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2014届高考数学一轮复习名师首选:第2章8《对数与对数函数》


学案 8

对数与对数函数

导学目标: 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自 然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对 数函数 x 的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数 (a>0,a≠1),体会对数函数是一类重要

的函数模型. 自主梳理 1.对数的定义 如果______________,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作__________,其中____ 叫做对数的底数,____叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1) ①alo gaN=____; ②loga1=____; N ③logaa =____; ④logaa=____. (2)对数的重要公式 ①换底公式:logaN=________________(a,c 均大于零且不等于 1); ②logab={eq \f(1,logba)|,推广 logab·logbc·logcd=________. (3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=__________________;

M N n ③logaM =__________(n∈R); n n ④logamM = |logaM. m
②loga |=____________; 3.对数函数的图象与性质

a>1

0<a<1

图 象

性 质

[来源:学*

科*网 Z*X*X*K][ 来 源:Zxxk.Com][ 来源: 学科网]

(1)定义域:________ (2)值域:____ (3)过点________,即 x=____时,y=____ (4)当 x>1 时,______; (5)当 x>1 时,______; 当 0<x<1 时,______ 当 0<x<1 时,______ (6)是(0,+∞)上的__函数 (7)是(0,+∞)上的__函数

4.反函数 x 指数函数 y=a 与对数函数__________互为反函数,它们的图象关于直线______对称. 自我检测 1.2log510+log50.25 的值为________. 1 1 a b 2.设 2 =5 =m,且 |+ |=2,则 m 的值为________.

a

b

?1? x 3.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=? ?| ;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 f(2 ?2? +log23)的值为________. 1 1 4.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递增,f( |)=0,则满足 f(log |x)>0 的 x 3 8

的取值范围是__________________. 5.已知 0<a<b<1<c,m=logac,n=logbc,则 m 与 n 的大小关系为__________.

探究点一 对数式的化简与求值 例 1 计算:(1)log(2+ 3|)(2- 3|); 1 32 4 (2) |lg |- |lg 8|+lg 245|; 2 49 3 x-y (3)已知 2lg |=lg x+lg y,求 log(3-2 2

2|)

x |. y

变式迁移 1 计算: 7 1 (1)log2 |+log212- |log242-1; 48 2 2 (2)(lg 2) +lg 2·lg 50+lg 25.

探究点二 含对数式的大小比较 例 2 比较下列各组数的大小. 2 6 (1)log3 |与 log5 |; 3 5 (2)log1.10.7 与 log1.20.7; b, a, c (3)已知,比较 2 2 2 的大小关系.

变式迁移 2 (1)(2009·全国Ⅱ改编)设 a=log3π ,b=log2 3|,c=log3 2|,则 a、 b、c 的大小关系为________ 1 1 b 1 1 c a (2)设 a,b,c 均为正数,且 2 =log |a,( |) =log | b,( |) =log2c,则 a,b,c 2 2 2 2 的大小关系为________. 探究点三 对数函数的图象与性质 1 例 3 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈[ |,2]都有|f(x)|≤1 成 3 立,试求 a 的取值范围.

变式迁移 3 (1)已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值 范围为______________. (2)已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则 f(-2)________f(a+1).(填 写“<”“=”“>”)

转化化归与分类讨论思想 x x 例 (16 分)已知函数 f(x)=loga(1-a )及 g(x)=loga(a -1)(a>0,a≠1). x (1)解关于 x 的不等式:loga(1-a )>f(1); (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是 f(x)图象上的两点,求证:直线 AB 的斜率小于 0. 【答题模板】 x (1)解 ∵f(x)=loga(1-a ), ∴f(1)=loga(1-a).∴1-a>0.∴0<a<1. x ∴不等式可化为 loga(1-a )>loga(1-a).[4 分] x x ? ? ?1-a >0, ?a <1, ? ? ∴ |,即 x |∴0<x<1. x ?1-a <1-a. ?a >a. ? ? ∴不等式的解集为(0,1).[8 分] 1-ax2 (2)证明 设 x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=loga(1-ax2)-loga(1-ax1)=loga |. 1-ax1 x x ∵1-a >0,∴a <1. ∴a>1 时,f(x)的定义域为(-∞,0); 0<a<1 时,f(x)的定义域为(0,+∞).[12 分] 当 0<a<1 时,∵x2>x1>0,∴ax2<ax1. 1-ax2 1-ax2 ∴ |>1.∴loga |<0. 1-ax1 1-ax1 ∴f(x2)<f(x1),即 y2<y1. 同理可证,当 a>1 时,也有 y2<y1. y2-y1 综上:y2<y1,即 y2-y1<0.∴kAB= |<0. x2-x1 ∴直线 AB 的斜率小于 0.[16 分] 【突破思维障碍】 解决含参数的对数问题,不可忽视对底数 a 的分类讨论,即 a>1 或 0<a<1,其次要看定 义域,如果将函数变换,务必保证等价性. 1.用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较 例如,比较 logaf(x)与 logag(x)的大小,其中 a>0 且 a≠1. ①若 a>1,则 logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②若 0<a<1,则 logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x). (2)同真数的对数值大小关系如图: 图象在 x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大,即 0<c<d<1<a<b. x 2.(1)指数函数 y=a 与对数函数 y=logax(a>0,a≠1)互为反函数,应从概念、图象 和性质三个方面理解它们之间的联系与区别. (2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函 数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象. 课后练习 (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1 x 1.设 M={y|y=( |) ,x∈[0,+∞)},N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合 M∪N= 2 ________. 2.设 a=log32,b=ln 2,c=,则 a,b,c 大小关系为________.

2 2 3.2lg 5+ |lg 8+lg 5·lg 20+lg 2=________. 3 1+ax 4.函数 f(x)=ln |(a≠2)为奇函数,则实数 a 等于________. 1+2x x 5. 已知函数 f(x)=a +logax(a>0, a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga2+6, 则 a 的值为________. log2x, x>0, ? ? 6.若函数 f(x)=? 1 log ? -x? ,x<0, ? ? 2 |若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围为

_____ _________. x 8 7.已知 f(3 )=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(2 )=__ ______. 8.下列命题: 2 ①若函数 y=lg(x+ x +a|)为奇函数,则 a=1; ②若 a>0,则方程|lg x|-a=0 有两个不相等的实根; ③方程 lg x=sin x 有且只有三个实数根; x1+x2 f? x1? +f? x2? ④对于函数 f(x)=lg x,若 0<x1<x2,则 f( |)< |. 2 2 以上命题为真命题的是________.(将所有真命题的序号填在横线上) 二、解答题(共 42 分) 2 2 9.(14 分)已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求 y=[f(x)] +f(x )的最大值及 y 取最大 值时 x 的值.

10.(14 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)若 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

11.(14 分)已知函数 f(x)=lg(a -b )(a>1>b>0). (1)求 y=f(x)的定义域; (2)在函数 y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a,b 满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.

x

x

答案
b

自主梳理

1.a =N(a>0,且 a≠1)

b=logaN a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①
③nlogaM

②logad (3)①logaM + logaN ②logaM - logaN (3)(1,0) 1 0 (4)y>0 y<0 (5)y<0 y>0 (6)增 (7)减 4.y=logax y= x 自我检测

logcN | logca 3.(1)(0 , + ∞) (2)R

1.2 2. 10|

1 1 3. | 4.(0, |)∪(2,+∞) 5.m>n 24 2

课堂活动区 例 1 解题导引 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指 数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底 和指数与对数互化. 解 (1)方法一 利用对数定义求值: 设 log(2+ 3|)(2- 3|) =x, 1 x -1 则(2+ 3|) =2- 3|= |=(2+ 3|) , 2+ 3 ∴x=-1. 方法二 利用对数的运算性质求解: 1 log(2+ 3|)(2- 3|)=log(2+ 3|) | 2+ 3 (2+ 3|) =-1. 1 4 1 1 4 3 1 (2)原式= |(lg 32-lg 49)- |+ |lg 245= |(5lg 2-2lg 7)- |× |lg 2+ |(2lg 2 3 2 2 3 2 2 7+lg 5) 5 1 = |lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ |lg 5 2 2 1 1 = |lg 2+ |lg 5 2 2 1 1 1 = |lg (2×5)= |lg 10= |. 2 2 2 x-y 2 (3)由已知得 lg( |) =lg xy, 2 x-y 2 2 2 ∴( |) =xy,即 x -6xy+y =0. 2
3|)

=log(2+

-1

x 2 x y y x ∴ |=3±2 2|. y x-y>0, ? ? ∵?x>0, ? ?y>0,
∴log(3-2 =log?
3-2 2|)

∴( |) -6( |)+1=0.

|∴ |>1,∴ |=3+2 2|,

x y

x y

x |=log(3-2 y

2|)

(3+2 2|)

2?

1 | |=-1. 3-2 2 7 48 |+log212-log2 42|-log22

变式迁移 1 解 (1)原式=log2 =log2 7×12

1 3 |=log2 |==- |. 2 48× 42×2 2 2 (2)原式=lg 2·(lg 2+lg 50)+lg 25 =21g 2+lg 25=lg 100=2. 例 2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型, 解决此类问题 的方法很多,①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数相

同,可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象,数形结合解得;③若不同底,不同 真数,则可利用中间量进行比较. 2 解 (1)∵log3 |<log31=0, 3 6 2 6 而 log5 |>log51=0,∴log3 |<log5 |. 5 3 5 (2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2, ∴0>log0.71.1>log0.71.2. 1 1 ∴ |< |, log0.71.1 log0.71.2 由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7. 方法二 作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象,

如图所示,两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7. (3)∵y=为减函数, 且,∴b>a>c. x b a c 而 y=2 是增函数,∴2 >2 >2 . 变式迁移 2 (1)a>b>c 1 1 1 1 解析 a=log3π >1,b= |log23,则 |<b<1,c= |log32< |,∴a>b>c. 2 2 2 2 (2)a<b<c 解析 ∵a,b,c 均为正, 1 b a ∴=2 >1,=( |) ∈(0,1), 2 1 c log2c=( |) ∈ (0,1). 2 1 1 ∴0<a< |, |<b<1,1<c<2. 2 2 故 a <b<c. 1 例 3 解题导引 本题属于函数恒成立问题,即对于 x∈[ |,2]时,|f(x)|恒小于等于 3 1,恒成立问题一般有两种思路 :一是利用图象转化为最值问题;二是利用单调性转化为最 值问题.由于本题底数 a 为参数,需对 a 分类讨论.

解 ∵f(x)=logax, 则 y=|f(x)|的图象如图. 1 由图示,要使 x∈[ |,2]时恒有|f(x)|≤1, 3 1 只需|f( |)|≤1, 3

1 即-1≤loga |≤1, 3 1 -1 即 logaa ≤loga |≤logaa, 3 1 -1 亦当 a>1 时,得 a ≤ |≤a,即 a≥3; 3 1 1 -1 当 0<a<1 时,得 a ≥ |≥a,得 0<a≤ |. 3 3 1 综上所述,a 的取 值范围是(0, |]∪[3,+∞). 3 变式迁移 3 (1)(3,+∞) (2) < 解析 (1)画出函数 f(x)=|lg x|的图象如图所示.

∵0<a<b,f(a)=f(b),∴0<a<1,b>1, ∴lg a<0,lg b>0. 又∵f(a)=f(b), ∴-lg a=lg b ,ab=1. 2 ∴a+2b=a+ |,

a

2 易证 μ =a+ |在(0,1)上单调递减,∴μ >3.

a

即 a+2b>3. (2)∵f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增, ∴a>1.∴a+1>2. ∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2)<f(a+1). 课后练习区 1.(-∞,1] 1 x 解析 ∵x≥0,∴y=( |) ∈(0,1],∴M=(0,1]. 2 当 0<x≤1 时,y=log2x∈(-∞,0],即 N=(-∞,0]. ∴M∪N=(-∞,1]. 2.c<a<b 1 1 解析 ∵ |=log23>1, |=log2e>1,log23>log2e.

a

b

1 1 ∴ |> |>1,∴0<a<b<1.

a b

1 1 ∵a=log32>log3 3|= |,∴a> |. 2 2 1 1 b=ln 2>ln e|= |,∴b> |. 2 2 1 1 1 c=5- |= |< |,∴c<a<b. 2 5 2 3.3 4.-2 1-ax 1+ax 解析 依题意有 f(-x)+f(x)=ln |+ln |=0, 1-2x 1+2x

1-ax 1+ax 2 2 2 |· |=1,故 1-a x =1-4x , 1-2x 1+2x 2 所以 a =4,又 a≠2,故 a=-2. 5.2 x x 解析 当 x>0 时, 函数 a , logax 的单调性相同, 因此函数 f(x)=a +logax 是(0, +∞) 2 上的单调函数,f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 f(1)+f(2)=a +a+loga2,由题 2 2 意得 a +a+loga2=6+loga2.即 a +a-6=0,解得 a=2 或 a=-3(舍去). 6.(-1,0)∪(1,+∞) 解析 ①当 a>0 时,f(a)=log2a,f(-a)=, 1 f(a)>f(-a),即 log2a>=log2 |, 即

a

1 ∴a> |,解得 a>1.

a

②当 a<0 时,f(a)=,f(-a)=log2(-a), f(a)>f(-a),即>log2(-a)=, 1 ∴-a< |,解得-1<a<0,由①②得-1<a<0 或 a>1. -a 7.2 008 x 解析 令 3 =t,f(t)=4log2t+233, 8 ∴f(2) + f(4) + f(8) +?+ f(2 ) =4×(1+ 2 +?+ 8) +8×233=4×36+ 1 864 = 2 008. 8.①②③ 解析 ①∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0. 2 2 2 2 ∴lg(-x+ x +a|)+lg(x+ x +a|)=lg[(x +a)-x ]=lg a=0,∴a=1.

②|lg x|-a=0,∴|lg x|=a. 作出 y=|lg x|,y=a 的图象可知,当 a>0 时有两个交点. ∴方程有两个不等实根. ③作出 y=lg x, y=sin x 的图象, 可知在 y 轴右侧有三个交点. 故方程有三个实根. x1+x2 f? x1? +f? x2? ④对于 f(x)=lg x, 如图, 当 0<x1<x2 时, 应有 yA>yB, 即 f( |)> |. 2 2 9.解 ∵f(x)=2+log3x, 2 2 2 2 ∴y=[f(x)] +f(x )=(2+log3x) +2+log3x 2 2 =log3|x+6log3x+6=(log3x+3) -3.???????????????????? (5 分) ∵函数 f(x)的定义域为[1,9], 2 ? ?1≤x ≤9, 2 2 ? ∴ 要 使 函 数 y = [f(x)] + f(x ) 有 意 义 , 必 须 | ∴1≤x≤3 , ?1≤x≤9, ? ∴0≤log3x≤1, ??????????????????????????????????? (10 分) 2 ∴6≤(log3x+3) -3≤13.

当 log3x=1,即 x=3 时,ymax=13. 2 2 ∴当 x=3 时, 函数 y=[f(x)] +f(x )取最大值 13.??????????????(14 分)
?x+1>0, ? 10.解 (1)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),则? ? ?1-x>0,

|解得-1<x<1.

故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.??????????????????(4 分) (2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x),故 f(x)为奇函数.???????????????????????? (9 分) x+1 (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,所以 f(x)>0? |>1. 1-x 解得 0<x<1.所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}.?????????????(14 分) 11.解 (1)由 a -b >0,得( |) >1,且 a>1>b>0,得 |>1,所以 x>0,即 f(x)的定义 域为(0,+∞).???????????????????????????????? (4 分) (2)任取 x1>x2>0,a>1>b>0,则 ax1>ax2>0,bx1<bx2,所以 ax1-bx1>ax2-bx2>0, 即 lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2). 故 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数.?????????????????????(8 分) 假设函数 y=f(x)的图象上存在不同的两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),使直线平行于 x 轴, 则 x1≠x2,y1=y2,这与 f(x)是增函数矛盾. 故函数 y=f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于 x 轴.????(10 分) (3)因为 f(x)是增函数,所以当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1).这样只需 f(1)=lg(a- b)≥0 , 即 当 a≥b + 1 时 , f(x) 在 (1 , + ∞) 上 恒 取 正 值.????????????????????(14 分)
x x

a b

x

a b


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