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【学案导学设计】高中数学(人教A版,必修五)作业:3 章末检测(B)


第三章

章末检测(B)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a<0,-1<b<0,则有( ) A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a 1 1 2

.已知 x>1,y>1,且 ln x, ,ln y 成等比数列,则 xy( ) 4 4 A.有最大值 e B.有最大值 e C.有最小值 e D.有最小值 e 3.设 M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则( ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 2 2 4.不等式 x -ax-12a <0(其中 a<0)的解集为( ) A.(-3a,4a) B.(4a,-3a) C.(-3,4) D.(2a,6a) 5.已知 a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( ) 1 1 A.a2>b2 B.( )a<( )b 2 2 a C.lg(a-b)>0 D. >1 b 1 6.当 x>1 时,不等式 x+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x-1 A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3] ? x≤0 ?x+2, 7.已知函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)≥x2 的解集是( ? ?-x+2, x>0 A.[-1,1] B.[-2,2] C.[-2,1] D.[-1,2] 8.若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式中恒成立的是( ) 1 1 1 1 A. > B. + ≤1 ab 2 a b 1 1 C. ab≥2 D. 2 ≤ a +b2 8 x-y≥0, ? ? 9.设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤2, ? ?y+2≥0,

)

)

则目标函数 z=|x+3y|的最大值为(

)

A.4 B.6 C.8 D.10 10.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑 步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( ) A.甲先到教室 B.乙先到教室 C.两人同时到教室 D.谁先到教室不确定

1 ??1 ?? 1 ? 11.设 M=? ?a-1??b-1??c-1?,且 a+b+c=1 (其中 a,b,c 为正实数),则 M 的取值范围是( 1? A.? ?0,8? C.[1,8)
2

)

1 ? B.? ?8,1?

D.[8,+∞) 1 12.函数 f(x)=x -2x+ 2 ,x∈(0,3),则( ) x -2x+1 7 A.f(x)有最大值 B.f(x)有最小值-1 4 C.f(x)有最大值 1 D.f(x)有最小值 1 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 答 案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) t2-4t+1 13.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为 t ________________________________________________________________________. 14.对任意实数 x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. x-y+5≥0, ? ? 15.若不等式组?y≥a, ? ?0≤x≤2 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是________.

16.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万 元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=________吨. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) a2 b2 17.(10 分)已知 a>0,b>0,且 a≠b,比较 + 与 a+b 的大小. b a

18.(12 分)已知 a,b,c∈(0,+∞).

a b c 1 求证:( )· ( )· ( )≤ . a+b b+c c+a 8

ax 19.(12 分)若 a<1,解关于 x 的不等式 >1. x-2

20.(12 分)求函数 y=

x+2 的最大值. 2x+5

21.(12 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

22.(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得 利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示: 产品消耗量资源 甲产品 (每吨) 乙产品 (每吨) 资源限额 (每天) 9 4 360 煤(t) 4 5 200 电力(kw·h) 3 10 300 劳动力(个) 6 12 利润(万元) 问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨时,获得利润总额最大?

第三章

不等式

章末检测答案(B)

1.D [∵a<0,-1<b<0, ∴ab>0,ab2<0. ∴ab>a,ab>ab2. ∵a-ab2=a(1-b2)=a(1+b)(1-b)<0, ∴a<ab2.∴a<ab2<ab.] 2.C 3.A [∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3) =(2a2-4a)-(a2-2a-3)=a2-2a+3 =(a-1)2+2>0.∴M>N.] 4.B [∵x2-ax-12a2<0(a<0)

?(x-4a)(x+3a)<0 ?4a<x<-3a.] 5.B [取 a=0,b=-1,否定 A、C、D 选项. 故选 B.] 1 1 6.D [∵x>1,∴x+ =(x-1)+ +1≥ x-1 ?x-1? 1 2 ?x-1?· +1=3.∴a≤3.] x-1 7.A
?x≤0 ?x>0 ? ? ? [f(x)≥x2?? 2 2 或 ?-x+2≥x ? ? ?x+2≥x

? ?x>0 ?x≤0 ? ?? 2 或? 2 ?x +x-2≤0 ?x -x-2≤0 ? ? ? ? ?x≤0 ?x>0 ?? 或? ? ? ?-2≤x≤1 ?-1≤x≤2 ?-1≤x≤0 或 0<x≤1 ?-1≤x≤1.] 8.D [取 a=1,b=3,可验证 A、B、C 均不正确, 故选 D.] 9.C [可行域如阴影,当直线 u=x+3y 过 A(-2,-2)时, 2 2 2 2 8 u 有最小值(-2)+(-2)×3=-8;过 B( , )时 u 有最大值 +3× = . 3 3 3 3 3

8 ∴u=x+3y∈[-8, ]. 3 ∴z=|u|=|x+3y|∈[0,8].故选 C.] s s 2 2 s s 10.B [设甲用时间 T,乙用时间 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,则 T= + = + = a b 2a 2b a+b 2s s× ,ta+tb=s?2t= , 2ab a+b s?a+b? ?a+b?2-4ab s?a-b?2 2s ∴T-2t= - =s× = >0, 2ab a+b 2ab?a+b? 2ab?a+b? 故选 B.] 1 ??1 ??1 ? 11.D [M=? ?a-1??b-1??c-1? a+b+c ??a+b+c ??a+b+c ? =? ? a -1?? b -1?? c -1? b c? ?a c? ?a b? =? ?a+a?· ?b+b?· ? c + c? bc ac ab ≥2 ·· 2 ·· 2 · =8. aa bb cc 1 ∴M≥8,当 a=b=c= 时取“=”.] 3 12.D [∵x∈(0,3),∴x-1∈(-1,2), ∴(x-1)2∈[0,4),

1 ∴f(x)=(x-1)2+ -1 ?x-1?2 1 ≥2 ?x-1?2· -1=2-1=1. ?x-1?2 1 当且仅当(x-1)2= ,且 x∈(0,3), ?x-1?2 即 x=2 时取等号,∴当 x=2 时,函数 f(x)有最小值 1.] 13.-2 解析 ∵t>0, t2-4t+1 1 ∴y= =t+ -4≥2-4=-2. t t 14.-2<a≤2 解析 当 a=2 时,-4<0 恒成立,∴a=2 符合. 当 a-2≠0 时,则 a 应满足: ? ?a-2<0 ? 解得-2<a<2. 2 ? ?Δ=4?a-2? +16?a-2?<0 综上所述,-2<a≤2. 15.5≤a<7 解析 先画出 x-y+5≥0 和 0≤x≤2 表示的区域,再确定 y≥a 表示的区域.

由图知:5≤a<7. 16.20 400 解析 该公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买 次,运费为 4 万元/次,一年 x 400 400 1 600 的总存储费用为 4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为( · 4+4x)万元, · 4+4x≥160,当 = x x x 4x 即 x=20 吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小. a2 b2 a2 b2 17.解 ∵( + )-(a+b)= -b+ -a b a b a a2-b2 b2-a2 1 1 = + =(a2-b2)( - ) b a b a 2 a - b ? a - b ? ? a + b? =(a2-b2) = ab ab 又∵a>0,b>0,a≠b, ∴(a-b)2>0,a-b>0,ab>0, a2 b2 a2 b2 ∴( + )-(a+b)>0,∴ + >a+b. b a b a 18.证明 ∵a,b,c∈(0,+∞), ∴a+b≥2 ab>0,b+c≥2 bc>0, c+a≥2 ac>0, ∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc>0. abc 1 ∴ ≤ ?a+b??b+c??c+a? 8 a b c 1 即( )· ( )· ( )≤ . a+b b+c c+a 8 当且仅当 a=b=c 时,取到“=”.

?a-1?x+2 ax 19.解 不等式 >1 可化为 >0. x-2 x-2 ∵a<1,∴a-1<0, 2 x- 1- a 故原不等式可化为 <0. x-2 故当 0<a<1 时,原不等式的解集为 2 {x|2<x< }, 1-a 当 a<0 时,原不等式的解集为 2 {x| <x<2}. 1-a 当 a=0 时,原不等式的解集为?. 20.解 设 t= x+2,从而 x=t2-2(t≥0), t 则 y= 2 . 2t +1 当 t=0 时,y=0; 1 1 2 当 t>0 时,y= ≤ = . 1 1 4 2t+ 2 2t· t t 1 2 当且仅当 2t= ,即 t= 时等号成立. t 2 3 2 即当 x=- 时,ymax= . 2 4 21.解 (1)设 DN 的长为 x(x>0)米, 则 AN=(x+2)米. 3?x+2? DN DC ∵ = ,∴AM= , AN AM x 3?x+2?2 ∴SAMPN=AN· AM= , x 2 3?x+2? 由 SAMPN>32,得 >32. x 又 x>0,得 3x2-20x+12>0, 2 解得:0<x< 或 x>6, 3 2 即 DN 长的取值范围是(0, )∪(6,+∞). 3 (2)矩形花坛 AMPN 的面积为 3?x+2?2 3x2+12x+12 y= = x x 12 12 =3x+ +12≥2 3x· +12=24, x x 12 当且仅当 3x= ,即 x=2 时, x 矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24. 故 DN 的长为 2 米时,矩形 AMPN 的面积最小, 最小值为 24 平方米. 22.解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、y 吨,获得利润 z 万元.

? ?4x+5y≤200 依题意可得约束条件:?3x+10y≤300 x≥0 ? ?y≥0
9x+4y≤360 作出可行域如图.

利润目标函数 z=6x+12y, 由几何意义知,当直线 l: z= 6x+ 12y 经过可行域上的点 M 时, z= 6x+ 12y 取最大值.解方程组 ? 3 x + 10y=300 ? ? , ?4x+5y=200 ? 得 x=20,y=24,即 M(20,24). 答 生产甲种产品 20 吨,乙种产品 24 吨,才能使此工厂获得最大利润.


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