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河北省衡水中学2014年高三上学期期中考试 数学文试题


2013—2014 学年度上学期二调考试高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 共 120 分钟
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1、设 U ? R, P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x( x ? 2) ? 0}, 则 CU ( P ? Q) ?

A. {x | x ? 1 或 x ? 2} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 2} ( )

D. {x | x ? 0}

2 、 已 知 ? ? (0, ? ) , 且 s in? ? c o s ? ? A. ? D. ?

1 , 则 cos2? 的 值 为 2
B .





7 4

7 4

C. ?

7 4

3 4

3、函数 y ? f (x) 的图象如右图所示,则导函数 y ? f ' ( x) 的 图象的大致形状是( )

4、下列说法正确的是





A. “ a ? 1 ”是“ f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在 (0,??) 上为增函数”的充要条件 B. 命题“ ?x ? R 使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0 ”
2
2

C. “ x ? ?1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件
2

D. 命题 p:“ ?x ? R, sin x ? cos x ?

2 ”,则 ? p 是真命题

5、如右图,在△ ABC 中, AB ? BC ? 3 ,?ABC ? 30? , AD 是边 BC 上的高, 则 AD ? AC 的值等于 A.0 B.
9 4

( C.4

) D. ?
9 4

6、要得到函数 y ? cos(

?
3

? 2 x) 的图象,只需将函数 y=sin 2x 的图象( )

π 个长度单位 12 π D.向左平移 个长度单位 12 a 7、设 S n 是等差数列{an}的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) ,则 5 的值为( a3
A.向右平移 B.向右平移 A.

π 个长度单位 6 π C.向左平移 个长度单位 6

)

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

5 6
) D. (0,??)

8、函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( A. (??,2] B. (??,2) C. (2,??)

0 9、 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4) , x ? ( ?2,) 当
时,

f ( x ) ? 2 x ,则 f ( 2012) ? f ( 2011) 的值为(
A. ?



1 1 B. C. 2 D. ? 2 2 2 10、如果 f ?(x) 是二次函数, 且 f ?(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3 ), 那么曲线

y ? f (x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是
A. (0,

( D. [



?
3

]

B. [

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

?
3

,? )

11、已知函数

f ( x) ? x n ?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与


x 轴交点的横坐标为 xn ,则 log 2013 x1 + log 2013 x2 +?+ log 2013 x2012 的值为(
A.-1 B. 1-log20132012
x

C.-log20132012

D.1

12、若函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x ) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总 有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是( A.② B.①② C.③ D.②③ )

第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? ( 3 ,1) ,则 | a ? b | 的最大值为 14、已知数列 15、 已知函数 为等比数列,且. ___

a5 ? 4, a9 ? 64 ,则 =__________.

y ? log a ( x ? 1) ? 3, (a ? 0且a ? 1) 的图像恒过点 P ,若角 ? 的终边经过点 P ,



sin2 ? ? sin 2? 的值等于_______

1 x ? ?2 ? ( 2 ) , x ? 0 ? 16、已知直线 y ? mx(m ? R) 与函数 f ( x) ? ? 的图象恰有三个不同的公共点, ? 1 x3 ? 1, x ? 0 ?2 ?
则实数 m 的取值范围是 __________ . 三.解答题(共 6 个小题,选做题 10 分,其余 12 分,共 70 分) 17、 (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, (1)求 B (2)若 cos A ?

sin A ? sin B ? sin( A ? B )

2 sin A ? sin C sin A ? sin B

3 ,求 sinC 的值 5

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin x ? 1( x ? R) .
2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间;

a (2) 若在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ? 角
求 ?ABC 面积 S 的最大值.

3 , 为锐角, f ( A ? 且 A

?
8

)?

2 , 3

19、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x (a ? R) 2

(1)求 f (x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,若 g (x) 在 [1, e] 上不单调且仅在 x ? e 处取得最大值,求 a 的 取值范围.

20、(本小题满分 12 分) 若函数 f ( x) ? sin ax ? sin ax cosax(a ? 0) 的图象与直线 y ? m(m 为常数)相切,并且切
2

点的横坐标依次成等差数列,且公差为 (I)求 m 的值;

? 2

(Ⅱ)若点 A( x0 , y0 ) 是 y ? f (x) 图象的对称中心,且 x0 ? [0,

?
2

] ,求点 A 的坐标.

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? ln x, g ?x ? ? e ,
x

(1)若函数 ? ?x ? ? f ?x ? ?

x ?1 ,求函数 ? ? x ? 的单调区间; x ?1

(2)设直线 l 为函数 f ? x ? 的图像上点 A (x0 , f ( x0 ) ) 处的切线,证明:在区间(1,+ ? ) 上存在唯一 x 0 ,直线 l 与曲线 y ? g ?x ? 相切.

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ( x ? a) , a 为常数.
2

(1)若当 x ? 1 时, f (x) 取得极值,求 a 的值,并求出 f (x) 的单调增区间; (2)若 f (x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e 。 2

高三二调文数答案:

1---12DCDAB 13、3 14、16

ADBAB 15、

AD

?

3 13

16、

18、

∴ sin A ? 1 ? cos2 A ?

3 . 3

又? a ? 3 ,由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 即 ( 3 ) 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?
6 ,? b 2 ? c 2 ? 2bc , 3

∴ bc ? ∴S ?

9 3 6 . ? 2 2

1 1 9 3 6 3 3( 3 ? 2 ) . bc sin A ? ( ? )? ? 4 2 2 2 2 3

19、

(2) g ( x) ? x ?
'

a x2 ? 2x ? a ?2? ( x ? 0) ,设 h( x) ? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0) x x
2

若 g (x) 在 [1, e] 上不单调,则 h(1)h(e) ? 0 ,? (3 ? a)(e ? 2e ? a) ? 0

? 3 ? a ? e2 ? 2e -------------10 分
同时 g (x) 仅在 x ? e 处取得最大值,?只要g (e) ? g (1) 即可

e2 5 ? 2e ? ----------12 分 得出: a ? 2 2

e2 5 ? a 的范围: (3, ? 2e ? ) ---12 分 2 2

20、(I)

????????????????????(4 分) 的图象与 y=m 相切.

的最大值或最小值.即 (II)又因为切点的横坐标依次成公差为 为

??????(6 分) 的等差数列.所以 最小正周期



???????????????(8 分)

即 令 则 由 因此对称中心为 分)

?????????????????? 分) (9

????????(10 分) 得 k=1,2, 、 ????????????????(12

21、 1) ? ?x ? ? ln x ?

1 2 x ?1 ,故 ? ??x ? ? ? x ?x ? 1?2 x ?1

显然当 x ? 0 且 x ? 1 时都有 ? ??x ? ? 0 ,故函数 ? ? x ? 在 ?0,1? 和 ?1,?? ? 均单调递增。 (2)因为 f ??x ? ?

1 1 ?x ? x0 ? ,所以直线 l 的方程为 y ? ln x0 ? x0 x

设直线 l 与 y ? g ?x ? 的图像切于点 x1 , e 所以 e
x1

?

x1

?,因为 g ??x? ? e

x



?

1 ,从而, x1 ? ? ln x0 x0
y? ln x0 1 1 x? ? x0 x0 x0

所以直线 l 的方程又为

故 ln x 0 ? 1 ?

ln x0 1 x ?1 ? ,从而有 ln x 0 ? 0 x0 x0 x0 ? 1

x ?1 在区间 ?1,?? ? 单调递增, x ?1 e ?1 ? 2 又因为 ? ?e ? ? ln e ? ? ? 0 , ? ?e 2 ? ? 0 e ?1 e ?1 x ?1 2 故 ? ?x ? ? ln x ? 在区间 ?e, e ? 上存在唯一的零点 x 0 , x ?1
由(1)知, ? ?x ? ? ln x ?

此时,直线 l 与曲线 y ? g ?x ? 相切. 22、

? 当 a ? ? 2 时, x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , x1 , x2 均为负根
? x ? (0, ??)有f ' ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增。

? f ( x )无极值点

?当 a ? 2 时 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? (0, ?? )

x
f ( x)
f ' ( x)

(0, x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 , ?? )

?
递增

0

?
递减

0

?
递增

极大值

极小值


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