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03(数学) 陕西省西安市西工大附中2016届高三第四次适应性训练-数学理


03

2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 z ? 1 ? i , z 为的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? ( ) A.

2i B. i C. ? i D. ? 2i
3 ) 5 , b ? ( 2 ) 5 , c ? ( 2 ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是( 2.设 a ? ( 5 5 5
2 3 2



A. a ? c ? b C. c ? a ? b

B. a ? b ? c D. b ? c ? a 体的体

3.已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何 积是( ) 4 8 A. B. C.4 D.6 3 3

??? ? ??? ? 4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 OB ?a 4 OA ? a
为该直线外一点) ,则 S2016 等于( A.2016 B.1008 C. 2
2016

??? ? ,且 A, B, C 三点共线( O OC 2 0 1 3

) D. 21008 为样本, 3800, 则

5.为调查高中三年级男生的身高情况,选取了 5000 人作 右图是此次调查中的某一项流程图,若输出的结果是 身高在 170cm 以下的频率为( ) A.0.24 B.0.38 C.0.62 D.0.76 6 . 要 得 到 函 数 y ? cos 2 x 的 图 像 , 只 需 将 函 数 ? y ? sin(2 x ? ) 的图像沿 x 轴( ) 3 ? ? A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 12 6 ? ? C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 12 6 7.若命题 p:所有对数函数都是单调函数,则 P 为( ) A.所有对数函数都不是单调函数 B.所有单调函数都不是对数函数 C.存在一个对数函数不是单调函数 D.存在一个单调函数不是对数函数

x2 y 2 ? 1 的左、右焦点,若 M 为椭圆上一点,且 ?MF1F2 的内切圆 8.已知 F1 , F2 为椭圆 ? 25 16
1

的周长等于 3? ,则满足条件的点 M 有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 9. ( x 2 ? x ? y )5 的展开式中, x5 y 2 的系数为( ) A.60 B.30 C.20 D.10 10.若函数 f ( x) ? x ? a ? x 2 ? 2(a ? 0) 没有零点,则 a 的取值范围为( A. (0,1) B. (0,1) ? ( 2, ??) C. (0, 2) ? (2, ??) D. (0,1) ? (2, ??) ) )

1 11. 已知实数 a , b 满足 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 , 则函数 y ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 有极值的概率 ( 3 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3

12.已知函数 f ( x) ? (2 ? x)ex ? ax ? a ,若不等式 f ( x) ? 0 恰好存在两个正整数解,则实 数 a 的取值范围是( ) 3 ? e ? ? e3 e ? ? e3 ? ? e ? A. ? ? , 0 ? B. ? ? , 0 ? C. ? ? , ? D. ? ? , 2 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 2? ? 4 ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须 作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题卡相应的 位置) 13.若 tan ? ? 2 ,则 sin ? cos ? ? ; 14.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )的图像如图所示,则函数 f ( x) 的 式为 ; 15.已知抛物线 C: y 2 ? 8x 与点 M (?2, 2) ,过 C 的焦点且 ???? ???? 为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k ? 16. 已知 f ( x) 是奇函数, 且当 x ? (0, 2) 时,f ( x) ? ln x ? ax (a ? 的最小值是 1,则 a ? ;

解析

斜 率 ;
1 ) , 当 x ? (?2, 0) 时,f ( x) 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

1 π? ? 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ? ? , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 2 12 ? ? (I)求函数 y ? f ( x) 图像的对称轴方程; (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小正周期和值域.

18. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中, 已知四点 A(12,0) ,B(?4, 0) ,C (0, ?3) , D(?3, ?4) ,把坐标系平面沿 y 轴折为直二面角. (Ⅰ)求证:BC⊥AD; (Ⅱ)求平面 ADO 和平面 ADC 的夹角的余弦值; (Ⅲ)求三棱锥 C—AOD 的体积.

19.(本小题满分 12 分)有一个小型慰问演出队,其中有 2 人会唱歌,有 5 人会跳舞,现 7 从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P (? ? 0) ? . 10 (Ⅰ)求该演出队的总人数; (Ⅱ)求 ? 的分布列并计算 E? .

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 4 ???? ???? ? 5 (I)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点, PF1 ?PF2 ? ? ,求点 P 的坐标; 4 (II)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且 ?AOB 为锐角(其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 已知 F1 、 F2 分别是椭圆

3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x ln x 和直线 l : y ? m( x ? 1) . x ?1

(Ⅰ)当曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l 垂直时,求原点 O 到直线 l 的距离; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [1, ? ?), f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证: ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1 n

i . ( n ? N? ) . 4i 2 ? 1

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做 答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 OA= 3 CE,求∠ACB 的大小.

23.本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 在极坐标系 ox 中,P 为曲线 C1 : ? ? 2cos? 上的任意一点,点 Q 在射线 OP 上,且 满足 | OP | ? | OQ |? 6 ,记 Q 点的轨迹为 C2 . (Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; ? (Ⅱ)设直线 l : ? ? 分别交 C1 与 C2 交于 A、B 两点,求 | AB | . 3 24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 (Ⅰ)已知 c ? 0 ,关于 x 的不等式: x ? x ? 2c ? 2 的解集为 R.求实数 c 的取值范围; (Ⅱ)若 c 的最小值为 m ,又 p、 q、 r 是正实数,且满足 p+q+r=3m,求证:p2+q2+ r2≥3.

数 学(理科)参考答案
一.选择题: CADBA ACCBD BA 二.填空题: 5 2 13. 5 14. f ( x) ? 2sin(11 15. 2 16. 1 6 x ? 6?) 三.解答题: 17.(本小题满分 12 分) 1 π π [解析](I)由题设知 f ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] .令 2 x ? ? kπ , 2 6 6

4

kπ π ? ( k ?Z ) . 2 12 1? π ?? 1 ? (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x 2? 6 ?? 2 ?

所以函数 y ? f ( x) 图像对称轴的方程为 x ?

?

? 3 1 ? 1? ? π? ? 3 1? 3 1 π? 3 cos 2 x ? ? sin 2 x ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 6? 2 3? 2 ? 2 2? 2 ? 2 2 ?

所以,最小正周期是 T ? ? ,值域 [1, 2] 4 18.(本小题满分 12 分). (2) 5 ,(3)18 19. (本小题满分 12 分)[解析]:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有 (7 ? x) 人,那么只会一项的人数是 (7 ? 2 x) 人. 7 (1)? P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 0) ? 10 ,
2 C7 3 ?2 x ? , 2 C7? x 10 (7 ? 2 x)(6 ? 2 x) 3 ? ? x ? 2. ∴ 故文娱队共有 5 人 (7 ? x)(6 ? x) 10 1 1 2 C2 ? C3 C2 3 3 1 (2) P(? ? 0) ? 10 , P(? ? 1) ? ? 5 , P(? ? 2) ? 2 ? 10 C52 C5 ? 的分布列为 3 3 1 4 ∴ E? ? 0 ? 10 ? 1? 5 ? 2 ? 10 ?5 ? 0 1 2

3 ∴ P(? ? 0) ? 10 ,即

P

3 10

3 5

1 10

20. (本小题满分 12 分) [解析](I)因为椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1,知 a ? 2, b ?1 , c ? 3 ,? F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) , 4

设 P( x, y)( x ? 0, y ? 0) , ???? ???? ? 5 则 PF1 ?PF2 ? (? 3 ? x, ? y )?( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? , 4 7 ? 2 x ? y2 ? ? x ?1 ? x2 ? 1 2 ? x 3 ? 4 ? ? 2 又 ? y ? 1,联立 ? 2 ,解得 ? 2 3 ? ? ,? P (1, ) 3 4 2 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? ? 4 (II)显然 x ? 0 不满足题意,可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? x2 12 16k ? ? y2 ? 1 , x1 ? x2 ? ? 联立 ? 4 , ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? y ? kx ? 2 ? 3 且△ ? (16k ) 2 ? 4(1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0,? k 2 ? 4
5

??? ? ??? ? 又 ?AOB 为锐角,?OA ? OB ? 0 ,? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,? x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 ,
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 ) 12 16k 4(4 ? k 2 ) ? 2 k ( ? ) ? 4 ? ?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 3 3 3 3 ? k 2 ? 4, 又? k 2 ? ,? ? k 2 ? 4 , ? k ? (?2, ? ) ? ( , 2) 4 4 2 2
x ? 1 ? ln x ( x ? 1) 2

21.(本小题满分 12 分) [解析](Ⅰ) f ?( x) ?
2

∴ f ?(1) ? 1 ,于是 m ? ?2 原点 O 到直线 l 的距离为
2 5 5

, 直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ……3 分

(Ⅱ) f ( x) ? x ln x , ?x ?[1, ??), f ( x) ? m( x ? 1), 即ln x ? m( x ? 1 ) ,
x ?1 x

设 g ( x) ? ln x ? m( x ? 1 ) ,即 ?x ?[1, ??), g ( x) ? 0 x 1 1 ?mx2 ? x ? m g ?( x) ? ? m(1 ? 2 ) ? x x x2 ①若 m ? 0 ,存在 x 使 g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾 ②若 m ? 0 ,方程 ?mx2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m2 , 当 ? ? 0 ,即 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,
2

∴ g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式成立 当 0 ? m ? 1 时,方程 ?mx2 ? x ? m ? 0 ,设两根为 x1 , x2 ,
2
( x1 ? x2 ) x1 ? 1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 ? (0,1), x2 ? ? (1, ??) 2m 2m

当 x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 与题设矛盾,综上所述, m ? 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 1 时, ln x ? 1 ( x ? 1 ) 成立.
2 2 x

2

不妨令 x ? 2k ? 1 ,(k ? N? ) ,

2k ? 1 k 所以 2k ? 1 ? 1 ( 2k ? 1 ? 2k ? 1 ) ? 4 , 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 2 ? 1 1 4k [ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1)] ? 2 ,(k ? N? ) 4 4k ? 1
6

1 ?1 ? 4 (ln 3 ? ln1) ? 4 ? 12 ? 1 ? 2 ?1 ? (ln 5 ? ln 3) ? 2 4 4 ? 2 ?1 ? n ?1 (ln(2n ? 1) ? ln(2n ? 1)) ? 2 ? 4 4 ? n ?1 ? n 1 i ln(2n ? 1) ? ? 2 (n ? N? ) . 4 i ?1 4i ? 1
ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1 n

累加可得

i 4i ? 1
2

(n ? N? )

22.【解析】 (1)连接 OE, OD ,可证 ?OAD ? ?OED,??OED ? ?OAD ? RT ? , 所以 DE 是圆 O 的切线. (2) ?ACB ? 60? 23. 【解析】 (1) ? cos? ? 3 (2) AB ? 5 24. 【解析】 (I)不等式 x? | x ? 2c |? 2的解集为R ? 函数y ? x? | x ? 2c | 在 R上恒大于或等于2 ,
?2 x ? 2c, x ? 2c, ? x? | x ? 2c |? ? x ? 2c, ?2c,



?函数y ? x? | x ? 2c |



在R上的最小值为2c



? 2c ? 2 ? c ? 1.

所以,实数 c 的取值范围为 ?1 , +?? .

(Ⅱ) 由(1)知 p+q+r=3, 又 p, q, r 是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1 +q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即 p2+q2+r2≥3.当且仅当 p ? q ? r ? 1等号成立。
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