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正弦定理课件.ppt


第一章:解三角形

1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬 ,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢?

(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗 ? B

A
<

br />我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.

1.1.1 正弦定理 2.定理的推导
回忆一下直角三角形的边角关系?
a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗?
B c a

A
b C

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

1.1.1 正弦定理
(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a

b c 同理, 作AE ? BC .有 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

a b 得到 ? sin A sin B

CD ? a sin B, CD ? b sin A 所以 a sin B ? b sin A

B

D

A

c

1.1.1 正弦定理

(2)当 ?ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C

b
a
D

B

c

A

正弦定理:
a b c ? ? sin A sin B sin C

(1)文字叙述 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等. (2)结构特点 和谐美、对称美. (3)方程的观点

正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?

在锐角三角形中 B

两边同取与j的数量积, 得 j ? AC ? CB ? j ? AB j ? AC ? j ? CB ? j ? AB (根据向量的数量积的 定义)

jc
A
于 AC,

a
b

?

?

证明:过点A作单位向量 j垂直
? 90 j与AC的夹角为? ? ? ? ? ? ? ? ? ,

C

j ? AC ? cos90? ? j ? CB ? cos(90? ? C ) ? j ? AB ? cos(90? ? A)

?C j与CB的夹角为? ?90 ? ? ? ? ? ? ? ?,
? ? 90 ?A j与AB的夹角为? ? ???????? .

即a ? sinC ? c ? sin A a c ? ? sin A sinC

同理, 过C点作 j垂直于CB,可得 c b ? ,? 在锐角三角形中 sinC sinB a b c 也有 ? ? sin A sin B sin C

由向量加法的三角形法则
AC ? CB ? AB

在钝角三角形中

设?A ? 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j , 则 j与AB的夹角为
A ? 90?
90? ? C

B

j与CB的夹角为

j
A C

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边,大边对大角

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边,求其他角和边

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
4、一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
5、正弦定理的变形形式

6、正弦定理,可以用来判断三角形的 形状,其主要功能是实现三角形边角关 系的转化

1.1.1 正弦定理
3.定理的应用举例 例1 在
,
?ABC已知

A ? 300 , B ? 1350 , a ? 2

解三角形. 变式:若将a=2 改为c=2,结果如何? 通过例题你发现了什么一般性结论吗?

小结:知道三角形的两个内角和任何一边,利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。

例 2 已知a=16, b= 16 3, A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形 的对角,求其他边和角 a b 解:由正弦定理 ? C
sin A sin B
b sin A 16 3 sin 30 ? 3 ? ? 得 sin B ? a 16 2
16 3
300

16

16

所以B=60°,或B=120° 当 B=60°时
C=90°

A

B

8 3

B

c ? 32 .
a sin C c? ? 16 . sin A

当B=120°时 C=30°

变式: a=30, b=26, A=30°,解三角形
a b 解:由正弦定理 ? sin A sin B b sin A 26 sin 30 ? 13 ? ? 得 sin B ? a 30 30 A
C
26
300

30

B

所以B=25.70, 或B=1800-25.70=154.30
由于154.30 +300>1800 故B只有一解 (如图) C=124.30,
a sin C c? ? 49.57 sin A
13 sin 25.7 ? 30
?

小结:已知两边和其中一边的对角,可以求出 三角形的其他的边和角。

1.1.1 正弦定理
4.基础练习题

(1)在?ABC中,已知 A ? 450 , a ? 2, b ? 2, 求B
B=300

10 3 (2)在?ABC中,已知A ? 60 , a ? 4, b ? , 求B 3
0

无解

1.1.1 正弦定理
5.探究课题引入时问题(2)的解决方法
B

c

A

?

b

?

C

bsinβ AB = sin(α + β)

1.1.1 正弦定理
小结: ? 正弦定理 a b c ? 主要应用 sin A ? sin B ? sin C (1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边 和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解)

课后探究 ( : 1)你还可以用其它方法证明 正弦定理吗?

a b c (2) sin A ? sin B ? sin C ? k 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?

作业:

P10

2

在例 2 中,将已知条件改为以下几种情况,不计算判 断有几组解? C (1) b=20,A=60°,a=20 3 ; (2 ) b=20,A=60°,a=10 3 ; ° (3) b=20,A=60°,a=15.

b
A

· · · · · ·

60°
B

(1) b=20,A=60°,a=20 3 ; 一解

20 A

20√3 60° B C

C

(2) b=20,A=60°,a=10 3 ;
一解 (3) b=20,A=60°,a=15. 无解

20 A 60° B

C
20

A 60°

总结
0 ? A ? 90
? ?

A ? 90?
a ?b C B1 a>b

条件

a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a?b
C C

图形
A D

C A B2
A B

D

C
A D B

A

C AB

解的 个数

无解

一解

两解

一解

无解

一解


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