圆锥曲线中档题组一

10. 圆锥曲线（中档题组一）
1． （连云港市 2012－2013 学年度第一学期高三期末考试 9）等轴双曲线 C 的中心在原点， 焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2 = 4x 的准线交于 A、B 两点，AB = 3，则 C 的实轴长为 ▲ .
2 2

【解析】考查双曲线、抛物线的方程和计算。 等轴双曲线 C 的方程设为 x ? y

? ? ∵抛物线 y2 = 4x 的准线为 x=-1

3 ) 2 3 1 ?1 ? ? ? ? 4 4 1 ?a ? 2 ? 双曲线的实轴长为1 ? A( ?1,
【答案】1 2． （江苏省宿迁市 2013 届高三一模统测试题 12） 已知双曲线
x2 y 2 A, C ? ? 1 ? a ? 0 , b ? 0? ， a 2 b2

分别是双曲线虚轴的上、下端点, B, F 分别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率 为 2，则 BA 与 CF 夹角的余弦值为 【解析】考查双曲线的方程和几何性质。 .

? A(0, b), B (?a, 0), c(0, ?b), F ( ?C , 0) ??? ? ??? ? ? BA ? (a, b), CF ? (?C , B ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA? CF ?ac ? b 2 ? COS ? BA, CF ?? ???? ??? ? ? 2 BA CF a 2 ? b2 b ? c2 ? 1 2 7 ? 7 14
7 14

【答案】

x2 y2 3． （盐城市 2013 届高三第二次模拟考试 11）椭圆 2 ? 2 ? 1（ a ? b ? 0 ）的左焦点为 F， a b
直线 x ? m 与椭圆相交于 A，B 两点，若 ?FAB 的周长最大时， ?FAB 的面积为 ab ，则椭 圆的离心率为 。 【解析】考查椭圆的离心率的计算和椭圆的定义。 设右焦点为 F′，∵AF+AF′=2a

∴AB 过 F′时， ?FAB 的周长=4a ∵AB 不过 F′时，AB<AF+BF′ ∴AB 过 F′时， ?FAB 的周长最大 此时 ?FAB 的面积= ∴b=c ∴e=

2b2c ? ab a

2 2
2 2

【答案】

4.（南通市 2013 届高三第一次调研测试 19 改编） 已知左焦点为 F(－1，0)的椭圆过点 E(1， 2 3 )．过点 P(1，1)分别作斜率为 k1，k2 的 3 椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若 P 为线段 AB 的中点，求 k1． 解：依题设 c=1，且右焦点 F ? (1，0)．
? ? 所以，2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) 2 ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ，b2=a2－c2=2， 3 ? 3 ?
2 y2 ?1． 故所求的椭圆的标准方程为 x ? 3 2
2

(2)设 A( x1 ， y1 )，B( x2 ， y2 )，则 ②－①，得 所以，k1=

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①， 2 ? 2 ? 1 ②． 3 2 3 2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? ? 0． 3 2

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2 ． x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

5.（镇江市 2012－2013 学年度第一学期高三期末考试 19 改编）已知椭圆 O 的中心在原点， 长轴在 x 轴上， 右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 的动直线 y ?

3 . 不过 A 点 2

1 x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点． 2
（2）证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值.

（1）求椭圆的标准方程；

解： （1）设椭圆的标准方程为

x2 y2 3 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b

? c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
（2）证明：设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 将y?

?椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆，化简得： x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2

2 2 2 2 ?2 x1 x2 ?4 , ? x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2(m ? 1) ,……6 分 ? x1 ? x2 ?( x1 ? x) 2

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
6． （泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试 18）如图，在平面直
2 y2 角坐标系 xOy 中，椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1， 0) ，离心率为 2 ． 2 a b

分别过 O ， F 的两条弦 AB ， CD 相交于点 E （异于 A ， C 两点） ，且 OE ? EF ． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线 AC ， BD 的斜率之和为定值． 解： （1）由题意，得 c ? 1 ， e ? c ? 2 ，故 a ? 2 ， a 2 从而 b2 ? a2 ? c2 ? 1 ， 所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 ． 2 ①………5 分 （2）证明：设直线 AB 的方程为 y ? kx ， ② ………7 分
2 ， 2k 2 ? 1
（第 18 题）
2

y
C

A E
O

F

D

x

B

直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ， ③ 由①②得，点 A ， B 的横坐标为 ?

由①③得，点 C ， D 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) ，………9 分 2k 2 ? 1

记 A( x1， kx2 ) ， C ( x3， k (1 ? x3 )) ， D( x4， k (1 ? x4 )) ， kx1 ) ， B( x2， 则直线 AC ， BD 的斜率之和为
kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ( x ? x ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ? ?k? 1 3 x1 ? x3 x2 ? x4 ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ?k? 2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

………13 分

2 ?2 ? 2(k ? 1) ? ? 0 ? 4k 2 2? ? 2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 0 ． ?k? ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

………16 分

7． （2010 江苏高考 18） （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭

y
B C O M A D

x2 y2 圆 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B，右 9 5
焦点为 F。设过点 T（ t , m ）的直线 TA、 TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1 , y1 ) 、

x

N ( x2 , y 2 ) ，其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。
（1）设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹；
2 2

（2）设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ，求点 T 的坐标； 3

（3）设 t ? 9 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 （1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。
2 2 由 PF ? PB ? 4 ，得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2 2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? （2） 将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程， 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得： M （2， ） 、 N （ ，? ） 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为： ，即 y ? x ? 1 ， ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为： ，即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3
?x ? 7 ? 联立方程组，解得： ? 10 ， y ? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

（3）点 T 的坐标为 (9, m)

y ?0 x?3 m ，即 y ? ? ( x ? 3) ， m?0 9?3 12 y ?0 x ?3 m 直线 NTB 方程为： ，即 y ? ( x ? 3) 。 ? m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为： 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组，同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 ， 9 5

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m 解得： M ( , ) 、 N( ,? )。 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 （方法一） 当 x1 ? x2 时， 直线 MN 方程为： ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ，解得： x ? 1 。此时必过点 D（1，0） ； 当 x1 ? x2 时，直线 MN 方程为： x ? 1 ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0） 。 （方法二）若 x1 ? x2 ，则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 及 m ? 0 ，得 m ? 2 10 ， ? 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ，过点 D（1，0） 。

若 x1 ? x2 ，则 m ? 2 10 ，直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m ， ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m ? m 2 ? 10m ，得 k ? k ，所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 MD ND 3m 2 ? 60 40 ? m2 ? 1 20 ? m 2

因此，直线 MN 必过 x 轴上的点（1，0） 。