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两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案


两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案
教学目标:理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法,体会三角恒等变换特点
的过程,理解推导过程,掌握其应用.

教学内容:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;

重点难点:重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用;
难点:两角和与差正弦、

余弦和正切公式的灵活运用.

教学策略与方法:讲述法
教学过程 [教学过程]

本备课改进:

一.新课引入 创设情境 引入课题: 想一想: cos15 ? ?
?

由 上 一 节 所 学 的 两 角 差 的 余 弦 公 式 :

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,同学们很容易想到:
cos15? ? cos(45? ? 30? ) ? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30? ?

那 cos 75 ? ?
?

2? 6 4

cos 75? ? cos(30? ? 45? ) ? ?
这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式: 二.、讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式 思考:由

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , 如 何 求

cos(? ? ? ) ? ?

分析:由于加法与减法互为逆运算,? ? ? ? ? ? (?? ) ,结合两角 差的余弦公式及诱导公式,将上式中以?? 代 ? 得 本备课改进:

cos(? ? ? ) ? cos[? ? (?? )] ? cos ? cos(?? ) ? sin ? sin(?? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

cos(α+β)=cosαcosβ-sinα sinβ 上述公式就是两角和的余弦公式,记作 c(? ? ? ) 。 由两角和的余弦公式: c(? ? ? ) ,我们现在完成课前的想一想:
1、

cos 75? ? cos(30? ? 45? ) ? cos30? cos 45? ? sin 30? sin 45?
探索新知二 思考:前面我们学习了两角和与差的余弦,请同学们猜想 一下:会不会有两角和与差的正弦公式呢?如果有,又该如何 推导呢? 在第一章中,我们学习了三角函数的诱导公式,同学们是 否还记得如何实现由余弦到正弦的转化呢?

cos( ? ? ) ? sin ? 2
结合 (? ? ? ) 与 (? ? ? ) ,我们可以得到
? ? ? ? sin(? ? ? ) ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos[( ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ? )cos ? ? sin( ? ? )sin ? 2 2 2 2

?

c

c

? sin ? cos ? ? sin ? cos ?
2、

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

上述公式就是两角和的正弦公式,记作 (? ? ? ) 。 那 sin(? ? ? ) ? ? 将上式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? 中以?? 代 ? 得

s

sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? sin(?? ) cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ?

3、

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

上述公式就是两角差的正弦公式,记作 (? ? ? ) 。 探索新知三

s

tan( 用任意角 ?、? 的正切表示 tan(? ? ? )、 ? ? ? ) 的公式的推
导: 根据正切函数与正弦、余弦函数的关系,我们可以推得:

tan(? ? ? ) ?

sin(? + ? ) sin? cos? + cos?sin? ? cos(? + ? ) cos? cos? - sin?sin?

当cos ? cos ? ? 0时, 分子分母同时除以cos ? cos ?
4、tan(?

+ ? )=

tan? + tan? 1- tan? tan?

上述公式就是两角和的正切公式, 记:T(? + ? ) 同理 5、tan(?

- ? )=

tan? - tan? 1+ tan? tan?

记 上述公式就是两角差的正切公式, T(? - ? )
注意:两角和与差的正切公式在应用过程中, 1、必须在定义域范围内使用上述公式。 即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存在就不能使用这个 公式。 2、注意公式的结构,尤其是符号。

三、课堂练习
3 ? ? ? 例3:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ),cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 5 4 4 4
3 4 3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? 5 ) 2 ? , 5 5

所以 tan ? ?
于是有sin(

sin ? 3 ?? , cos ? 4
? ? ) ? sin

?
4

?
4

cos ? ? cos

?
4

sin ? ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ? ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

3 ? ?1 ? 4 ? tan ? ? 1 ? 4 tan(? ? ) ? ? ?7。 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? (? 3 ) 4 4 tan ? ? tan
例4:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) sin 70? cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 1- tan15。
解:(1)由公式得: sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。? sin(72。? 42。 ? sin 30。? ) 1 ; 2

?

(2)sin 70。cos70。? sin 20。sin 70。? cos 20。cos70。? sin 20。sin 70。
? cos(20。? 70。 ? cos90。? 0; )

1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 (3) ? ? tan(45。? 15。 ? tan 60。? 3 ) 。 。 。 1- tan15 1- tan 45 tan15

六、小结
1 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? cos ? cos ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ
tan(α-β)= tanα- tanβ 1+ tanαtanβ

2、 利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证 明三角恒等式,灵活使用使用公式。

作业: 一、选择题
1. sin 75? cos105? ? sin105? sin15? 的值等于( A. ) D.1

1 2

B. ?

1 2

C.0

2.已知 ? ? (0, ? ) ,sin( ? ? ? )= 3 ,则 cos ? 的值为( 6 5 2 A.- 4 3 ? 3
10

) D. 4 3 ? 3
10

B. 3 ? 4 3
10

C. 4 3 ? 3
10

3. sin 2 x sin 3x ? cos2 x cos3x, x ? (
(A)

)
(D)

?
10

(B)

? 6

(C)

? 5

? 4

4、 3 tan11°+ 3 tan19°+tan11°tan19°的值是 A. 3 B.

( D.1



3 3

C.0

5.已知 tan(? ? ? ) ? 3, tan(? ? ? ) ? 3 , 则 tan 2?的值是 ( A.



7 4

B. ?1

C. 2

D. -

4 7

6.

2cos10°-sin20° 的值是( sin70° 1 A. 2 3 2

)

B.

C. 3

D. 2

2cos(30°―20°)―sin20° 3cos20° 解析: 原式= = = 3.C cos20° cos20° π 4 7π 7.已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是 ( 6 5 6 2 3 A.- 5 2 3 B. 5 C.- 4 5 4 D. 5

)

π 4 3 1 4 解析:∵cos(α- )+sinα= 3,∴ cosα+ sinα+sinα= 3, 6 5 2 2 5 1 3 4 π 4 ∴ 3( cosα+ sinα)= 3,∴sin(α+ )= , 2 2 5 6 5 7π π π 又∵sin(α+ )=sin(π+α+ )=-sin(α+ ), 6 6 6 7π 4 ∴sin(α+ )=- .答案:C 6 5 sinx cosx 8.f(x)= 的值域为( 1+sinx+cosx A.(― 3―1,―1) ∪(―1, - 3-1 3-1 C.( , ) 2 2 解析:令 t=sin x+cos x= 2sin(x+ ) 3―1) - 2-1 B.[ ,―1] ∪(―1, 2 - 2-1 2-1 D.[ , ] 2 2 π )∈[― 2,―1]∪(―1, 4 2-1 ).B 2 2). 2-1 ) 2

t2-1 2 t-1 - 2-1 则 f(x)= = ∈[ ,―1]∪(―1, 2 2 1+t

9 . sin(? ? 75? ) ? cos(? ? 45? ) ? 3 cos(? ? 15? ) 的值等于( A. ?1 B. 1 C. ?1 D. 0



解析:令 ? +15o =?,则? +75o =? +60o,? +45o =? +30o 代入原式化简 D

4m-6 10.等式 sinα + 3cosα = 有意义,则 m 的取值范围是 4-m 7 A.(-1, ) 3 7 B.[-1, ] 3 7 C.[-1, ] 3

(

)

7 D.[― ,―1] 3

11、已知 ?,?,? 均为锐角,且 tan ? ? 值( )

1 1 1 , tan ? ? , tan ? ? ,则 ? +? ? ? 的 2 5 8

A.

π 6

B.

π 4

C.

π 3

D.

5π 4
3 ,则 y 与 x 的函数关系式为( ) 5 3 4 B.y=- 1 ? x 2 + x (0<x<1) 5 5 3 4 D.y=- 1 ? x 2 - x (0<x<1) 5 5

12.已知???是锐角,sin?=x,cos?=y,cos(???)=-

3 4 3 1 ? x 2 + x ( <x<1) 5 5 5 3 4 3 C.y=- 1 ? x 2 - x (0<x< ) 5 5 5
A.y=-

解析: y=cosβ =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα 3 4 3 =― 1―x2+ x>0 ?4x>3 1―x2 ? <x<1.A 5 5 5

13、若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? C. 3 ? 1

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为( )

A.1

B. 2

D. 3 ? 2

14.函数 f(x)=sinx- 3cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间是 ( 5π A.[-π,- ] 6 π ,0] 6 5π π B.[- ,- ] 6 6 π C.[- ,0] 3

) D.[-

π 4π π π 解析:f(x)=sinx- 3cosx=2sin(x- ) ∵-π≤x≤0,∴- ≤x- ≤- 3 3 3 3 π π π π 当- ≤x- ≤- 时,即- ≤x≤0 时,f(x)递增.答案:D 2 3 3 6

15. 设 tan ?和 tan( ( )

?
4

? ? )是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个根,则 p、q 之间的关系是

A.p+q+1=0

B.p-q+1=0

C.p+q-1=0

D.p-q-1=0

16.若 cos ? A ? B ? ? A. ?

8 3

1 2 2 , 则 ?sin A ? sin B? ? ?cos A ? cos B? 的值是( 3 8 7 5 B. C. D. 3 3 3




17. 若 ?4 tan? ? 1??1 ? 4 tan ? ? ? 17 ,则 tan?? ? ? ? 的值为( A.

1 4

B.

1 2

C. 4

D. 12

? 18. 已知 cos ? ? a, sin ? ? 4 sin(? ? ? ),则 tan( ? ? ) 的值是 (



2 A. 1 ? a

a?4

B.-

1? a 2 a?4

C. ? a ? 4 1? a2

2 D. ? 1 ? a a?4

19







tan(? ? ? ) ? 7, tan ? ? tan ? ?
( )
2

2 , 则 cos(? ? ? ) 3
D. ? 2
2





A. 1
2

B. 2

C. ? 2
2

二填空题
1. cos?? ? ? ?cos? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ .
2.计算:

sin 65o +sin15o sin10 o 的值为_______. sin 25o -cos 15o cos 80 o

解析:

sin(800 ? 150 ) ? sin150 sin100 sin 800 cos150 cos150 ? ? ? 2? 3 sin(150 ? 100 ) ? cos150 cos800 sin150 cos100 sin150

3. sin

?
12

? 3 cos

?
12

的值

4. tan 67?30'? tan 22?30' 的值是_________。 (答案 2 提示:利用两角差的正切公式的变形公式

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? [1 ? tan ? tan ? ]
tan ? ],同时注意67?30'?22?30' ? 90? ,即67?30' 与22?30' 互余 )

三、简答题
1. 若 sin(? ? ? ) ? 1 , sin(? ? ? ) ? 1 ,求 tan ? 的值。 2 10 tan ? 1 1 ? ? ?sin(? ? ? ) ? 2 ?sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? 2 ? ? 由已知 ? 即? 1 ?sin(? ? ? ) ? ?sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? ? 10 10 ? ?
3 1 , cos ? ? sin ? ? 10 5 tan ? sin ? cos ? 3 3 则有 ? ? ?5? tan ? cos ? sin ? 10 2 解得 sin ? ? cos ? ?

2 求证:tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°=1 选题意图:考查两角和与差的正切变形公式的应用
王新敞
奎屯 新疆

3 (tan20? ? tan40?) ? tan40? ? tan20? 证明:左端= 3

3 tan60?(1 ? tan 20? tan 40?) ? tan 40? tan 20? 3 ? 1 ? tan 20? tan 40? ? tan 40? tan 20? ? 1 ? 右端 ?
2 求证: tan10? ? tan50? ? 3 tan10? tan50? ? 3
王新敞
奎屯 新疆

证明:∵ tan10? ? tan50? ? tan60? (1 ? tan10? tan50? )

? 3 ? 3 tan10? tan50?
∴ tan10? ? tan50? ? 3 tan10? tan50? ? 3

2 3. 设 tan ?, tan ?是方程mx ? (2m ? 3) x ? ( m ? 2) ? 0的两根,求 tan(? ? ? ) 的最小值

解:

由已知 tan ?, tan ?是方程的两根

? ? ? (2m ? 3) 2 ? 4m( m ? 2) ? 0

?m ?

9 4

3 ? 2m ? ?tan ? ? tan ? ? m ? 且? ?tan ? ? tan ? ? m ? 2 ? m ?
tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ?
?m ? 9 4 ?

3 ? 2m 3 ? 2m m ? m?2 2 1? m

3 ? 2m 3 3 ? ? ,即 tan(? ? ? ) ? ? 2 4 4 3 。 4

故 tan(? ? ? ) 的最小值为 ?

18.已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B ) ? 求证: (1) tan A ? 2 tan B ; 解析: (Ⅰ)证明: sin( A ? B) ?

3 1 ,sin( A ? B) ? . 5 5

(2)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 1 , sin( A ? B) ? , 5 5

3 ? ? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 5 , ?sin A cos B ? ? ? ?? ?? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B. (Ⅱ)解析:

2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

3 3 ? A ? B ? ? , sin( A ? B) ? , ? tan( A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 ?? 即 ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 1 ? tan A tan B 4
2 tan2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.

?

解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值得 tan B ? , 2 2

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6. 设 AB 边上的高为 CD.
则:

AD 1 6 ? 2 BD ; ? ? ? CD CD 2 6?2

2 6?2

? 6 ? 2;



AD DB 3 3 6 ?2 ;∴ CD ? 6 ? 2 。 ? ? ? CD CD CD 2

?

?

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