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人教版高中数学知识点总结:新课标人教A版高中数学选修1-1知识点总结


高中数学选修 1-1 知识点总结

第一章 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题: “若 p ,则 q ” 否命题: “若 ,则 ” 逆否命题: “若 ,则 ” 4、

四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系: 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; 6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式 p ? q ;⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ? p .

?p

?q

逆命题: “若 q ,则 p ”

?q

?p

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

7、⑴全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第二章 圆锥曲线
1、平面内与两个定点 F 1, F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2 )的点的轨迹称为椭圆. 即: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。 这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

范围

? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2 a

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3、平面内与两个定点 F )的点的轨迹称为双曲线.即: 1 ,F 2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F 1F 2

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) 。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 4、双曲线的几何性质: 焦点在 y 轴上 焦点的位置 焦点在 x 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2 a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?
y?? b x a

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
y?? a x b

渐近线方程

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦点, 定直线 l 称为抛物线的准线. 7、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2
e ?1

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

8 、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” ,即

?? ? 2 p .
9、焦半径公式:

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?

第三章 导数及其应用
1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
x ? x0

2、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ?

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

3、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切线的斜率.

4、常见函数的导数公式:
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 5、导数运算法则:

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

?1? ? 2?

? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;
? ? f ?? x? g ? x? ? f ? x? g?? x? ? ? g ? x ?? ?
2

f ? x? ? ? 3? ? ? ? ? g ? x? ?

? g ? x ? ? 0? .

6、根据导数确定函数的单调区间步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域 (2)求出函数的导数

(3)在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 7、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最小的
一个是最小值. 9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。

高中数学选修 1-1 考试题
一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,请从 A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题 意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分。 ) 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2

A. (0,1)

B. (1, 0)

C. (0,

1 ) 16

D. (

1 , 0) 16

2.设 a ? R, 则 a ? 1 是

1 ? 1的 a
B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件

3.命题“若 a2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 都为零”的逆否命题是 A.若 a2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 都不为零 C.若 a , b 都不为零,则 a2 ? b2 ? 0 4.曲线 y ? B.若 a2 ? b2 ? 0 ,则 a , b 不都为零 D.若 a , b 不都为零,则 a2 ? b2 ? 0

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x ? 1 处的切线的倾斜角为 3 ? ? ? 3? A. B. C. D. 3 4 6 4

5.一动圆 P 与圆 A : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 B : ( x ?1)2 ? y 2 ? 64 内切,那么动圆的圆心 P 的轨迹 是 A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.双曲线的一支

6.函数 f ( x) ? ln x ? x 的单调递增区间是 A. (??,1) B. (0,1) C. (0, ??) D. (1, ??)

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7.已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 M 在椭圆上且 MF2 ? x 轴,则 | MF1 | 等于 4 3
3 2 5 2

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A.

1 2

B.

C.

D.3

8.函数 f ( x) ? x 2e? x 在 [1,3] 上的最大值为 A.1 B. e
?1

C. 4e

?2

D. 9e

?3

9.

2 2 设双曲线 x ? y ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( 2 2 a b

).

A. 5 4

B. 5

C.

5 2

D. 5

10.

设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的 ). C. y 2 ? 4 x D. y 2 ? 8 x

面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? ? 8 x

11.

已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和

的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

12. 已知函数

f ( x) 在

R 上可导,且 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ' (2) ,则

f ( ?1) 与 f (1) 的大小

A

f (?1) ? f (1) B

f (?1) ? f (1) C

f (?1) ? f (1) .D 不确定

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题卷上) 13.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则 ? p 为_____ ___。

14.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点 F 到其渐近线的距离为__ 4 5

_________。

15.若函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x2 ? a 2 x 在 x ? 1 处有极小值,则实数 a 等于_________。 16.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上横坐标为 1 的点到顶点的距离与到准线的距离相等,则该抛物线的方 程为______________。 三、解答题(本大题有 4 小题,共 48 分,请叫解答过程写在答题卷上) 17. (本题 10 分) 已知 f ( x ) ?

3x ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程。 x2 ? 1

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18. (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3a x ? 1,
3 2

若 a ? 1, 求函数 f ( x ) 的单调区间;

19.已知,椭圆 C 过点 A (1, 3 ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0),求椭圆 C 的方程.
2

20.

已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ,且点 P(1, 2) 在抛物线上。

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(1)求 p 的值 (2)直线 l 过焦点且与该抛物线交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 10 ,求直线 l 的方程。

高中数学选修 1-1 考试题答案
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.C 2.B 3.D 7.C 8. C 9. D 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. ?x ? R,sin x ? 1 三、解答题(共 48 分) 17. (10 分)
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4.A 10. B

5.A 11. A

6.B 12. B 16. y ? 8x
2

14. 5

15.1(答 1 或-4 扣 2 分)

?3x2 ? 2 x ? 3 解: f '( x) ? ( x2 ? 1)2
1 2

f '(1) ? ? f (1) ? 2

1 2

故切线方程为: y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 18. (14 分)
2 解: (1)当 a ? 1 时, f '( x) ? 3x ? 3

由 f '( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 ,由 f '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) (2)由题 ?x ?[1, 2] ,恒有 x3 ? 3a 2 x ? 1 ? 0

? ?x ?[1, 2], 恒有 3a 2 ?

x3 ? 1 x

x3 ? 1 1 1 令 h( x) ? ? x2 ? , h '( x) ? 2 x ? 2 ? x x x
当 x ? [1, 2] 时, h '( x) ? 0
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1 2( x3 ? ) 2 , 2 x

? h( x) 在 [1, 2] 上单调递增, h( x)min ? h(1) ? 2
2 故 3a ? 2

又a ? 0

?0 ? a ?

6 3
2

x2 y 2 19. (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , 1 ? 9 ? 1 ,解得 b a b 1 ? b 2 4b 2
2 2 所以椭圆方程为 x ? y ? 1 。 4 3

? 3 ,b 2

3 ? ? (舍去) 4

20. (12 分)解: (1)? 点 P(1, 2) 在抛物线 y 2 ? 2 px 上

? 4 ? 2 p, 即 p ? 2
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
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若 l ? x 轴,则 | AB |? 4, 不适合 故设 l : y ? k ( x ?1) ,代入抛物线方程得 k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0

? ? 16k 2 ? 16 ? 0
由 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ?

2(k 2 ? 2) 2 ? 2 ? 10 ,得 k 2 ? 2 3 k
6 ( x ? 1) 3

? 直线 l 的方程为 y ? ?


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