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2.1离散型随机变量及其分布列好


两点分布与超几何分布

教学目的: (1)理解离散型随机变量分布列的意义,会求某些简单 的离散型随机变量的分布列。 (2)掌握离散型随机变量分布列的两个基本性质,并会 用它来解决一些简单的问题.

教学重点:离散型随机变量的分布列的概念 教学难点:离散型随机变量分布列的求法

引入分布的原因
? 以认识离散

随机变量为例, 我们不仅要知道 X 取哪些值,而且还要知道它取这些值的概 率各是多少,从而能为实际生产和生活提供 必要的数学依据,这就需要分布的概念.有 没有分布是区分一般变量与随机变量的主 要标志.

一、离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为: x1,x2,…,xi,…,xn X取每一个xi (i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=Pi,则称表:

X P

x1 P1

x2 P2

… …

xi Pi

… …

为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列. 有时为了表达简单,也用等式 P(X=xi)=Pi i=1,2,…,n 来表示X的分布列

离散型随机变量的分布列应注意问题:

X
P

x1
P1

x2
P2




xi
Pi




1、分布列的构成: (1)列出了离散型随机变量X的所有取值; (2)求出了X的每一个取值的概率; 2、分布列的性质:

(1)pi ? 0, i ? 1, 2, ???

(2) ? pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1
i ?1

n

求离散型随机变量分布列的基本步骤: (1)确定随机变量的所有可能的值xi (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi (3)列出表格

定值

求概率

列表

例1、袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些球 除颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到 黑球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列. 解:因为只取1球,所以X的取值只能是1,0,-1

∴从袋子中随机取出一球所得分数X的分布列为:

1 2 1 P ( X ? 1) ? , P ( X ? 0) ? ? , 6 6 3 3 1 P ( X ? ?1) ? ? 6 2

X
P

1

0

-1

1 6

1 3

1 2

例2、在掷一枚图钉的随机试验中,令

?1,针尖向上 X ?? ?0,针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列。 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p),于是,随机变量 X的分布列是

X P

0 1-p

1 p

像上面这样的分布列称为两点分布列。 如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称 X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率。

2、超几何分布: 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件,其中 恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的概率为
k n? k CM CN ?M P( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2, n CN

, m ) 其中 m ? min? M , n? ,

且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * . 称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X 服从 超几何分布
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是M,N,n

例 1、从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球, 设其中有 ? 个红球,求 ? 的分布列.
解: 设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超几何分布,其中 N ? 5, M ? 3, n ? 2 , ∴ X 的可能取值为 0,1,2.
k 2? k C3 C2 ∴ P( X ? k ) ? ( k ? 0,1, 2) 2 C5

确定随机变量的所有可 能的值xi

∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 P 1 3

如何进行求解?

2

10

5

3 10

求出各取值的概率 P(X=xi)=pi 确定随机变量的 所有可能的值xi 列出表格

例1. 例 2、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋 中装有 10 个红球和 20 个白球,这些球除颜色外完全相同.游 戏者一次从中摸出 5 个球.至少摸到 3 个红球就中奖,求中奖 的概率.

解:设摸出红球的个数为 X,则 X 服从超几何分布, 其中 N ? 30, M ? 10, n ? 5 ,于是由超几何分布模型 得中奖的概率 P( X ≥ 3) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? P( X ? 5)
3 2 4 1 5 0 C10 C20 C10 C20 C10 C20 ? ? ? 5 5 5 C30 C30 C30

≈0.191

课堂练习:
1、随机变量 ? 的所有等可能取值为 1, 2,3,…, n , 若 P ?? ? 4? ? 0.3 ,则( A. n ? 3 B. n ? 4

C

) D.不能确定

C. n ? 10

3 5 2、若随机变量ξ的分布列如下表所示,则常数a=_____
ξ P -1 0.16

a

0

1

2

3 0.3

10

a

2

a 5

课堂练习:
3、某一射手射击所得环数 ? 分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

0.88 则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_______

练习4.随机变量ξ的分布为

ξ p

-1 0.16

0 a/10

1 a2

2 a/5

3 0.3

(1)求常数a;(2)求P(1<ξ<4)

a a 9 2 0.16 ? ? a ? ? 0.3 ? 1 解得: a ? ? (舍)或 a ? 3 10 10 5 5 (2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42 练习5. 已知随机变量 的分布如下: ?
?
P

解:(1)由离散型随机变量的分布性质有

-2
1 12

-1
1 4

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

分别求出随机变量⑴

1 ?1 ? ? 2

;⑵ ?2 ? ? 2的分布.

练习6:已知随机变量 ? 的分布如下: -2 -1 1 1 P 4 12 分别求出随机变量⑴ ?
1 解: ⑴由 ?1 ? ? 可得 2

?

?1 的取值为-1、 ? 1

1

3 1 1 1 12 3 12 2 1 ? ? ;⑵ ?2 ? ? 的分布. 2 0、
3 2

0

1

2 1 6

3 1 2 、 2 、2

且相应取值的概率没有变化 ∴ 1 的分布为:

?

1

?1
P

-1
1 12

?
1 4

1 2

0
1 3

1 12

1 2

1
1 6

1 12

练习2:已知随机变量 ? 的分布列如下:
1 1 P 3 12 1 2 ? ? ? ? ? ? 分别求出随机变量⑴ 1 2 ;⑵ 2 的分布.
1 P(?2 ? 0) ? P(? ? 0) ? ; P (?2 ? 1) ? P (? ? ?1) ? P (? ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 3 4 12 3 1 1 1

?

-2 -1 1 1 4 12

0

1

2 1 6

3 1 12

解:(2)由 ?2 ? ? 2 可得 ?2 的取值为0、1、4、9
P(?2 ? 4) ? P(? ? ?2) ? P(? ? 2) ? ? ? 1 12 6 4 P (?2 ? 9) ? P (? ? 3) ? ∴ ? 的分布为: 12
2

?2
P

0
1 3

1
1 3

4
1 4

9
1 12

思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。 解:因为同时取出3个球,故X的取值只能是1,2,3 当X=1时,其他两球可在剩余的4个球中任选 2 C4 3 故其概率为 P ( X ? 1) ? 3 ? C5 5 当X=2时,其他两球的编号在3,4,5中选,
2 C3 3 故其概率为 P ( X ? 2) ? 3 ? C5 10 当X=3时,只可能是3,4,5这种情况, 1 概率为 P ( X ? 3) ? 10

思考:一个口袋有5只同样大小的球,编号分别为1,2, 3,4,5,从中同时取出3只,以X表示取出的球最小的 号码,求X的分布列。

∴随机变量X的分布列为

X P

1
3 5

3 10

2

1 10

3

小结:
一、随机变量的定义: 二、随机变量的分类: 三、随机变量的分布列:
1、分布列的性质: (1)pi ? 0, i ? 1, 2, ???

(2) ? pi ? p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1
i ?1

n

2、求分布列的步骤:

定值

求概率

列表

作业:
课本P49 A组第1、5题


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