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空间几何体的表面积和体积(精华教案)


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空间几何体的表面积和体积 【教学要求】 1、会求空间几何体表面积和体积 2、熟练计算球面距离 3、会解决求展开的几何体和不规则几何体的体积问题 【要点回顾】 1.多面体的面积和体积公式 名称 棱柱 棱 柱 直棱柱 棱锥 棱 锥 正棱锥 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V)

2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 S侧 S全 V



【学习过程】 例 1、求下列几何体的全面积和体积 1、已知正四棱锥的底面正方形的边长为 4cm,高与斜高的夹角为

? 4

2、在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5 5 。 变式:一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2,3,6,求长方体的体积。

例 2、 1、一个圆柱的侧面展开图是一个边长为 a 的正方形,求这个圆柱的全面积和体积 2、圆锥的母线长为 2 ,侧面的展开图扇形的圆心角为 240? ,求该圆锥的全面积和体积 变式:已知圆台的上下底面半径分别是 2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的 母线长

2

例 3、如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C, D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面 上,如果 VP ? ABCD ? A. 4?
16 ,求球 O 的表面积。 3

B. 8?

C. 12?

D. 16?

变式:半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 , 求球的表面积和体积
D' A' D A O B' B C C'

A' R A O

C'

C

例 4、如图,一圆锥内接于半径为 R 的球,求此圆锥的体积最大值

基础达标: 1、圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( A.4π S B.2π S C.π S D. 2 3 πS 3 ). ).

2、 设长方体的长、 宽、 高分别为 2a、 a、 a, 其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为( A.3π a2 B.6π a2 C.12π a2 D.24π a2

3

3、圆柱的轴截面是正方形,面积是 S,则它的侧面积是( 1 A. S π B.π S C.2π S D.4π S

)

4、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的 ( ) A. 1 2 B. 2 3 C.1 D.2







5、右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( 9 A. π +12 2 9 B. π +18 2 C. 9π +42

). D. 36π +18

1 6、如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体的俯 2 视图可以是( )

7、一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为( A. 280 B. 292 C. 360

)

D. 372

8、棱长为 a 的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为(

)

4

A.

a

3

3

B.

a

3

4

C.

a

3

6

D.

a3
12 32π ,则这个 3

9、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是 三棱柱的体积是( A.96 3 ) B.16 3 C.24 3 D.48 3

10、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何 体积为________. 11、若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 体 的体积是________cm3.

体的

则此几何

12、圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径 相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 ________cm.

13、求棱长为 1 的正四面体(各棱长都相等的三棱柱)的外接球的体积与表面积。

5

【习题】 【A 类题】 1、正六棱柱的底面边长为 2,最长的一条对角线长为 2 5 ,则它的侧面积为___________ 2、一个圆锥的轴截面是边长为 a 的等腰直角三角形,则其体积为 3、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,这个长方体的外接球体积为 4、正四面体的边长为 a,则它的高为 体积为 5、棱锥体积为 1,过它的高的两个三等分点分别作平行于底面的截面,把棱锥截成三部分, 则最下面部分的体积是______________ 6、一个与球心距离为 1的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为__________ 1 7、球面上有三个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这 3 个点的小圆的 6 周长为 4π ,那么这个球的半径为____________ 8、将边长是 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得折起后 BD 得长为 a,则三棱锥 D-ABC 的 体积为___________ 9、已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2 R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S 1 , S 2 , S 3 , 满足的等量关系是___________. 10、如图 3 所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形 这个几何体表面积和体积,并说明如果冰淇淋融化了,会溢 吗?
4cm

冰淇淋,求 出 杯 子

12cm

11、 (1)求东经 57°经线上,纬度分别为北纬 68°和北纬 38° 的两地 A、 B 的球面距离. (设地球半径为 R=6371 千米,结果精确到 1 千 米) 。 (2)已知上海的位置约为东经 121? ,北纬 31? ,埃及开罗的位置约为东经 32? ,北纬 31? ,求 两个城市之间的距离。 (结果精确到 1 千米) 12、已知球的表面积为 20? ,球面上有 A, B, C 三点,如果 AB ? AC ? 2, BC ? 2 3 ,则求球心 到平面 ABC 的距离及 A,C 两点的球面距离 13、已知三棱锥 V-ABC 的底面是边长为 a 的正三角形,VC?平面 ABC,二面角 V-AB-C 的大小 为 ? ,求其表面积和体积 14、在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ? ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ? ,求四棱锥 P-ABCD 的体积

6

【B 类题】 15、立方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,棱长为 a,P 为 AA1 的中点,Q 为棱 CC1 上任意一点 求四棱锥 C1 ? B1 PDQ 的体积

16、如图所示多面体是由底面为 ABCD 的长方体被 截面 AEC1 F 所截而得到的,其中, AB ? 4 ,
BC ? 2 , CC1 ? 3 , BE ? 1 ,

求此多面体的体积

【C 类题】 17、棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( A
a3 3

).

B

a3 4

C

a3 6

D

a3 12


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