=f?y?. ? ? (2)令 x=y=1,则 f(1)=2f(1).因此 f(1)=0. ?1? ?1? ∴f(x)+f? x?=f(1)=0,即 f(x)=-f?x?. ? ? ? ? x2 ?x2? (3)设 0<x1<x2,则x >1,由已知 f?x ?>0,即 f(x2)-f(x1)>0.因此 f(x1)<f(x2),函 ? 1? 1 数 f(x)在(0,+∞)上递增. x+1 6.(13 分)已知函数 f(x)=loga ,(a>0,且 a≠1). x-1 (1)求函数的定义域,并证明:f(x)=loga x+1 在定义域上是奇函数; x-1

(2)对于 x∈[2,4],f(x)=loga 解 (1)由

x+1 m >loga 恒成立,求 m 的取值范围. x-1 ?x-1?2?7-x?

x+1 >0,解得 x<-1 或 x>1, x-1

∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). -x+1 x-1 ?x+1?- ? 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=loga =loga =loga? -x-1 x+1 ?x-1?
1

x+1 =-loga =-f(x), x-1

x+1 ∴f(x)=loga 在定义域上是奇函数. x-1 (2)由 x∈[2,4]时,f(x)=loga ①当 a>1 时, x+1 m ∴ > >0 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x? ∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4] 则 g(x)=-x3+7x2+x-7, ? 7? 52 g′(x)=-3x2+14x+1=-3?x-3?2+ 3 , ? ? ∴当 x∈[2,4]时,g′(x)>0. ∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15. ∴0<m<15. ②当 0<a<1 时, 由 x∈[2,4]时, x+1 m f(x)=loga >loga 恒成立, x-1 ?x-1?2?7-x? x+1 m ∴ < 对 x∈[2,4]恒成立. x-1 ?x-1?2?7-x? ∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在 x∈[2,4]恒成立. 设 g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4], 由①可知 y=g(x)在区间[2,4]上是增函数, g(x)max=g(4)=45,∴m>45. x+1 m >loga 恒成立, x-1 ?x-1?2?7-x?

∴m 的取值范围是(0,15)∪(45,+∞). 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创 新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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