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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:10.2 排列与组合


10.2 排列与组合

第十一章

10.2

排列与组合 -2-

1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能利用排列与组合解决简单的实际问题.

第十一章

10.2

排列与组合 -3-

/>
1.排列与排列数:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“一个排列”是 指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它 是一件事情,只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列;“排列数” 是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它 是所有不同排列的个数,是一个数值. 排列数公式A = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) ,右边的第一个因数是 n, 后面的每一个因数都比前面一个少 1,最后一个是 n-m+1,共 A =
! (-)!

m 个连续

正整数相乘.当 m,n 较小时,可利用该公式计数;排列数公式还可表示成 ,它主要有两个作用:一是当 m,n 较大时,可利用计算器计算阶

乘数,二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时,写出这种形式更便于 发现它们之间的规律.

第十一章

10.2

排列与组合 -4-

2.组合与组合数:“一个组合”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素合成一组”,它是一件事情;“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数值.组合数公式的推导
要借助于排列数公式,公式C

=

A (-1)(-2)…(-+1) = A !

,其分子的组成与

排列数A 相同,分母是 m 个元素的全排列数.当 m,n 较小时,可利用该公式计
数;组合数公式还可以表示成C =

! !(-)!

,它有两个作用:一是当 m,n 较

大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论 证.

第十一章

10.2

排列与组合 -5-

3.组合数公式有两个性质:(1)C = C

-

,该公式说明,从 n 个不同元素
-1

中取出 m 个元素与从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素是一一对应关系,实
际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系;(2)C +1 = C + C

,该

公式说明,从 a1,a2,…,an+1 中取出 m 个元素的组合数C +1 可以分成两类:第一 类含有元素 a1,共C 个;第二类不含元素 a1,共C 个. -1

第十一章

10.2

排列与组合 -6-

基础自测
1.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为(
2 A.A8 8 A9 2 C.A8 8 A7 2 B.A8 8 C9 2 D.A8 8 C7

)

关闭

运用插空法.先将 8 名学生排列,有A8 关闭 8 种排法;再把 2 位老师插入 8 名学生形 8 2 2 成的 A 9 个空中,有A9 种排法,因此共有A8 A9 种排法.
解析 答案

第十一章

10.2

排列与组合 -7-

2.(2013 四川高考)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是( A.9 C.18 B.10 D.20 )

关闭

记基本事件为(a,b),则基本事件空间 Ω={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5), (3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有 20 个基本事件,而 lg a-lg b=lg ,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使 lg 的值相 关闭 C ,则不同值的个数为 20-2=18(个),故选 C. 等
解析 答案

第十一章

10.2

排列与组合 -8-

3.设集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={a1,a2,a3}是 S 的子集,且 a1,a2,a3 满足 a1<a2<a3,a3-a2≤6,则满足条件的集合 A 的个数为( A.78 C.84 B.76 D.83 )

关闭

易知在满足 a1<a2<a3 的集合 A 中,仅有{1,2,9}不满足 a3-a2≤6,故满足条件

关闭

D 3 的集合 A 的个数为C9 -1=83.
解析 答案

第十一章

10.2

排列与组合 -9-

4.刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩,购票后排队依次入园.为安全 起见,首尾一定要有两位爸爸,另外,两位小孩一定要排在一起,则这 6 人入 园的顺序排法共有 种.

关闭

先将两位爸爸排在首尾, 再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列, 最后将两位小 关闭 3 2 孩内部进行排列, 故这 6 人入园的顺序排法种数共有A2 2 A3 A2 =24.

24

解析

答案

第十一章

10.2

排列与组合 -10-

5.5 个人站成一排,其中甲、 乙两人不相邻的排法有 字作答).

种(用数

关闭

2 其余三个人站成一排有A3 3 =6 种,甲、乙两人插空有A4 =12 种,共 6×12=72关闭

种 72.
解析 答案

第十一章

10.2

排列与组合 -11-

考点一 有限制条件的排列问题
【例 1】 甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排 法种数:
解 :(1) ①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情 (1) 甲不在排头、乙不在排尾 ; 况. (2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位; 3 若甲排在排尾共有A1 1 A3 =6 种排法. (3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)1 . 2 若甲既不在排头也不在排尾共有A1 A 2 2 A2 =8 种排法,由分类计数原理知满 3 1 1 2 足条件的排法共有A1 1 A3 + A2 A2 A2 =14(种). 3 2 ②也可间接计算:A4 4 -2A3 + A2 =14(种). (2)可考虑直接排法:甲有 3 种排法;若甲排在第二位,则乙有 3 种排法;甲、 乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有 3×3×1=9(种). (3)可先排丙、丁有A2 4 种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足
A4 条件的排列共有A2 · 1 = 12( 种 ), 或看作定序问题 4 2 =12(种). A2
4
关闭

答案 考点一 考点二 考点三

第十一章

10.2

排列与组合 -12-

方法提炼 对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进 行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”; 对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空 当,这种方法称为“插空法”;对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法 主要有:位置优先法、元素优先法、间接计算法.

考点一

考点二

考点三

第十一章

10.2

排列与组合 -13-

解:(1)3 个女同学是特殊元素,我们先把她们排好,共有A3 3 种排法;由于 3 个 (1)3 个女同学必须排在一起 , 有多少种不同的排法 ? 女同学必须排在一起,我们可视排好的女同学为一整体,再与男同学排队,这时 5 3 ? 任何两个女同学彼此不相邻 ,有多少种不同的排法 是 5 (2) 个元素的全排列 ,应有A5 5 种排法,由分步计数原理,有A3 A5 =720 种不同排法. (2) 先将男生排好,共有A4 4 个男生的中间及两头的 (3) 其中甲、乙两同学之间必须恰有 3人 ,有多少种不同的排法?5 个空当 4 种排法,再在这 3 4 3 中插入 3 个女生有 A 种方案 , 故符合条件的排法共有 A . 4 A5 =1 440 种不同排法 5 (4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法 ? (3)甲、乙两人先排好,有A2 2 种排法,再从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙两人 (5)女同学从左到右按高矮顺序排,有多少种不同的排法?(3 个女生身高 中间,有A3 5 种排法,这时把已排好的 5 人视为一整体,与最后剩下的两人再排,又 2 3 3 互不相等 ) 有A3 3 种排法,这样总共有A2 A5 A3 =720 种不同排法. (4)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人,有A4 4 种排法;由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好,有A2 2 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原 4 2 2 先排好的 4 人的空当中有A2 5 种排法.这样,总共有A4 A2 A5 =960 种不同排法. (5)从 7 个位置中选出 4 个位置把男生排好,则有A4 7 种排法.然后再在余下的 3 个空位置中排女生,由于女生要按身体高矮排列,故仅有一种排法.这样总共有 A4 7 =840 种不同排法.
答案 考点一 考点二 考点三

举一反三 14 个男同学,3 个女同学站成一排.

关闭

第十一章

10.2

排列与组合 -14-

考点二 组合问题
【例 2】 某课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女生 各指定一名队长.现从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法关闭 ? (1)只有一名女生 ; 1 4
解:(1)依题意,应选一名女生,四名男生, 故共有C5 ·C8 =350(种).

(2)两队长当选; 2 3 (2)将两队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有C2 ·C11 =165(种). (3)至少有一名队长当选;
5 5 C1 2 ·C11 + C2 ·C11 =825(种),或采用排除法:C13 ? C11 =825(种).

(4) 至多有两名女生当选 ; 4 2 3

(3)至少有一名队长包含两类:只有一名队长和有两名队长,故共有

(5)既要有队长,又要有女生当选.

(4)至多有两名女生包含三类:有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选
4 (5)分两类:第一类女队长当选,有C12 种; 3 2 2 3 1 4 第二类女队长不当选:C1 4 ·C7 + C4 ·C7 + C4 ·C7 + C4 . 4 3 2 2 3 1 4 故选法共有C12 + C1 4 ·C7 + C4 ·C7 + C4 ·C7 + C4 =790(种).

2 5 3 4 法为C5 ·C8 + C1 5 ·C8 + C8 =966(种).

答案 考点一 考点二 考点三

第十一章

10.2

排列与组合 -15-

方法提炼 1.注意问题有无顺序要求,一般有序问题用排列,无序问题用组合; 2.有些复杂问题用直接法不好解决,往往选用间接法; 3.均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题 型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组 ,无序 分组要除以均匀组数的阶乘数;还要考虑到是否与顺序有关,有序分组要在 无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.

考点一

考点二

考点三

第十一章

10.2

排列与组合 -16-

5 方法一:从 12 名医生中任选 5 名,不同选法有C12 =792 种.不满足条件的有: 举一反三 2(2013 重庆高考)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选 5 只去骨科和脑外科两科医生的选法有C7 =21 种,只去骨科和内科两科医生的选 5 5 5 5 派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组 ,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 法有 C8 ? C5 =55(种),只去脑外科和内科两科医生的选法有 C9 ? C5 =125(种),只 5 人的选派方法种数是 .,故符合条件的选法 去内科一科医生的选法有C5 =1 种

关闭

有:792-21-55-125-1=590(种). 方法二:设选骨科医生 x 名,脑外科医生 y 名,则需选内科医生(5-x-y)人.
3 1 (1)当 x=y=1 时,有C1 3 ·C4 ·C5 =120 种不同选法; 2 2 (2)当 x=1,y=2 时,有C1 3 ·C4 ·C5 =180 种不同选法; 1 3 (3)当 x=1,y=3 时,有C1 3 ·C4 ·C5 =60 种不同选法; 2 2 (4)当 x=2,y=1 时,有C3 ·C1 4 ·C5 =120 种不同选法; 2 2 (5)当 x=2,y=2 时,有C3 ·C4 ·C1 5 =90 种不同选法;

590

1 3 (6)当 x=3,y=1 时,有C3 ·C1 4 ·C5 =20 种不同选法.

关闭

所以不同的选法共有 120+180+60+120+90+20=590(种).
解析 考点一 考点二 考点三 答案

第十一章

10.2

排列与组合 -17-

考点三 排列与组合的综合应用
【例 3】 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加世界杯志愿者服务活动, 每人从事翻译、 导游、 礼仪、 司机 4 项工作之一,每项工作至少有 1 人参加. 甲、乙不会开车但能从事其他 3 项工作,丙、丁、戊都能胜任 4 项工作,则 不同安排方案的种数是( A.152 B.126 ) C.90 D.54
关闭

(直接法)以从事司机工作为分类标准进行讨论:若有 2 人从事司机工作,则 2 3 2 3 方案有C3 A3 =18;若有 1 人从事司机工作,则方案有C1 3 C4 A3 =108 种,所以不同安 排方案种数是 18+108=126. 2 4 (间接法)5 人从事 4 项工作,所有不同安排方案的种数是C5 A4 =240.不符合 要求的有两类:一是甲、乙都从事司机工作,有A3 3 =6 种;二是甲、乙有 1 人从事 关闭 司机工作,它包括只有 1 人从事司机工作和有 2 人从事司机工作,故共有 B 1 2 3 1 1 3 C 2 C4 A3 + C2 C3 A3 =72+36=108(种).所以不同安排方案种数是 240-6-108=126.
解析 考点一 考点二 考点三 答案

第十一章

10.2

排列与组合 -18-

方法提炼 排列组合的综合题目,一般是先取出符合要求的元素组合(分组),再对 取出的元素排列,分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组 标准.

考点一

考点二

考点三

第十一章

10.2

排列与组合 -19-

举一反三 3 将标号为 1, 2, 3, 4, 5, 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中. 若每个信封放 2 张, 其中标号为 1, 2 的卡片放入同一信封, 则不同的放法共有 ( ) A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 54 种

关闭

先放标号为 1,2 的卡片有C1 3 种,再将标号为 3,4,5,6 的卡片平均分成两组再
1 2 放置 B ,有 2·A2 2 种,故共有C3 ·4 =18 种.

C2 4

关闭

A2

解析 考点一 考点二 考点三

答案

第十一章

10.2

排列与组合 -201 2 3 4

1.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋 友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( A.4 种 C.18 种 B.10 种 D.20 种 )

关闭

2 可分为两种情况:①画册 2 本,集邮册 2 本,则不同的赠送方法有C4 =

4×3 =6 2
关闭

种.②画册 1 本,集邮册 3 本,则不同的赠送方法有C1 共有 6+4=10 种. 4 =4 种 ,∴ B
解析

答案

第十一章

10.2

排列与组合 -211 2 3 4

2.甲、乙两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能 出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( A.10 种 C.20 种 B.15 种 D.30 种 )

关闭

甲获胜有三种情况,第一种共打三局,甲全胜,此时,有一种情形;第二种共打 2 四局,甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜,此时,共有C3 =3 种情形;第三种共 关闭 2 打五局,甲第五局获胜且前四局只有两局获胜,此时,共有C4 =6 种情形,所以甲赢 C 10 种情况,同理乙赢也有 10 种情形,故选 C. 共有
解析 答案

第十一章

10.2

排列与组合 -221 2 3 4

3.某运输公司有 7 个车队,每个车队的车辆均多于 4 辆.现从这个公司中抽调 10 辆车,并且每个车队至少抽调 1 辆,那么共有多少种不同的抽调方法?

关闭

解:方法一 在每个车队抽调 1 辆车的基础上,还需抽调 3 辆车.可分成三类: 一类是从某 1 个车队抽调 3 辆,有C1 7 种;一类是从 2 个车队中抽调,其中 1 个车队 3 抽调 1 辆,另 1 个车队抽调 2 辆,有A2 7 种;一类是从 3 个车队中各抽调 1 辆,有C7 种. 2 3 故共有C1 7 + A7 + C7 =84(种)抽调方法. 方法二 由于每个车队的车辆均多于 4 辆,只需将 10 个份额分成 7 份.可将 10 个小球排成一排,在相互之间的 9 个空当中插入 6 个隔板,即可将小球分成 7 6 份.按顺序分别对应车队应抽调车辆数.故共有C9 =84(种)抽调方法.
答案

第十一章

10.2

排列与组合 -231 2 3 4

4.按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本.

第十一章

10.2

排列与组合 -241 2 3 4

解:(1)无序不均匀分组问题. 2 先选 1 本,有C1 6 种选法;再从余下的 5 本中选 2 本,有C5 种选法;最后余下 3 3 本全选,有C3 种选法. 2 3 故共有C1 6 C5 C3 =60(种). (2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有 2 3 3 C1 6 C5 C3 A3 =360(种). (3)无序均匀分组问题. 2 2 2 先分三步,则应是C6 C4 C2 种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为 2 2 2 (AB,CD,EF),则C6 C4 C2 种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB), 3 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有A3 3 种情况,而这A3 种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不 同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
2 2 2 6 4 2

A3 3

=15(种).

第十一章

10.2

排列与组合 -251 2 3 4

(4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给 3 个人, 共有分配方式
1 1 4 6 2 1 2 2 2 6 4 2

A3 3

2 2 2 ·A3 3 = C6 C4 C2 =90(种).

(5)无序部分均匀分组问题. 共有
A2 2

=15(种).
1 1 4 6 2 1

(6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式
A2 2

·A3 3 =90(种).

(7)直接分配问题. 1 甲选 1 本,有C1 6 种方法;乙从余下的 5 本中选 1 本,有C5 种方法;余下 4 本留 1 4 4 给丙,有C4 种方法.共有分配方式C1 6 C5 C4 =30(种).


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