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2014年浙江省高中数学竞赛试题


2014 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 P={1,|a|},Q={2,b2}为全集 U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集,且 CU{P∪Q}={6}, 则下面结论正确的是( A.a=3,b=1 ) B.a=3,b=-1 C.a=-3,b=1 ) D. 3 D.a=-3,b=-1

2.已知复数 z1, z2,且|z1|=2,|z2|=2,|z1+z2|= 7 ,则|z1-z2|的值为( A. 5 B. 7 C.3

3.已知∠A, ∠B, ∠C 为△ABC 的三个内角,命题 P:∠A =∠B;命题 Q:sin∠A =sin∠B, 则﹁P 是﹁Q 的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 4.已知等比数列{an}:a1=5,a4=625,则 ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
2014 k ?1

? log

1 =( 5 ak log 5 ak ?1
2012 4028



A.

2014 2015

B.

2013 2014

C.

D.

2013 4030

1 1 侧视图 1 1

5.已知圆(x+2)2+(y-1)2=1 与圆 x2+(y+1)2=1 关于直线 l 对称,则 l 的方程为( A.x+y+1=0 C.x-y-1=0 B.x-y+1=0 D.x+y-1=0 )
2 正视图 1

6.若某立体的三视图如下,则该立体的体积为( A.1 B.2 C. 2 2
9

D.

2 3

2 俯视图

1? ? 7.若 x∈R ,则 ? x3 ? 1 ? 4 ? 展开式中常数项为( x ? ?
+

A.-1259

B.-1260

C.-1511

D.-1512

8.设[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 3x2-10[x]+3=0 的所有实数根的个数为( A.0 B.1
x?R



C.2

D.3


9.若 a∈R+,b∈R,且 max min {2x+4, ax2+b, 5-3x}=2,则 a+b 的值为(

A.-1

B.1

C.2

D.3


10.已知函数 f(x)=cos(asinx)-sin(bcosx)无零点,则 a2+b2 的取值范围为(

? A. [0, ) 4

B. [0,

?2
2

)

C. [0,

?2
4

)

? D. [0, ) 2

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11.设实数 x,y 满足方程(x+2)2+y2=1,则

y 的最大值为_________. x

12.若平面上四点 A,B,C,D,满足任意三点不共线,且 4 AC ? 2 AB ? AD ,则

S?ABD =___. S?ABC

13.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正四棱柱.已知 AB1 与底面 A1B1C1D1 所成角的正切值为 a, 则二面角 A-B1D1-A1 的正切值为
2014

14. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x∈R, 有 f(x+2)= f(x)+2, 则

? f (k ) =____.
k ?1

15. 设 P 是椭圆 2x2+3y2=1 上的一点, F1,F2 是该椭圆的两个焦点, 且∠F1PF2= 的面积为__________. 16 . 设 f(x) 是定义在 R 上的 函 数 , 满 足 |f(x)+cos2x| ?

? , 则△F1PF2 6

3 1 , |f(x)-sin2x| ? , 则 函 数 4 4

f(x)=___________.
17.有一快递公司承担某地区 13 个城市之间的快递业务,如果每个快递员最多只能承接 4 个城市之间的快递业务, 要使每两个城市之间至少有 1 名快递员, 那么此快递公司最少 需要__________名快递员. 三、解答题(每题 17 分,共 51 分) 18.已知 b,c∈R,二次函数 f(x)= x2+bx+c 在(0,1)上与 x 轴有两个不同的交点,求 c2+(1+b)c 的取值范围.

19.已知 A 为抛物线 y2=2x 上的动点,顶点 B 的坐标为(2,0),以 AB 为直径作圆 C,若圆 C 截直线 l:x+ky-

3 =0 所得的弦长为定值,求此弦长和实数 k 的值. 2

20.设数列{an}定义为 a1=a,an+1=1+

1 ,n≥1, a1 ? a2 ? ??? ? an ? 1

求所有实数 a,使得 0<a1<1,n≥2.

四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分) 21.在 1~100 的 100 个整数中,任意选取三个互不相同的数组成有序三元数 (x,y,z). 求满足方程 x+y=3z+10 的(x,y,z)的个数.

?a 2 ? b 2 ? 3 ? 2 2 22.设正实数 a,b,c 满足 ?a ? b ? ac ? 4 ,求 a,b,c 的值. ? 2 2 ?b ? c ? 3bc ? 7



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