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江苏省数学竞赛提优教案:第27讲


第八讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在 ?ABC 中,R 为外接圆半径, r 为内切圆半径, p ? 1,正弦定理: 2,余弦定 理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C . 3,射影定理: a ? b cos C ? c cos

B , b ? a cos C ? c cos A , c ? a cos B ? b cos A . 4,面积: S ? a?b?c ,则 2 a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C 1 1 abc aha ? ab sin C ? ? rp ? 2 R 2 sin A sin B sin C 2 2 4R = rR (sin A ? sin B ? sin C ) = p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) ? 1 2 (a cot A ? b 2 cot B ? c 2 cot C ) . 4 A 类例题 例 1.在Δ ABC 中,已知 b=asinC ,c=asin(90 -B),试判断Δ ABC 的形状。 分析 条件中有边、 角关系, 应利用正、 余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从 而判定三角形的形状。 解 由条件 c = asin(90 - B) = acosB = a 0 0 a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? b2 ? 2ac 2c ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2c 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? A是直角 a c ? ? c ? c ? a sin C . sin A sin C ??a? sin C ? A是直角 ? sin A ? 1 b ? a sin C ? b ? c ? Δ ABC 是等腰直角三角形。 例 2. (1)在△ABC 中,已知 cosA = A. 16 65 B. 56 65 5 3 ,sinB = ,则 cosC 的值为( 13 5 16 56 16 C. 或 D. ? 65 65 65 ) 解 ∵C = ? ? (A + B),∴cosC = ? cos(A + B),又∵A?(0, ?),∴sinA = 12 3 ,而 sinB = 13 5 4 显然 sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 ∴cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB = 12 3 5 4 16 .选 A . ? ? ? ? 13 5 13 5 65 说明 △ABC 中,sinA > sinB ? A > B . 根据这一充要条件可判定 B 必为锐角。 (2)在 Rt△ABC 中,C=90°,A=θ ,外接圆半径为 R ,内切圆半径为 r , 当θ 为 时, c a?b?c ,r= . (其中 a、b、c 为 Rt△ABC 的三条边长,c 为斜边长) 2 2 R c 1 1 ∴ = = = ? r a ? b ? c sin ? ? cos ? ? 1 2 sin(? ? ) ? 1 4 解答 由题意,R= R r sin(α + ? 4 )≤1,∴ 1 R ≥ = 2 +1 r 2 ?1 R 的最小值为 2 +1。 4 r tan A ? tan B c ? b 例 3 在△ABC 中, = ,求证:

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