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5、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积


1.3

空间几何体的表面积和体积

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积

北京奥运会结束后,国家对体育场馆都进行了改造,从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健 身的综合性体育场馆,国家游泳中心也完成了上述变身,新增了内部开放面积,并建成了大型的 水上乐园.经营方出于多种考虑,近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告,但出于长远考 虑,决定为水立方外墙订制特殊显示屏,届时“水立方”将重新焕发活力,大放异彩.

问题 1:能否计算出水立方外墙所用显示屏的面积? 提示:可以,即计算水立方的外表面面积(除去底面). 问题 2:能否计算水立方内部的空间大小? 提示:可以,即计算其容积.

几种几何体的表面积公式

图形

表面积公式

多面体

多面体的表面积就是各个面的面积的 和,也就是展开图的面积

旋 转 体

圆 柱

底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πrl+2πr2

-1-

圆 锥

底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=πrl 表面积:S=πrl+πr2 上底面面积:S 上底=πr′2

圆 台

下底面面积:S 下底=πr2 侧面积:S 侧=πl(r+r′) 表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)

柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

其中 S′、S 分别为上、下底面面积,h 为高.

[例 1] (2011· 北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(

)

A.32 C.48

B.16+16 2 D.16+32 2

[思路点拨] 由三视图可知,该几何体底面是边长为 4 的正方形,正视图与侧视图为相同的
-2-

等腰三角形.可知几何体为正四棱锥(底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形中心),故其四 个侧面为全等的等腰三角形,其表面积为 S 侧+S 底两部分. [精解详析] 由三视图知原几何体是一个底面边长为 4,高是 2 的正四棱锥.如图: ∵AO=2,OB=2, ∴AB=2 2. 1 又∵S 侧=4× ×4×2 2=16 2, 2 S 底=4×4=16, ∴S 表=S 侧+S 底=16+16 2. [答案] B [一点通] 求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台,再通过这些 基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积,另外有时也会用到将几何 体展开求其展开图的面积进而得表面积.

1.圆锥的母线长为 5,底面半径为 3,则其表面积等于( A.20π C.24π B.15π D.30π

)

解析:圆锥的侧面展开图为扇形,S 侧=πrl=π×3×5=15π,S 底=π×32=9π. ∴S 表=S 侧+S 底=24π. 答案:C 2.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( )

A.72 C.60

B.66 D.30

解析:由三视图知,该几何体为三棱柱,底面为边长为 3,4,5 的直角三角形,三个侧面均为 矩形,长都为 5,故 S 侧=5(3+4+5)=60,
-3-

1 S 底=2× ×3×4=12,故 S 表=S 侧+S 底=72. 2 答案:A

[例 2] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,侧面是全 等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积. [思路点拨] 欲求棱台的高和体积,根据题目中给出的侧面面积和上、下底面面积的关系, 可列等式求得侧面斜高,进而求出棱台的高和体积. [精解详析] 如图所示,在三棱台 ABCA′B′C′中,O′,O 分别为上、下 的中心,D,D′分别是 BC,B′C′的中心,则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高, 1 所以,S 侧=3× ×(20+30)×DD′ 2 =75DD′. 又 A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为 S 上+S 下= 3 ×(202+302)=325 3(cm2). 4 底 面

由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3, 13 所以,DD′= 3(cm), 3 又∵O′D′= OD= 3 10 3 ×20= (cm), 6 3

3 ×30=5 3(cm), 6

∴棱台的高 h=O′O= D′D2-?OD-O′D′?2 = 13 3 2 10 3 2 ? ? -?5 3- ? 3 3

=4 3(cm), 由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 h V= (S 上+S 下+ S上S下) 3

-4-



4 3 3 ×(325 3+ ×20×30) 3 4

=1 900(cm3). [一点通] 求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时),准确求 出几何体的高和底面积;同时,对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为 柱、锥、台体的体积计算问题.

3.如图是圆锥的三视图,则该圆锥的体积是________.

1 1 解析:由几何体的三视图知该几何体为圆锥,高为 3,底面半径为 1,则 V 圆锥= S 底 h= π·3 3 3 =π. 答案:π 4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( 1 A. 3 C.1 2 B. 3 D.2 )

解析:由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,三棱柱的底面直角三 1 角形的直角边长分别为 1 和 2,三棱柱的高为 2,故该几何体的体积为 V=( × 2×1)× 2= 2 1. 答案:C

[例 3] (12 分)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° , a,BC=2a,∠DCB=60° ,在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB,以 l 旋转一周.求旋转体的表面积和体积.

AD = 为 轴

-5-

[思路点拨] 旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的部分. [精解详析] 如图,在梯形 ABCD 中,∠ABC=90° , AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60° , BC-AD ∴CD= =2a,AB=CDsin 60° = 3a. cos 60° ∴DD′=AA′-2AD=2BC-2AD=2a. 1 ∴DO= DD′=a.? 2 (2 分)

由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的 圆锥.? (4 分)

由上述计算知,圆柱母线长 3a,底面半径 2a,圆锥的母线长 2a,底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1=2π·2a· 3a=4 3πa2, 圆锥的侧面积 S2=π·a· 2a=2πa2, 圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2, 圆锥的底面积 S4=πa2,? ∴组合体上底面积 S5=S3-S4=3πa2, ∴旋转体的表面积 S=S1+S2+S3+S5=(4 3+9)πa2.? (8 分) (6 分)

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积. V 柱=Sh=π· (2a)2· 3a=4 3πa3. 1 1 3 V 锥= S′h= · π· a2· 3a= πa3. 3 3 3 ∴V=V 柱-V 锥=4 3πa3- 3 3 11 3 3 πa = πa .? 3 3 (12 分)

[一点通] 求组合体的表面积与体积的关键,是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组 合形式.

5.(2011· 日照模拟)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视 图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是________.

-6-

解析:该几何体为圆锥沿轴截面分开后的部分,底面圆半径为 1,易求圆锥的高为 3,故几 11 3π 何体体积 V= · ·π 3= . 23 6 答案: 3π 6 )

6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(

352 A. cm3 3 224 C. cm3 3

320 B. cm3 3 160 D. cm3 3

解析:该空间几何体的上部是底面边长为 4 cm,高为 2 cm 的正四棱柱,其体积为 4×4×2 1 =32(cm3);下部是上,下底面边长分别为 4 cm,8 cm,高为 2 cm 的正四棱台,其体积为 ×(16+ 3 224 224 320 4×8+64)×2= (cm3).故所求几何体的体积为 32+ = (cm3). 3 3 3 答案:B

S小锥底 S小锥表 S小锥侧 1.棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中,有如下比例性质: = = =对应 S大锥底 S大锥表 S大锥侧 线段(如高、斜高、底面边长)的平方之比. 2.求组合体的表面积或体积的问题,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各 个面应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组 成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.

-7-

1.若长方体的长、宽、高分别为 3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为( A.27 cm3 C.64 cm3 B.60 cm3 D.125 cm3

)

解析:长方体即为四棱柱,其体积为底面积×高即为 3×4×5=60 cm3. 答案:B 2.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( A.1∶2 C.1∶ 5 B.1∶ 3 D. 3∶2 )

解析:设圆锥底面半径为 r,则高 h=2r, ∴其母线长 l= 5r. ∴S 侧=πrl= 5πr2,S 底=πr2. 答案:C 1 3.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何体的俯视 2 图可以是( )

解析:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是边长为 1 的正方形,那么此几何体是正方 1 体,显然体积为 1,注意到题目要求体积是 ,知其是正方体的一半,可知选 C. 2 答案:C 4.(2011· 兖州高一检测)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图 所示,则其侧面积等于( A. 3 C.2 3 ) B .2 D.6 如 图

解析:由正视图知,其侧面的底边长为 2,高为 1,故侧面积 S=2×1×3=6. 答案:D 5.若圆锥的侧面展开图为一个半径为 2 的半圆,则圆锥的体积是________.
-8-

1 解析:易知圆锥的母线长为 2,设圆锥的半径为 r,则 2πr= ×2π·2, 2 ∴r=1,则高 h= l2-r2= 3. 1 1 3 ∴V 圆锥= πr2·h= π× 3= π. 3 3 3 答案: 3 π 3

6. 如图, 一个几何体的正视图与侧视图都是边长为 2 的正方形, 其俯视图是直径为 2 的圆, 则该几何体的表面积为________.

解析:由三视图可知该几何体为圆柱,底面半径为 1,高为 2,所以该几何体的表面积为 S =2×π×12+2π×1×2=6π. 答案:6π 7.一个正三棱柱的三视图如图所示(单位:cm),求这个正三棱 表面积与体积. 解:由三视图知直观图如图所示,则高 AA′=2 cm,底面高 B′D′=2 3 cm, 柱 的

所以底面边长 A′B′=2 3×

2 =4 cm. 3

1 一个底面的面积为 ×2 3×4=4 3 cm2. 2 所以 S 表面积=2×4 3+4×2×3=(24+8 3) cm2, V=4 3×2=8 3 cm3. 所以表面积为(24+8 3) cm2,体积为 8 3 cm3.
-9-

8.如图所示,已知六棱锥 P-ABCDEF,其中底面 ABCDEF 是正 形,点 P 在底面的投影是正六边形的中心,底面边长为 2 cm,侧棱长 cm,求六棱锥 P-ABCDEF 的表面积和体积. 解:S 六边形 ABCDEF=6S△OBC 1 =6× ×2×2sin 60° =6 3(cm2). 2 1 S 侧=6S△PCD=6× ×2× 2 CD PC2-? ?2=6 32-12=12 2 (cm2). 2

六 边 为 3

∴S 表=S 六边形 ABCDEF+S 侧=(6 3+12 2)(cm2). 在 Rt△POC 中,PO= PC2-OC2= PC2-BC2= 9-4= 5, 1 ∴VP-ABCDEF= S 六边形 ABCDEF· PO 3 1 = ×6 3× 5=2 15(cm3). 3

- 10 -



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