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2011年广州市高二数学竞赛试题


2011 年广州市高二数学竞赛试题
2011.5.15 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分.
一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ?

1 ? x ? R ? ,若 f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值为(
3

).

A. ?2

B. ?1

C. 0

D.1

2.已知数列 {an } 的通项公式 an ? log 2 成立的自然数 n 有( A.最大值 15 ) .

n n ? N* ? ,设其前 n 项和为 S n ,则使 S n ? ?4 ? n ?1
C.最大值 16 D.最小值 16

B.最小值 15

3.如图所示的程序框图,若输入 n ? 5 ,则输出的 n 值为( 开始 输入 n

) . 结束

n ? n?2

f ? x ? ? xn



( f x) 在 (0, +∞) 上单调递减? C. ?1



输出 n

A.3

B.1

D. ?3

4.设 a ? sin(sin 2011o ), b ? sin(cos 2011o ), c ? cos(sin 2011o ) ,则 a, b, c 的大小关系是 ( ). A. a ? b ? c C. c ? b ? a B. b ? a ? c D. c ? a ? b

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5. 若过定点 M ? ?1 , 0 ? 且斜率为 k 的直线与圆 x ? 4 x ? y ? 5 ? 0 在第一象限内的部分
2 2

有交点,则 k 的取值范围是

*



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6.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内任取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离不大于 1 的概率为 * .

7 .在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2 PM ,则

PA ? PB ? PC 等于

?

?

*



8.在△ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 sin ? C ?

? ?

?? 12 ?

? ?

*



9.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成 立,则 a 的取值范围是 * .

10.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai ? i ? 1, 2,3, 4 ? ,此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi (i ? 1, 2,3, 4) ,若
4 a1 a2 a3 a4 2S . ? ? ? ? k ,则 ? (ihi ) ? k 1 2 3 4 i ?1

类比以上性质,体积为 V 三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si (i ? 1, 2,3, 4) ,此三棱锥内任 一 点 Q 到 第 i 个 面 的 距 离 记 为 H i (i ? 1, 2,3, 4) , 若

S1 S2 S3 S ? ? ? 4 ?K , 则 1 2 3 4

? (iH ) ?
i ?1 i

4

*



三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. (本小题满分 15 分) 已 知 向 量 a ? ? sin x, cos x ? , b ? ? 6sin x ? cos x, 7sin x ? 2cos x ? , 设 函 数

f ? x? ? a ? b ? 2 .
(1)求函数 f ? x ? 的最大值,并求取得最大值时 x 的值; (2)在 A 为锐角的 ?ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 f ? A ? ? 4 且

?ABC 的面积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值.

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12. (本小题满分 15 分) 如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为 CE 的中点. (1)求证 BF⊥平面 CDE; (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求平面 BCE 和平面 ACD 所成的锐二面角的大小. C B A

F D

E

13. (本小题满分 20 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3, 0) ,离心率为 e . a2 b2
3 ,求椭圆的方程; 2

(1)若 e ?

(2) 设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A ,B 两点,M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若 坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且

2 3 ?e? ,求 k 的取值范围. 2 2

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14. (本小题满分 20 分) 设无穷等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求所有的无穷等差数列 {an } ,使得对于一切正 整数 k 都有 S k 3 ? ? S k ? 成立.
3

15. (本小题满分 20 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) ? 取得最大值. (1)求 a、b 的值; (2)设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与 y 轴的交点为 (0, t ) ,求实数 t 的取 值范围.

x?b (a, b ? R 且 a ? 0 ) 是奇函数,当 x ? 1 时, f ( x) ax 2 ? 1

2011 年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点
2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 4 页 共 10 页

和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 6 分,满分 24 分. 1.C 2.D 二、填空题:每小题 6 分,满分 36 分. 5. 0,5

3.C

4.B

?

?

6.

? 6

7. ?

4 9

8.

6? 2 4

9. ? ?

? 1 3? ,? ? 2 2?

10.

3V K

简答与提示:

4.因为 2011o ? 5 ? 360o ? 180o ? 31o , 所以 a ? sin(? sin 31o ) ? ? sin(sin 31o ) ? 0 , b ? sin(? cos 31o ) ? ? sin(cos 31o ) ? 0 ,
c ? cos(? sin 31o ) ? cos(sin 31o ) ? 0 ,

又因为 0 ? sin 31o ? cos31o ? 1 ,所以 b ? a ? c ,选(B) .
三、解答题:满分 90 分. 11.解: (1) f ? x ? ? a ? b ? 2 ? sin x ? 6sin x ? cos x ? ? cos x ? 7 sin x ? 2 cos x ? ? 2

? 6sin 2 x ? 8sin x cos x ? 2cos2 x ? 2 … 1 ? cos 2 x ?6 ? 4sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? 2 ? 4sin 2x ? 4cos 2x ?? ? ? 4 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ? ? ? 3? ( k ? Z )时, ?当 2 x ? ? 2k? ? ,即 x ? k? ? 4 2 8 f ? x ? 有最大值为 4 2 .
? ?

(2)? f ? A ? ? 4 ,? 4 2 sin ? 2 A ?

??

?? 2 ? ? ? 4 .可得: sin ? 2 A ? ? ? 4? 2 4? ?

? ? ? 3? ? ?? ? A ? ? 0, ? ,? 2 A ? ? ? ? , 4 ? 4 4 ? 2?

? ? ? ? ? ,? 2 A ? ? ,解得 A ? . 4 4 4 ?
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2011 年广州市高二数学竞赛试题

1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ,可得 bc ? 6 2 . 2 4

?b ? c ? 2 ? 3 2 , a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 2 ? ? b ? c ? ? 2bc ? 2bc cos A

? 2?3 2
? a ? 10 .

?

?

2

? 2 ? 6 2 ? 2 ? 6 2 ? cos

?
4

? 10 ,

12. (1)证明:取 CD 的中点 G,连 AG,FG, 则有 FG = ∥ AB ∥ DE .∴AG ∥ BF. = = 又△ACD 为正三形,∴AG⊥CD. 又 DE⊥平面 ACD, ∴FG⊥平面 ACD, ∴FG⊥AG. ∴AG⊥平面 CDE. ∴BF⊥平面 CED. (2)解: VABCDE ? VB ? ACD ? VB ?CDE

P

1 2

B A

C G D

F

E

1 ? ? 3 1 ? ? 3

3 1 1 ? CD 2 ? AB ? ? ? DE ? CD ? BF 4 3 2 3 1 1 2 ? ? 2a ? ? a ? ? ? ? 2a ? ? ? 2a ? ? 3a 4 3 2

?

3 3 2 3 3 a ? a ? 3a 3 . 3 3

(3)解:由(1)知 AB = ∥ DE , 延长 DA,EB 交于点 P,连 PC, 则可证得 A,B 分别为 PD,PE 的中点, ∴PC∥BF∥AG, ∴PC⊥平面 CDE. ∴∠DCE 为平面 BCE 和平面 ACD 所成二面角的平面角. 又∠DCE=45°, 所以平面 BCE 和平面 ACD 所成的锐二面角为 45°.

1 2

?c ? 3 ? 13.解: (1)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .
2 2 2 2

2

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所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 3

? x2 y2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a 2 b 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . ? y ? kx, ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

a 2b 2 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? ? 2 , b ? a2k 2
进而 y1 y2 ? k x1 x2 ? ?
2

k 2 a 2b 2 . b2 ? a 2 k 2
? 3 ? x1 y1 ? ? 3 ? x2 y2 ? , ?、N? , ?, 2? 2 ? ? 2 ? 2

因为点 M 、 N 的坐标分别为 M ? 依题意 OM ? ON , 所以 kOM ? kON ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 . 3 ? x1 3 ? x2

即 y1 y2 ? x1 x2 ? 9 ? 0 ,即 ?

a 2b 2 (1 ? k 2 ) ?9 ? 0, a 2 k 2 ? b2
a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0. a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

因为 b ? a ? c ? a ? 9 ,所以 ?
2 2 2 2

a 4 ? 18a 2 ? 81 81 81 将其整理为 k ? . ? ?1 ? 4 ? ?1 ? 2 4 2 2 2 ?a ? 18a a ? 18a ? a ? 9? ? 81
2

因为

2 3 2 ?e? ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 . 2 2
2

所以 k ?

? ? 2? ? 2 1 ? , ?? ,即 k ? ? ??, ? ? ? ? ? ?. 4 ? ? 4 8 ? ?

14.解:设无穷等差数列 {an } 的公差为 d , 则 S k ? ka1 ?

k (k ? 1) ?d d ?? ? d ? k ? k ? ? a1 ? ? ? , 2 2 ?? ? ?2

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所以 S k 3 ? k ?
3

?d 3 ? d ?? k ? ? a1 ? ? ? , 2 ?? ? ?2
3

且 ? Sk ?

3

?d d ?? ? ? k ? k ? ? a1 ? ? ? 2 ?? ? ?2
3

2 3 ?d3 d2 ? d? d? d? d? ? ? ? k 3 ? k 3 ? 3 ? ? a1 ? ? k 2 ? 3 ? ? a1 ? ? k ? ? a1 ? ? ? . 4 ? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ?8 ?

因为 S k 3 ? ? S k ? 对于一切正整数 k 都成立,
3

?d3 d ? 8 ? 2, ? 2 d ? 3d ( a1 ? ) ? 0, ? ? 2 所以 ? 4 3 d d ? ( a ? ) 2 ? 0, ?2 1 2 ? ?( a1 ? d )3 ? a1 ? d . ? ? 2 2
由①,可得 d ? 0 或 d ? ?2 .

① ② ③ ④

当 d ? 0 时,由④得 a1 ? 0 ,或 a1 ? ?1 ,且同时满足②③.

d ? 1 ,且同时满足③④. 2 d 当 d ? ?2 时,由②得 a1 ? ? ?1 ,且同时满足③④. 2
当 d ? 2 时,由②得 a1 ? 综上所述,共有 5 个满足条件的无穷等差数列: ① {an } : 0, 0, 0, ??? ; ② {an } : 1,1,1, ??? ; ③ {an } : ?1, ?1, ?1, ??? ; ④ {an } : 1,3,5, ??? ; ⑤ {an } : ?1, ?3, ?5, ??? .

15.解: (1)∵函数 y ? f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x) ? ? f ( ? x) , 即

x?b ?x ? b ?? , 2 ax ? 1 a (? x) 2 ? 1

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x?b x ?b 对于任意 x ? R 都成立. ? 2 2 ax ? 1 ax ? 1 x ∴ b ? 0 .∴ f ( x) ? 2 . ax ? 1 x 若 a ? 0 , 则函数 f ( x) ? 2 的定义域不可能是 R, 故 a ? 0 . ax ? 1
化简得 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ax ? 1
2

?

1 1 ax ? x

?

1 1 2 ? ax ?? x

?

1 2 a



当且仅当 ax ?

1 即x? x

1 1 时, f ? x ? 取得最大值 . a 2 a

?

1 ? 1, 即 a ? 1. a

(2)依题意得 f ( x) ?

x ……①, x ?1
2

f '( x) ?

1 ? x2 ……② (1 ? x 2 ) 2

又∵曲线 f ( x) ?

x 在 ( x0 , f ( x0 )) 处切线方程为 x ?1
2

y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ,
切线与 y 轴交于点 (0, t ) , ∴ t ? f ( x0 ) ? f '( x0 )(0 ? x0 ) ,化简得 t ? ? x0 f '( x0 ) ? f ( x0 ) , ①②代入化简得 t ?
3 2 x0 , x0 ? R . 2 2 (1 ? x0 )

又∵ t ' ?

2 2 2 3 2 2 6 x0 (1 ? x0 ) ? 2 x0 ?2(1 ? x0 )?2 x0 2 x0 ( 3 ? x0 )( 3 ? x0 ) ? , 2 2 2 2 3 [(1 ? x0 ) ] (1 ? x0 )

令 t ' ? 0 ,解得 x0 ? ? 3 ,列表如下

x0

(??, ? 3)
— ↘

3
0 极小值

(? 3, 3)
+ ↗

3
0 极大值

( 3, ??)
- ↘ 、

t' t

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当 x0 ? 0 时, t ?

3 2 x0 ?0. 2 2 (1 ? x0 ) 3 2 x0 , x0 ? R 取得唯一的极大值,也是最大值. 2 2 (1 ? x0 )

∴ x0 ?

3 时,函数 t ?

tmax

? 3? ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? ? ?
2?
3 2

2

?

3 3 . 、 8

当 x0 ? 0 时, t ?

3 2 x0 ?0 2 2 (1 ? x0 ) 3 2 x0 , x0 ? R 取得唯一的极小值,也是最小值. 2 2 (1 ? x0 )

∴ x0 ? ? 3 时,函数 t ?

tmin

? ? ? ?1 ? ? 3 ? ?? ? ? ? ?
2? ? 3
3 2

2

??

3 3 . 8

∴ t 的取值范围是 ? ?

? 3 3 3 3? , ?. 8 ? ? 8

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