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2012三校联考二模理科数学参考答案


2012 三校联考二模理科数学参考答案:
一.选择题 (1)C (7)D 二.填空题 (2)A (8)C (3)C (9)C (4)D (10)B (5)C (11)D (16) ?3,6? (6)B (12)B

(13) y ? ? 3x 三.解答题 (17)解:

(14)

2 3

>(15)40

(Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ?

……6 分 ……12 分

3n 2 ? 7n ? 6 . 2

(18)解: (Ⅰ) 记“甲考核为优秀”为事件 A, “乙考核为优秀”为事件 B, “丙考核为优秀”为事件 C, “甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 E. 则事件 A、B、C 是相互独立事件,事件 A BC 与事件 E 是对立事件,于是

1 1 1 17 P ( E ) ? 1 ? P ( A BC ) ? 1 ? ? ? ? . 3 3 2 18
(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 30,40,50,60 .

……4 分

P?? ? 30 ? ? P( ABC ) ?

1 , 18 5 , 18 8 , 18
……8 分 ……6 分

P?? ? 40 ? ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P?? ? 50 ? ? P( AB C ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P?? ? 60 ? ? P( ABC ) ? 4 . 18

所以 ? 的分布列为

?
P

30

40

50

60

1 18

5 18

8 18

4 18

E? ? 30 ?

1 5 8 4 145 ? 40 ? ? 50 ? ? 60 ? ? . 18 18 18 18 3

……12 分

(19)解: 如图建立空间直角坐标系. (Ⅰ)设 PD ? CD ? 2 AD ? 2,BC ?

2a ,

则 A(1,0,0), B(a,2 ? a,0) , C (0,2,0), P(0,0,2) ,

z



M (0,0,1) .

……3 分

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , 则

M D C B

n ? PB ? ( x, y, z ) ? (a,2 ? a,?2) ? ax ? y(2 ? a) ? 2 z ? 0,

y

n ? PC ? ( x, y, z) ? (0,2,?2) ? 2 y ? 2z ? 0,
令 z ? 1, 得 n ? (1,1,1) . ……7 分

x



而 AM ? (?1,0,1) ,所以 AM ? n ? 0 ,即 AM ? n ,又 AM ? 平面 PBC 故 AM // 平面 PBC .……9 分 (Ⅱ) PA ? (1,0,?2) ,设 PA 与平面 PBC 所成角为 ? , 由直线与平面所成角的向量公式有

sin ? ?

PA ? n PA ? n

?

1 5 3

?

15 . 15

……12 分

(20)解:

?c ? 2 ? 2 ?a ? 2 x2 y2 ?b ? ? 1. (Ⅰ)由题意 ? ? 1 ,解得 ? ,所求椭圆方程为 4 2 a b ? 2 ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?


……4

?x 2 ? 2 y 2 ? 4 (Ⅱ)联立方程组 ? ? y ? kx ? m
消去 y 得 ( 1 ? 2k ) x ? 4kmx? 2m ? 4 ? 0 ,
2 2 2

……5 分

? ? 16k 2 m 2 ? 4 ? 2(m 2 ? 2)(1 ? 2k 2 ) ? 8(6 ? m 2 ) ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) ,由韦达定理得

x0 ?

x1 ? x 2 m ? 2km ? , y 0 ? kx 0 ? m ? . 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k
……7 分

由点 P 在直线 x ? 2 y ? 0 上,得 k ? 1 . 所以 AB ?

2

2 2 6 ? m2 4 6 ? m2 . ? 3 3
2?m 2


点 F ( 2 ,0) 到直线 AB 的距离 d ?

三角形 ?FAB 的面积 S FAB ? 10 分

1 2 AB d ? 2 3

2 ? m 6 ? m2 ( m ? 6, m ? 0) .……

设 u(m) ? (6 ? m2 )(m ? 2)2 ( m ? 6, m ? 0 ),

?由u '(m) ? ?2(2m ? 3 2)(m ? 2)(m ? 2)=0得:
m?? 3 2 或m? ? 2 或m ? 2 2 3 2 3 2 时, u '(m) ? 0 ;当 ? ? m ? ? 2 时, u '(m) ? 0 ; 2 2

当? 6 ? m? ?

当 ? 2 ? m ? 2 时, u '(m) ? 0 ;当 2 ? m ? 6 时, u '(m) ? 0 又 u (?

3 2 3 )? , u ( 2) ? 32 2 4
8 . 3
……12 分

所以当 m ? 2 时, ?FAB 的面积取最大值

(21)解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 2 , g ?( x) ? b ? x ? x , 1? x
……4 分

由题意 ?

? f (0) ? 0, 解得 a ? 0 , b ? 1 . ? f ?(0) ? g ?(0),
1 3 1 2 x ? x ? x  ( x ? ?1) 3 2

(Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ?

h ?( x) ?

1 ? x3 ? x2 ? x ? 1  ? . 1? x x ?1

……5 分 ……6 分 ……8 分

? ?) 为减函数. h( x)在(?1,0) 为增函数,在 (0, ? g ( x) . h( x) max ? h(0) ? 0 , h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x)
(Ⅲ)

设 u( x) ? (1 ? x)[ f ( x) ? f ( x1 )] ? ( x ? x1 ) ,则 u ?( x) ? ln( 1 ? x) ? ln(1 ? x1 ) . 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, u ?( x) ? 0 , u ( x) 单调递增,又 u( x1 ) ? 0 , 故 u ( x) ? 0 ,即

f ( x) ? f ( x1 ) 1 . ? x ? x1 1? x

……10 分

设 v( x) ? (1 ? x)[ f ( x2 ) ? f ( x)] ? ( x2 ? x) ,则 v?( x) ? ln( 1 ? x2 ) ? ln(1 ? x) . 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, v ?( x) ? 0 , v( x) 单调递增,又 v( x2 ) ? 0 , 故 v( x) ? 0 ,即

f ( x) ? f ( x 2 ) 1 . ? x ? x2 1? x f ( x) ? f ( x1 ) f ( x) ? f ( x2 ) . ? x ? x1 x ? x2
……12 分

综上, x ? ( x1 , x2 ) 时,

(22)解: (Ⅰ) 连结 ON,则 ON ? PN ,且 ?OBN 为等腰三角形,则

?OBN ? ?ONB ,? ?PMN ? ?OMB ? 90? ? ?OBN , ?PNM ? 90? ? ?ONB

? ?P M N ? ?P N M,? PM ? PN .
2
2

……3 分

由条件,根据切割线定理,有 PN ? PA? PC ,所以 PM ? PA? PC .……5 分 (Ⅱ) OM ? 2 ,在 Rt ?BOM 中, BM ? OB2 ? OM 2 ? 4 . 延长 BO 交⊙O 于点 D,连结 DN.由条件易知

B

?BOM ∽?BND ,于是


BO BM ? , BN BD
……8 分 ……10 分

C

M O A N D

P

2 3 4 ,得 BN ? 6 . ? BN 4 3

所以 MN ? BN ? BM ? 6 ? 4 ? 2 .

(23)解: (Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

7t 2 ? 12t ? 5 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ?
2 2

12 5 , t1t 2 ? ? . 7 7
2

……3 分

所以 AB ? (?3) ? (?4) t1 ? t 2 ? 5 (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ?

10 71 . ……5 分 7

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) , 根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为

t1 ? t 2 6 ? . 2 7

……8 分

所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为

PM ? (?3) 2 ? (?4) 2 ?

6 30 ? . 7 7

……10 分

(24)解:: (Ⅰ) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 或? ? ??2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5
解得: x ? 0 或 x ? 5 .

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 5

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} .

……5 分

(Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以: f ( x)min ? a ?1 由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 . ……8 分 ……10 分


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