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2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A={1,2,3,4} A ? {1,2,3,4}, B ? {x | x ? n2 , n ? A} ,则 A ? B ? ( A. {1,4} 2.
1 ? 2i ?( (1 ? i ) 2
1 A. ? 1 ? i 2

).

B. {2,3} ).
1 B. ? 1 ? i 2

C. {9,16}

D. {1,2}

1 C. 1 ? i 2

1 D. 1 ? i 2

3.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( A.
1 2

).

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

4.已知双曲线 C :
1 A. y ? ? x 4

x2 y2 5 ? 2 =1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2
1 B. y ? ? x 3 1 C. y ? ? x 2

).

D. y ? ? x ).

5.已知命题 P : ?x ? R,2 x ? 3x ;命题 q : ?x ? R, x3 ? 1 ? x 2 ,则下列命题中为真命题的是( A.p∧q 6.设首项为 1,公比为 A. Sn ? 2an ?1 B. ? p∧q C.p∧ ? q D. ? p∧ ? q ). D. Sn ? 3 ? 2an ). D. [?2,5]

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则( 3

B. Sn ? 3an ? 2

C. Sn ? 4 ? 3an

7.执行下面的程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出的 s 属于( A. [?3,4] B. [?5,2] C. [?4,3]

1

O F 8.O 为坐标原点,F 为抛物线 C : y 2 ? 4 2 x 的焦点,P 为 C 上一点, 若 | PF |? 4 2 , 则 ?P

的面积为( A. 2

). B. 2 2 C. 2 3 ). D. 4

9.函数 f ( x) ? (1 ? cos x) sin x 在 [?? , ? ] 的图像大致为(

10.已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 23cos2 A ? cos2 A ? 0, a ? 7, c ? 6 ,则 b= ( ). A.10 B.9 C.8 ). D. 8 ? 16? D.5

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 16 ? 8? B. 8 ? 8? C. 16 ? 16?

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是( ?ln( x ? 1), x ? 0.
A. (??,0] B. (??,1] C. [?2,1]

).

D. [?2,0]

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 600 ,c ? t a ? (1 ? t ) b.若 b·c ? 0 ,则 t ? .

?1 ? x ? 3, 14.设 x , y 满足约束条件 ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ??1 ? x ? y ? 0,



15.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1 : 2 , AB ? 平面 ? , H 为垂足,? 截球 O 所 得截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为
2



16.设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 0, S5 ? ?5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)求数列 {

.

1 } 的前 n 项和. a2 n?1a2 n?1

18.(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选 取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平 均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3

19.(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

3

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x 2 ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切 线方程为 y ? 4 x ? 4 . (1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值. 21.(本小题满分 12 分)已知圆 M : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ?1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (1)求 C 的方程; (2) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A, B 两点,当圆 P 的半径最长时,求
| AB | .

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,

DB 垂直 BE 交圆于点 D.

? x ? 4 ? 5cos t , 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为 ? (t ? y ? 5 ? 5sin t
为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;
? a 1? (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?
4

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 答案:A 解析:≧B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16}, ?A∩B={1,4}. 2. 答案:B 解析: 3. 答案:B 解析:由题意知总事件数为 6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事
1 件数是 2,所以所求的概率为 . 3 1 1 ? 2i 1 ? 2i ?1 ? 2i ?i ?2 ? i = ?1+ i . ? ? ? 2 2 ?1 ? i ? ?2i 2 2

4. 答案:C 解析:≧ e ?
c2 5 5 c 5 ,? ? ,即 2 ? . a 4 2 a 2
b 1 b2 1 ? .? ? . 2 a 2 a 4

≧c2=a2+b2,?

b ≧双曲线的渐近线方程为 y ? ? x , a

1 ?渐近线方程为 y ? ? x .故选 C. 2

5. 答案:B
5

解析:由 20=30 知,p 为假命题.令 h(x)=x3-1+x2, ≧h(0)=-1<0,h(1)=1>0, ?x3-1+x2=0 在(0,1)内有解. ?? x∈R,x3=1-x2,即命题 q 为真命题.由此可知只有 ? p∧q 为真命题.故选 B. 6. 答案:D

2 1 ? an a1 ?1 ? q n ? a1 ? an q 3 =3-2a ,故选 D. 解析: Sn ? ? ? n 2 1? q 1? q 1? 3
7. 答案:A 解析:当-1≤t<1 时,s=3t,则 s∈[-3,3). 当 1≤t≤3 时,s=4t-t2. ≧该函数的对称轴为 t=2, ?该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减. ?smax=4,smin=3. ?s∈[3,4]. 综上知 s∈[-3,4].故选 A. 8. 答案:C 解析:利用|PF|= xP ? 2 ? 4 2 ,可得 xP= 3 2 . ?yP= ?2 6 .?S△POF= 故选 C. 9. 答案:C
? π? 解析:由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>0,排除 A. ? 2?
1 |OF|·|yP|= 2 3 . 2

当 x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.
6

令 f′(x)=0,得 x ? 故极值点为 x ? 10. 答案:D

2 π. 3

2 π ,可排除 D,故选 C. 3

解析:由 23cos2A+cos 2A=0,得 cos2A=
1 ? π? ≧A∈ ? 0, ? ,?cos A= . 5 ? 2?

1 . 25

13 36 ? b 2 ? 49 ≧cos A= ,?b=5 或 b ? ? (舍). 5 2 ? 6b

故选 D. 11. 答案:A 解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.

V 半圆柱= π×22×4=8π, V 长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为 16+8π.故选 A. 12. 答案:D 解析:可画出|f(x)|的图象如图所示.

1 2

当 a>0 时,y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点,所以排除 B,C; 当 a≤0 时,若 x>0,则|f(x)|≥ax 恒成立. 若 x≤0,则以 y=ax 与 y=|-x2+2x|相切为界限,

? y ? ax, 由? 得 x2-(a+2)x=0. 2 y ? x ? 2 x , ?
≧Δ=(a+2)2=0,?a=-2. ?a∈[-2,0].故选 D.
7

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:≧b·c=0,|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60°,?a·b= 1? 1? ?b·c=[ta+(1-t)b]·b=0, 即 ta·b+(1-t)b2=0.
1 ? t +1-t=0. 2
1 1 ? . 2 2

?t=2. 14.答案:3 解析:画出可行域如图所示.

画出直线 2x-y=0,并平移,当直线经过点 A(3,3)时,z 取最大值,且最大值为 z=2×3-3=3.
9 15.答案: π 2

解析:如图,

设球 O 的半径为 R, 则 AH=
2R , 3

OH=

R . 3

又≧π·EH2=π,?EH=1.
9 ?R? ≧在 Rt△OEH 中,R2= ? ? +12 ,?R2= . 8 ?3?
2

8

?S 球=4πR2= 16.答案: ?

9π . 2

2 5 5

解析:≧f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x-φ), 其中 sin φ=
2 5 5 ,cos φ= . 5 5

π 当 x-φ=2kπ+ (k∈Z)时,f(x)取最大值. 2 π π 即θ-φ=2kπ+ (k∈Z),θ=2kπ+ +φ(k∈Z). 2 2

2 5 ?π ? ?cos θ= cos ? ? ? ? =-sin φ= ? . 5 ?2 ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn= na1 ?
n(n ? 1) d. 2

?3a ? 3d ? 0, 由已知可得 ? 1 ?5a1 ? 10d ? 5,
解得 a1=1,d=-1. 故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知
1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ?, a2 n?1a2 n?1 ?3 ? 2n ??1 ? 2n? 2 ? 2n ? 3 2n ? 1 ?

? ? 1 从而数列 ? ? 的前 n 项和为 a a 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ?
1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?1 1 1 3

n . 1 ? 2n

?

1 1 ? ? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ?

18. 解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y . 由观测结果可得
9

x=

1 (0.6+1.2 +1.2 +1.5+ 1.5+1.8+2.2 +2.3 +2.3 +2.4+2.5 +2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0 20

+3.1+3.2+3.5) =2.3,

y=

1 (0.5+0.5+0.6+0.8+ 0.9+1.1+1.2+1.2+1.3 +1.4+1.6+1.7+1.8+ 1.9+2.1+2.4+2.5 20

+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 结果有 19.

7 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试验 10

7 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10

(1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,
10

所以 OC=OA1= 3 . 又 A1C= 6 ,则 A1C2=OC2+ OA12 , 故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3. 20. 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,

f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)· ? e x ? ? . 2
?

? ?

1?

令 f′(x)=0 得,x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-≦,-2)∪(-ln 2,+≦)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-≦,-2),(-ln 2,+≦)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e-2). 21. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆
x2 y2 (左顶点除外),其方程为 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2.
11

所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得
| 3k | 1? k 2 | QP | R ? , | QM | r1

=1,解得 k= ?

2 . 4

当 k=

x2 y2 2 ?4 ? 6 2 2 时, 将y? 并整理得 7x2+8x-8=0, 解得 x1,2= , x ? 2 代入 ? =1 , 4 3 4 7 4
18 . 7

所以|AB|= 1 ? k 2 |x2-x1|= 当 k= ?

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4
18 . 7

综上,|AB|= 2 3 或|AB|=

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线, 所以 BG=
3 . 2
12

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以 CF⊥BF, 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 23.
3 . 2

? x ? 4 ? 5cos t , 解:(1)将 ? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, y ? 5 ? 5sin t ?
即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.

? x ? ? cos ? , 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. ? y ? ? sin ?
所以 C1 的极坐标方程为

ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 由? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0
? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2, ? , ? 2, ? . 4? ? 2? ?

24. 解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? 3 x ? 6, x ? 1. ? ? ?

其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0.

13

所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

? a 1? (2)当 x∈ ? ? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?
不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.
? a 1? 所以 x≥a-2 对 x∈ ? ? , ? 都成立. ? 2 2?
4 a 故 ? ≥a-2,即 a≤ . 3 2

4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?

14



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