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全等三角形复习经典例题


全等三角形(复习)

知识点回顾
1.全等三角形的性质:

对应边、对应角、对应线段相等,周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定: ①一般三角形全等的判定: SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定: SAS、ASA、AAS、SSS、HL

知识点回顾
3.三角形全等的证题思路:<

br />?找夹角 ? SAS ? ① 已知两边?找另一边 ? SSS ?找直角 ? HL ?

边为角的对边 ? 找任一角 ? AAS ? ? ?找夹角的另一边 ? SAS ② 已知一边一角 ? ? ? 边为角的邻边 ?找边的对角 ? AAS ?

?找夹边 ? ASA ③已知两角? ? 找任一边 ? AAS

? ?找夹角的另一角? ASA

方法指引
全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方 法之一,证明时: ①要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角 形中。 ②分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什 么条件。 注意:有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的等价 转化 ? 1、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角 形不一定全等。 ? 2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角 形全等。

真题回放
在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,
AB=2BC=2CD,对角线AC与BD相交于点O,线段OA,OB的 中点分别为E,F。 (1)求证:△FOE≌△DOC; (2)求sin∠OEF的值; (3)若直线EF与线段AD,BC分别相交于点G,H,求 的值。
AB ? CD GH

全等三角形问题中常见的辅助线 的作法
?

?

?

?

?

?

常见辅助线的作法有以下几种: 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题, 思维模式是全等变换中的“对折”。 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全 等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平 分线的性质定理或逆定理。 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全 等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、 分等类的题目。

例1: 如图所示,△ABC的两条高BD、CE 相交于点P,且PD=PE。求证: AC=AB。
证明: 连结AP。 因为∠PDA=∠PEA=90°, PD=PE,PA=PA, 所以△PDA≌△PE(HL) 所以AD=AE 又因为∠CAE=∠BAD 所以△ACE≌△ABD(ASA) 所以AC=AB

例2:求证:三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 1 AD ? ( AB ? AC ) 已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证: 2 证明: 延长AD到E,使DE=AD,连结BE A ∵ AD是△ABC 的中线 ∴ BD=CD 又 ∵ DE=AD ?ADC ? ?EDB ∴ △ADC ≌ △EDB (SAS) ∴ AC = EB 在△ABE中,AE < AB+BE=AB+AC 即 2AD < AB+AC 1 ∴ AD ? ( AB ? AC ) 2

B

D

C

E

例3:如图所示,△ABC中,∠ABC=2∠C,∠BAC的 平分线交BC于D。求证:AB+BD=AC
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

思路1:延长AB到E,使BD=BE,证明 △AED≌△ACD。 证明:延长AB到E,使BE=BD,连结ED,则 ∠E=∠BDE。 ∴ ∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E 又∵ ∠ABC=2∠C, ∴ ∠C=∠E ∵ ∠AD平分∠BAC, ∴ ∠1=∠2, 又∵ AD=AD,∴ △ADE≌△ADC, ∴ AC=AE。 即 AC=AB+BE=AB+BD。 思路2:在AC上取一点E,使AE=AB,证明 △AED≌△ABD。

例4:正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点 ,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
思路:利用全等变换中的“旋转” 证明:延长CB到G,使BG=DF. 由 BG=DF,∠ABG=∠D=90°,AB=AD, 得出 △ADF≌△ABG (SAS) 所以 ∠GAB=∠FAD,AG=AF. 又因为BE+DF=EF,所以EF=EG.
B E C F A D

由EF=EG,AG=AF,AE=AE,
得出 △AEF≌△AEG (SSS) 所以 ∠GAE=∠FAE 因为 ∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°, 所以 ∠EAF=1/2∠GAF=45°

总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题:
(1)要正确区分“对应边”与“对边”,“对应 角”与“对角”的不同含义; (2)表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字 母要写在对应的位置上; (3)要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其 中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4)时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”; (5)添加恰当的铺助线,问题迎刃而解。


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