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圆锥曲线中档题组一


10. 圆锥曲线(中档题组一)
1. (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试 9)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2 = 4x 的准线交于 A、B 两点,AB = 3,则 C 的实轴长为 ▲ .
2 2

【解析】考查双曲线、抛物线的方程和计算。 等轴双曲线 C 的方程设为 x ? y

? ? ∵抛物线 y2 = 4x 的准线为 x=-1

3 ) 2 3 1 ?1 ? ? ? ? 4 4 1 ?a ? 2 ? 双曲线的实轴长为1 ? A( ?1,
【答案】1 2. (江苏省宿迁市 2013 届高三一模统测试题 12) 已知双曲线
x2 y 2 A, C ? ? 1 ? a ? 0 , b ? 0? , a 2 b2

分别是双曲线虚轴的上、下端点, B, F 分别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率 为 2,则 BA 与 CF 夹角的余弦值为 【解析】考查双曲线的方程和几何性质。 .

? A(0, b), B (?a, 0), c(0, ?b), F ( ?C , 0) ??? ? ??? ? ? BA ? (a, b), CF ? (?C , B ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA? CF ?ac ? b 2 ? COS ? BA, CF ?? ???? ??? ? ? 2 BA CF a 2 ? b2 b ? c2 ? 1 2 7 ? 7 14
7 14

【答案】

x2 y2 3. (盐城市 2013 届高三第二次模拟考试 11)椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点为 F, a b
直线 x ? m 与椭圆相交于 A,B 两点,若 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积为 ab ,则椭 圆的离心率为 。 【解析】考查椭圆的离心率的计算和椭圆的定义。 设右焦点为 F′,∵AF+AF′=2a

∴AB 过 F′时, ?FAB 的周长=4a ∵AB 不过 F′时,AB<AF+BF′ ∴AB 过 F′时, ?FAB 的周长最大 此时 ?FAB 的面积= ∴b=c ∴e=

2b2c ? ab a

2 2
2 2

【答案】

4.(南通市 2013 届高三第一次调研测试 19 改编) 已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的 3 椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1. 解:依题设 c=1,且右焦点 F ? (1,0).
? ? 所以,2a= EF ? EF ? = (1 ? 1) 2 ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b2=a2-c2=2, 3 ? 3 ?
2 y2 ?1. 故所求的椭圆的标准方程为 x ? 3 2
2

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,k1=

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? ? 0. 3 2

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ?? P ??2 . x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

5.(镇江市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试 19 改编)已知椭圆 O 的中心在原点, 长轴在 x 轴上, 右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 的动直线 y ?

3 . 不过 A 点 2

1 x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点. 2
(2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值.

(1)求椭圆的标准方程;

解: (1)设椭圆的标准方程为

x2 y2 3 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b

? c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
(2)证明:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 将y?

?椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2

2 2 2 2 ?2 x1 x2 ?4 , ? x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2(m ? 1) ,……6 分 ? x1 ? x2 ?( x1 ? x) 2

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
6. (泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试 18)如图,在平面直
2 y2 角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率为 2 . 2 a b

分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点) ,且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程; (2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值. 解: (1)由题意,得 c ? 1 , e ? c ? 2 ,故 a ? 2 , a 2 从而 b2 ? a2 ? c2 ? 1 , 所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2 ①………5 分 (2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , ② ………7 分
2 , 2k 2 ? 1
(第 18 题)
2

y
C

A E
O

F

D

x

B

直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) , ③ 由①②得,点 A , B 的横坐标为 ?

由①③得,点 C , D 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) ,………9 分 2k 2 ? 1

记 A( x1, kx2 ) , C ( x3, k (1 ? x3 )) , D( x4, k (1 ? x4 )) , kx1 ) , B( x2, 则直线 AC , BD 的斜率之和为
kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ( x ? x ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ? ?k? 1 3 x1 ? x3 x2 ? x4 ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ?k? 2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

………13 分

2 ?2 ? 2(k ? 1) ? ? 0 ? 4k 2 2? ? 2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 0 . ?k? ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

………16 分

7. (2010 江苏高考 18) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭

y
B C O M A D

x2 y2 圆 ? ? 1 的左、右顶点为 A、B,右 9 5
焦点为 F。设过点 T( t , m )的直线 TA、 TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M ( x1 , y1 ) 、

x

N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 。
(1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关) 。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 (1)设点 P(x,y) ,则:F(2,0) 、B(3,0) 、A(-3,0) 。
2 2 由 PF ? PB ? 4 ,得 ( x ? 2) ? y ? [( x ? 3) ? y ] ? 4, 化简得 x ?
2 2 2 2

9 。 2

故所求点 P 的轨迹为直线 x ? (2) 将 x1 ? 2, x 2 ?

9 。 2

1 5 1 20 分别代入椭圆方程, 以及 y1 ? 0, y 2 ? 0 得: M (2, ) 、 N ( ,? ) 3 3 3 9 1 y ?0 x?3 直线 MTA 方程为: ,即 y ? x ? 1 , ? 5 3 ?0 2?3 3 5 5 y ?0 x ?3 直线 NTB 方程为: ,即 y ? x ? 。 ? 20 1 6 2 ? ?0 ?3 9 3
?x ? 7 ? 联立方程组,解得: ? 10 , y ? ? 3 ?
所以点 T 的坐标为 (7,

10 )。 3

(3)点 T 的坐标为 (9, m)

y ?0 x?3 m ,即 y ? ? ( x ? 3) , m?0 9?3 12 y ?0 x ?3 m 直线 NTB 方程为: ,即 y ? ( x ? 3) 。 ? m?0 9?3 6
直线 MTA 方程为: 分别与椭圆

x2 y2 ? ? 1 联立方程组,同时考虑到 x1 ? ?3, x2 ? 3 , 9 5

3(80 ? m2 ) 40m 3(m2 ? 20) 20m 解得: M ( , ) 、 N( ,? )。 2 2 2 80 ? m 80 ? m 20 ? m 20 ? m2

20m 3(m2 ? 20) x ? 20 ? m2 20 ? m2 (方法一) 当 x1 ? x2 时, 直线 MN 方程为: ? 40m 20m 3(80 ? m2 ) 3(m2 ? 20) ? ? 80 ? m2 20 ? m2 80 ? m2 20 ? m2 y?
令 y ? 0 ,解得: x ? 1 。此时必过点 D(1,0) ; 当 x1 ? x2 时,直线 MN 方程为: x ? 1 ,与 x 轴交点为 D(1,0) 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D(1,0) 。 (方法二)若 x1 ? x2 ,则由

240 ? 3m2 3m2 ? 60 及 m ? 0 ,得 m ? 2 10 , ? 80 ? m2 20 ? m2

此时直线 MN 的方程为 x ? 1 ,过点 D(1,0) 。

若 x1 ? x2 ,则 m ? 2 10 ,直线 MD 的斜率 kMD

40m 2 10m , ? 80 ? m2 ? 240 ? 3m 40 ? m2 ?1 80 ? m2

直线 ND 的斜率 k ND

?20m ? m 2 ? 10m ,得 k ? k ,所以直线 MN 过 D 点。 ? 20 MD ND 3m 2 ? 60 40 ? m2 ? 1 20 ? m 2

因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0) 。


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