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2010届高三数学一轮复习必备精品:第九章数列


2010 届高三数学一轮复习必备精品:第九章数列
考纲导读 1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并 能根据递推公式写出数列的前几项. 2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式,并能解决简单的实 际问题. 3、理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际 问题. 知识网



定义 项,通项 数列基础知识 数列表示法 数列分类 数列 等差数列 等比数列 特殊数列 定义 通项公式 前n项和公式 性质 其他特殊数列求和

高考导航 纵观近几年高考试题,对数列的考查已从最低谷走出,估计以后几年对数列的考查的 比重仍不会减小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式的应用是必考内 容,数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点. 从解题思想方法的规律着眼,主要有:① 方程思想的应用,利用公式列方程(组),例如等 差、等比数列中的“知三求二”问题;② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题; ③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用.

第 1 课时
基础过关

数列的概念

1.数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整 数 N*或其子集{1,2,3,……n}的函数 f(n).数列的一般形式为 a1,a2,…,an…,简记为 {an},其中 an 是数列{an}的第 项. 2.数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系, 如果可用一个公式 an=f(n)来表示,

我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 3.在数列{an}中,前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为:
? ? aa n n?? ? ? ? n ?1 n?2

4.求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法. ⑵ 观察归纳法:先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式, 再取 n 的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明. ⑶ 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推 关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式 典型例题 例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值,写出数列的一个通项公式. ⑴ -
2 1? 3



4 8 16 ,- , …; 3? 5 5? 7 7?9

⑵ 1,2,6,13,23,36,…; ⑶ 1,1,2,2,3,3, 解: ⑴ an=(-1)n
1 2

2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1)

⑵ an= (3n 2 ? 7n ? 6) (提示:a2-a1=1,a3-a2=4,a4-a3=7,a5-a4=10,…,an-an-1=1+3(n-2)=3n-5.各 式相加得
a n ? 1 ? [1 ? 4 ? 7 ? 10 ? ? ? (3n ? 5)] ? 1? ? 1 (n ? 1)(3n ? 4) 2

1 (3n 2 ? 7 n ? 6) 2

⑶ 将 1,1,2,2,3,3,…变形为
4 ? 0 5 ?1 6 ? 0 , , , ?, 2 2 2
n? 1 ? (?1) n ?1 2 2 2n ? 1 ? (?1) n ?1 4

1?1 2 ? 0 3 ?1 , , , 2 2 2

∴ an?

?

变式训练 1.某数列{an}的前四项为 0, 2 ,0, 2 ,则以下各式: ① an=
2 [1+(-1)n] 2
?0 (n为 奇 数 )

② an= 1 ? ( ?1) n

? ) ③ an= ? 2 (n为 偶 数

其中可作为{an}的通项公式的是 A.① B.①② C.②③ D.①②③





解:D 例 2. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项. ⑴ Sn=3n-2 ⑵ Sn=n2+3n+1 解 ⑴ an=Sn-Sn-1 (n≥2) a1=S1 解得:an= ? 2 ? 3
?1 ?
n ?1

(n ? 2) (n ? 1)

⑵ an= ?

(n ? 1) ?5 2 n ? 2 (n ? 2) ?

变式训练 2:已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 满足关系式 lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an} 的通项公式为 . 解: lg(S n ?1) ? n ?S n ?1 ? 10n ?S n ? 10n ? 1, 当 n=1 时,a1=S1=11;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =10n-10n 1=9· 10 n 1.故 an= ? ?
- -

?11 ? ?9 ? 10
n ?1

(n ? 1) (n ? 2)

例 3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式. ⑴ a1=1,an=2an-1+1 (n≥2) ⑵ a1=1,an= a n?1 ?3n?1 (n≥2) ⑶ a1=1,an=
n ?1 a n?1 n

(n≥2)

解:⑴ an=2an-1+1 ? (an+1)=2(an-1+1)(n≥2),a1+1=2.故:a1+1=2n,∴an=2n-1. - - ⑵an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=3n 1+3n 2+…+33 +3+1= (3n ? 1) . (3)∵
an n ?1 ? a n?1 n a n a n?1 a n?2 a n ?1 n ? 2 ? ? ? ?? 2 ?a1 ? ? ? a n?1 a n?2 a n?3 a1 n n ?1

1 2

∴an=

n?3 1 1 ? ?? ?1 ? n?2 2 n

变式训练 3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= 解:方法一:由 an+1=
2a n 得 a n ?2

2a n (n∈N*),求该数列的通项公式. a n ?2

1 1 1 1 1 1 }是以 ? 1 为首项, 为公差的等差数列. ? ? ,∴{ 2 a n?1 a n 2 an a1



1 1 2 =1+(n-1)· ,即 an= 2 an n ?1

方法二:求出前 5 项,归纳猜想出 an=


2 ,然后用数学归纳证明. n ?1

例 4. 已知函数 f ( x) =2x-2 x,数列{an}满足 f (log2 an ) =-2n,求数列{an}通项公式. 解: f (log2 an ) ? 2log2 an ? 2? log2 an ? ?2n
an ? 1 ? ?2n 得 an ? n 2 ? 1 ? n an

变式训练 4.知数列{an}的首项 a1=5.前 n 项和为 Sn 且 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*) . (1) 证明数列{an+1}是等比数列; (2) 令 f (x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数 f (x)在点 x=1 处导数 f 1 (1). 解:(1) 由已知 Sn+1=2Sn+n+5,∴ n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4,两式相减,得: Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即 an+1=2an+1 从而 an+1+1=2(an+1) 当 n=1 时,S2=2S1+1+5,∴ a1+a2=2a1+6, 又 a1=5,∴ a2=11 ∴
an ?1 ? 1 =2,即{an+1}是以 a1+1=6 为首项,2 为公比的等比数列. an ? 1

(2) 由(1)知 an=3× 2n-1 ∵ f ( x) =a1x+a2x2+…+anxn - ∴ f ' ( x) =a1+2a2x+…+nanxn 1 从而 f ' (1) =a1+2a2+…+nan =(3× 2-1)+2(3× 22-1)+…+n(3× 2n-1) =3(2+2× 22+…+n× 2n)-(1+2+…+n) =3[n× 2n 1-(2+…+2n)]-


n ( n ? 1) 2

=3(n-1)· 2n 1-


n ( n ? 1) 2

+6

归纳小结 1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系, 常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等 2.由 Sn 求 an 时,用公式 an=Sn-Sn-1 要注意 n≥2 这个条件,a1 应由 a1=S1 来确定,最后看 二者能否统一. 3.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n), 用累加法、累乘法、迭代法(或换元法) .
an?1 =f(n),an+1=pan+q,分别 an

第 2 课时
基础过关

等差数列

1.等差数列的定义: - =d(d 为常数) . 2.等差数列的通项公式: ⑴ an=a1+ × d ⑵ an=am+ × d 3.等差数列的前 n 项和公式: Sn= = . 4.等差中项:如果 a、b、c 成等差数列,则 b 叫做 a 与 c 的等差中项,即 b= 5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是: ⑴ 数列{an}的通项公式可写成 an=pn+q(p, q∈R) ⑵ 数列{an}的前 n 项和公式可写成 Sn=an2+bn (a, b∈R)



6.等差数列{an}的两个重要性质: ⑴ m, n, p, q∈N*,若 m+n=p+q,则 . ⑵ 数列{an}的前 n 项和为 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成 典型例题 例 1. 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=10,a45=90,求 a60; (2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.
82 ? a ?? ? ?a15 ? a1 ?14d ? 10 ? 1 3 解:(1)方法一: ? ?? ?a 45 ? a1 ?44d ? 90 ?d ? 8 ? 3 ?

数列.

∴a60=a1+59d=130. 方法二: d ?
a n ?a m a 45 ?a15 8 8 ? ? ,由 an=am+(n-m)d ? a60=a45+(60-45)d=90+15× = 3 n?m 45 ? 15 3

130. (2)不妨设 Sn=An2+Bn, ∴? ?
?12 2 A ? 12B ? 84
2 ? ?20 A ? 20B ? 460

?A ? 2 ?? ?B ? ?17

∴Sn=2n2-17n ∴S28=2× 282-17× 28=1092 (3)∵S6=S5+a6=5+10=15, 又 S6= ∴15= 而 d=
6(a1 ?a 6 ) 6(a1 ?10) ? 2 2 6(a1 ?10) 即 a1=-5 2 a 6 ? a1 ?3 6 ?1

∴a8=a6+2 d=16 S8=
8(a1 ?a 8 ) ? 44 2

变式训练 1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= 解:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10=
7(a 4 ?a10 ) ? 7(a 5 ?2d ) ? ?49 2



例 2. 已知数列{an}满足 a1=2a, an=2a- ⑴ 求证:数列{bn}是等差数列. ⑵ 求数列{an}的通项公式. 解:∵ ⑴ an=2a-
a2 an ?1