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2015海淀区高三二模数学(文)试题及答案


海淀区高三年级第二学期期末练习


作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

学(文)

2015.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小

题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)在复平面内,复数 i2 (1 ? i) 对应的点位于( (A)第一象限 (B)第二象限 ) (C)第三象限 ) (D)第四象限

(2)已知命题 p : ?x ? 0, x ?

1 ? 2 ,则 ? p 为( x

(A) ? x ? 0, x ?

1 ?2 x 1 ?2 x

(B) ? x ? 0, x ?

1 ?2 x 1 ?2 x

(C) ? x ? 0, x ?

(D) ? x ? 0, x ?

(3)圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 的圆心坐标及半径分别是( (A) (?2,1), 2 (B) (2,1), 2 (C) (?2,1), 2

) (D) (2, ?1), 2

(4)右图表示的是求首项为 ?41 ,公差为 2 的等 差数列 {an } 前 n 项和的最小值的程序框图.则 ①处可填写( )

(A) S ? 0 (C) a ? 0

(B) S ? 0 (D) a ? 0

(5)已知点 A(a, a)(a ? 0) , B(1, 0) , O 为坐标原点.若点 C 在直线 OA 上,且 BC 与 OA 垂直,则 点 C 的坐标是( (A) ( , ? ) ) (B) ( , ? )

1 2

1 2

a 2

a 2

(C) ( ,

a a ) 2 2


(D) ( , )

1 1 2 2

(6)在 ?ABC 中,若 a ? 3, c ?

3, ?A ?

? ,则 b ? ( 3

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(A) 4

(B) 6

(C) 2 3 ) (C) c ? b ? a

(D) 6

(7)设 a ? 0.23 , b ? log2 0.3, c ? log0.3 2 ,则( (A) b ? a ? c (B) b ? c ? a

(D) a ? b ? c

? x ? y ? 4, ? (8)已知不等式组 ? x ? y ? ?2, 表示的平面区域为 D ,点 O(0, 0), A(1, 0) .若点 M 是 D 上的动点, ?x ? 2 ? uur uuur OA ? OM 则 uuur 的最小值是( ) OM
(A)

2 2

(B)

5 5

(C)

10 10

(D)

3 10 10

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)以坐标原点为顶点, (?1, 0) 为焦点的抛物线的方程为 . . .

* (10)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an ? 0 (n ? N ) , an an ?1 ? Sn ,则 a3 ? a1 ?

(11)已知 f ( x) ? cos x ? ln x , f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? 0( x0 ? x1 ) ,则 x0 ? x1 的最小值是 (12)满足 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? 的 ? , ? 的一组值是 (13)函数 f ( x) ? x e 的极值点 x0 ?
3 x

.(写出一组值即可) .

,曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程是

(14)某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器 A, B 的信息: ①316 人使用 A ; ②478 人使用 B ; ③104 人同时使用 A 和 B ; ④567 人只使用 A, B 中的一种网络浏览器. 则这条信息为 (填“真”或“假” ) ,理由是 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin x ? cos 2 x . (Ⅰ )求 f ( ) ; (Ⅱ )求函数 f ( x ) 的最小值.

π 6

(16) (本小题满分 13 分) 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况,随机抽取男、女生各 20 名进行测试,记录的数据如下:
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男生投掷距离(单位:米) 9 7 7 8 7 6 6 6 8 5 5 3 0 7 3 1 1 2 2 0 已知该项目评分标准为: 男生投 掷距离 (米) 女生投 掷距离 (米) ? 5. 6. 7. 8. 9. 10.

女生投掷距离(单位:米) 4 6 4 5 5 6 6 6 9 0 0 2 4 4 5 5 5 5 8 1

[5.4, 6.0)

[6.0, 6.6)

[6.6, 7.4)

[7.4, 7.8)

[7.8,8.6)

[8.6,10.0)

[10.0, ??)

?

[5.1,5.4)

[5.4,5.6)

[5.6, 6.4)

[6.4, 6.8)

[6.8, 7.2)

[7.2, 7.6)

[7.6, ??) ~

个人得 ? 分 (分)

4

5

6

7

8

9

10

(Ⅰ)求上述 20 名女生得分 的中位数和众数; .. (Ⅱ)从上述 20 名男生中,有 6 人的投掷距离低于 7.0 米,现从这 6 名男生中随机抽取 2 名男生,求抽取的 2 名男 生得分都是 4 分的概率; (Ⅲ)根据以上样本数据和你所学的统计知识,试估计该年级学生实心球项目的整体情况.(写出两个结论即可)

(17) (本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,又 AD / / BC , AD ? DC , 且 PD ? BC ? 3 AD ? 3 . (Ⅰ)画出四棱准 P ? ABCD 的正视图; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求证:棱 PB 上存在一点 E ,使得 AE / / 平面 PCD ,并求

PE 的值. EB

P

D C

A B

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(18) (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,又数列 {bn } 满足 bn ? 2 log2 an , Sn 是数列 {bn } 的前 n 项和. (Ⅰ )求 Sn ; (Ⅱ )若对任意的 n ? N * ,都有

Sn Sk ? 成立,求正整数 k 的值. an ak

(19) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 2 ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若对任意的 x1 ?[1,e] ,总存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,求实数 a 值.

(20) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 ,点 D 为椭圆 C 的左顶点. 对于正常数 ? ,如果存在过点 M ( x0 ,0) (?2 ? x0 ? 2) 的直线 l 4

与椭圆 C 交于 A, B 两点,使得 S?AOB ? ? S?AOD ,则称点 M 为椭圆 C 的“ ? 分点”.

( 1,0) (Ⅰ)判断点 M 是否为椭圆 C 的“ 1 分点” ,并说明理由;
( 1, 0) (Ⅱ)证明:点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点” ;
(Ⅲ)如果点 M 为椭圆 C 的“ 2 分点” ,写出 x0 的取值范围. (直接写出结果)

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海淀区高三年级第二学期期末练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)D (6)C (3)A (7)B (4)C (8)C

2015.5

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) y 2 ? ?4x (10)1 (11)

? ?1 2

? ? ?? , ? ? 2 (12) ? ?? ? ? ? . ? ? 4

(13) ?3 , y ? ?27e

?3

(14)假,由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是 212+374=586,这与④矛盾

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

π π π 1 1 3 ? cos ? 4 ? ? ? . 6 6 3 2 2 2 (Ⅱ )因为 f ( x) ? 4sin x ? cos 2 x
解: (Ⅰ ) f ( ) ? 4sin

??????4 分

??????6 分 ? 4sin x ? (1 ? 2sin 2 x) 2 ? 2sin x ? 4sin x ? 1 ??????8 分 ? 2(sin x ? 1)2 ? 3 . 因为 ?1 ? sin x ? 1 , ? 所以 当 sin x ? ?1 ,即 x ? 2k ? ? , k ? Z 时, f ( x ) 取得最小值 ?3 . 2 ??????13 分 (16) (共 13 分) 解.(Ⅰ) 20 名女生掷实心球得分如下:5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10.所以 中位数为 8,众数为 9. ??????4 分

(Ⅱ) 由题意可知, 掷距离低于 7.0 米的男生的得分如下: 4, 4, 4, 6, 6, 6.这 6 名男生分别记为 A 1, A 2, A 3, B 1 , B2 , B3 . 从 这 6 名 男 生 中 随 机 抽 取 2 名 男 生 , 所 有 可 能 的 结 果 有 15 种 , 它 们 是 : ,

( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, B3 ),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , B3 )

( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , B3 ),( B1, B2 ),( B1, B3 ),( B2 , B3 ) .

??????6 分

用 C 表示“抽取的 2 名男生得分均为 4 分”这一事件,则 C 中的结果有 3 个,它们是:

( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A2 , A3 ) .

??????8 分
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所以,所求得概率 P (C ) ? (Ⅲ)略.

3 1 ? . 15 5

??????9 分 ??????13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可; 也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.

(17) (共 14 分) (Ⅰ)解:四棱准 P ? ABCD 的正视图如图所示.

??????3 分 (Ⅱ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD . ??????5 分 因为 AD ? DC , PD CD ? D , PD ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AD ? 平面 PCD . 因为 AD ? 平面 PAD , 所以 平面 PAD ? 平面 PCD . ??????7 分 ??????8 分

(Ⅲ)分别延长 CD, BA 交于点 O ,连接 PO ,在棱 PB 上取一点 E ,使得

PE 1 ? .下证 AE / / 平面 PCD . EB 2
??????10 分

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因为 AD / / BC , BC ? 3 AD ,

OA AD 1 OA 1 ? ? ,即 ? . OB BC 3 AB 2 OA PE ? 所以 . AB EB 所以 AE //OP . ??????12 分 因为 OP ? 平面 PCD , AE ? 平面 PCD ,
所以 所以 AE / / 平面 PCD . ??????14 分

P

E

O D C A B

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . 所以 bn ? 2log2 an ? 2log2 2 ? 2n .
n

??????2 分 ??????3 分 ??????6 分

所以 S n ? 2 ? 4 ? (Ⅱ)令 cn ?

+2n ?

n(2 ? 2n) ? n2 ? n . 2

Sn n2 ? n n(n ? 1) . ? ? an 2n 2n
Sn?1 Sn (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(2 ? n) . ??????9 分 ? ? ? ? an?1 an 2n?1 2n 2n ?1

则 cn ?1 ? cn ?

所以 当 n ? 1 时, c1 ? c2 ; 当 n ? 2 时, c3 ? c2 ; 当 n ? 3 时, cn?1 ? cn ? 0 ,即 c3 ? c4 ? c5 ? 所以 数列 {cn } 中最大项为 c 2 和 c3 . 所以 存在 k ? 2 或 3 ,使得对任意的正整数 n ,都有 (19) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ? .

Sk Sn ? . ak an

??????13 分

a a?x ?1 ? , x ? 0. x x

??????2 分

当 a ? 0 时,对 ?x ? (0, ??) , f '( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, ??) ; ??????4 分 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? a . 因为 x ? (0, a) 时, f '( x) ? 0 ; x ? (a, ??) 时, f '( x) ? 0 .
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所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, a ) ,单调递减区间为 (a, ??) .

??????6 分

(Ⅱ)用 f ( x)max , f ( x)min 分别表示函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最大值,最小值. 当 a ? 1 且 a ? 0 时,由(Ⅰ)知:在 [1, e] 上, f ( x ) 是减函数. 所以 f ( x)max ? f (1) ? 1 . 因为 对任意的 x1 ?[1,e] , x2 ? [1, e] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (1) ? 2 ? 4 , 所以对任意的 x1 ?[1,e] ,不存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 . ??????8 分

当 1 ? a ? e 时,由(Ⅰ)知:在 [1, a] 上, f ( x ) 是增函数,在 [ a, e] 上, f ( x ) 是减函数. 所以 f ( x)max ? f (a) ? a ln a ? a ? 2 . 因为 对 x1 ? 1 , ?x2 ?[1,e] ,

f (1) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (a) ? 1 ? a ln a ? a ? 2 ? a(ln a ?1) ? 3 ? 3 ,
所以 对 x1 ? 1?[1,e] ,不存在 x2 ? [1,e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 . 当 a ? e 时,令 g ( x) ? 4 ? f ( x)( x ?[1,e]) . 由(Ⅰ)知:在 [1, e] 上, f ( x ) 是增函数,进而知 g ( x) 是减函数. 所以 f ( x)min ? f (1) ? 1 , f ( x)max ? f (e) ? a ? e ? 2 , ??????10 分

g ( x)max ? g (1) ? 4 ? f (1) , g ( x)min ? g (e) ? 4 ? f (e) .
因为 对任意的 x1 ?[1,e] ,总存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,即 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 ?

? f (1) ? g (e), ? f (1) ? f (e) ? 4, 即? ? f (e) ? g (1), ? f (e) ? f (1) ? 4.
??????13 分

所以 f (1) ? f (e) ? a ? e ? 3 ? 4 ,解得 a ? e ? 1 . 综上所述,实数 a 的值为 e ? 1 . (20) (共 14 分)

( 1, 0) (Ⅰ)解:点 M 是椭圆 C 的“ 1 分点” ,理由如下:
当直线 l 的方程为 x ? 1 时,由

??????1 分

3 3 1 ? y 2 ? 1 可得 A(1, ), B(1, ? ) .(不妨假设点 A 在 x 轴的上方) 4 2 2

所以 S?AOB =

1 3 1 3 3 , S?AOD = ? 2 ? . ?1? 3= = 2 2 2 2 2
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( 1, 0) 所以 S?AOB ? S?AOD ,即点 M 是椭圆 C 的“ 1 分点”.

??????4 分

(Ⅱ) 证明: 假设点 M 为椭圆 C 的 “ 2 分点” , 则存在过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 使得 S?AOB ? 2S?AOD . 显然直线 l 不与 y 轴垂直,设 l : x ? my ? 1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 由? 4 得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 1 ?
所以 y1 ? y2 ?

?2 m , ① m2 ? 4

y1 y2 ?

?3 . ② m ?4
2

??????6 分

因为 S?AOB ? 2S?AOD , 所以

1 1 (| y1 | ? | y2 |) ? 2 ? ? 2 | y1 | ,即 | y2 |? 3| y1 | . 2 2

??????8 分

由②可知 y1 y2 ? 0 ,所以 y2 ? ?3y1 . ③

m , ④ m ?4 1 2 将③代入②中得 y1 ? 2 , ⑤ m ?4
将③代入①中得 y1 ?
2

将④代入⑤中得

m2 ? 1 ,无解. m2 ? 4
??????10 分 ??????14 分

( 1, 0) 所以 点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点”.
(Ⅲ) x0 的取值范围为 (?2, ?1)

(1, 2) .

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