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高中数学-公式-椭圆


椭圆
Ⅰ 定义与推论 1、定义 1 的的认知: 设 M 为椭圆上任意一点,F1、F2 分别为椭圆两焦点,A1、A2 分别为椭圆长轴端点, 则有(1)明朗的等量关系: MF 1 ? MF2 ? 2a (解决双焦点半径问题的首选公式) (2)隐蔽的不等关系: MA 1 ? MA2 ? 2a , MF 1 ? MF 2 ? 2c 2、定义 2 的推论:

x2 y2 根据椭圆第二定义,设 M ( x0 , y0 ) 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 。上任意一点,F1、F2 分别为椭圆左、 a b
右焦点,则有: (d1 为点 M 到左准线 l1 的距离); 由此导出椭圆的焦点半径公式: Ⅱ 标准方程与几何性质 1、椭圆的标准方程 中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆标准方程 中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆标准方程 (1)标准方程①、②中的 a、b、c 具有相同的意义与相同的联系: (2)标准方程①、②统一形式: 2、椭圆 的几何性质 , (d2 为点 M 到右准线 l2 的距离)

① ②

(1)范围: (有界曲线) (2)对称性:关于 x 轴、y 轴及原点对称(两轴一中心,椭圆的共性) (3)顶点与轴长:顶点 (4)离心率: (5)准线:左焦点 刻画椭圆的扁平程度 对应的左准线 ; 右焦点 ; . 对应的右准线 ,长轴 2a,短轴 2b(由此赋予 a、b 名称与几何意义)

(6)椭圆共性:两准线垂直于长轴;两准线之间的距离为 中心到准线的距离为 Ⅲ 挖掘与引申 1、具特殊联系的椭圆的方程 (1)共焦距的椭圆的方程 (2)同离心率的椭圆的方程 2、弦长公式:

;焦点到相应准线的距离为

,且 ,且

设斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于不同两点 或 。

,则



x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 。 和 a2 b2 a2 b2 c x2 y2 a2 2、椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点坐标是 (?c, ,离心率是 e ? ,通径的长是 0) ,准线方程是 x ? ? a c a b
1、椭圆标准方程的两种形式是:

2b 2 2 2 2 。其中 c ? a ? b 。 a
2 2 x2 y2 ? 2 ? 1 的通径(最短弦)为 2b ,焦准距为 p ? b . 2 a b c a 2 2 x y 4、若点 P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, F1、F2 是其左、右焦点,则点 P 的焦半径的长是 a b PF1 ? a ? ex0 和 PF2 ? a ? ex0 。(椭圆焦半径公式)

3、椭圆

2 2 5、过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0)左焦点的焦点弦为 AB,则 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ,过右焦点的弦 a b AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ;

2 2 6、处理椭圆的弦中点问题常用代点相减法,设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0)上不同的两点, a b b2 M(x0,y0)是 AB 的中点,则 KABKOM= ? 2 。 a


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