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大一上学期高等数学试题A


**大学高等数学试题 A-1 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
sin kx ln( 1 ? x 8 )
ax
2

lim

x? 0

? 5

(1) 若

,则 k ? (
e



>(2) 设当 x ? 0 时, 则常数 a ? (
?

? 1 与 co s x ? 1 是等价无穷小,

) =( )
1000 n ) ?

(3) (4)

??

? (sin

x ? cos x ) dx
3

n? ?

lim n (sin

1 n

? sin

2 n

? ? ? sin





a

(5)

?
?a

a

2

? x dx ? (
2

), (a ? 0 )

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) (1) 下列广义积分收敛的是 ________
?

(A)

?
1

1 x

1

dx

(B )

?
0

1 x x

?

dx

(C )

?
0

1 x
2

?

dx

(D)

?
1

1 x x

dx

(2) 函数 (A)
50 ?

?1 ? x f (x) ? ? x ?e ? e

0 ? x ? 1 1? x ? 2

的连续区间为 ________ (C)
[ 0 , 1) ? (1, 2 ] ;(D) (1, 2 ]

[ 0 , 1) ;(B)

[0, 2 ] ;

(3)

?
0

sin x dx ?

________
( A ) 200 ; ( B ) 110 ; ( C ) 100 ; ( D ) 50 ;

(4) 下列各命题中哪一个是正确的 ________
( A) (B ) f ( x ) 在 (a , b ) f '( x) ? 0

内的极值点,必定是
f (x)

f '( x) ? 0

的根 必不存在

的根,必定是 的点是

的极值点
f '( x)

(C )

f ( x ) 在 (a , b )

取得极值的点处,其导数
f (x)

(D)

使

f '( x) ? 0

可能取得极值的点

(5) 已知 (A)

f '(3) ? 2
3 2



lim

f (3 ? h) ? f (3) 2h

h? 0

= (D)
1

.
?1

(B)

?

3 2

(C) 1

(6) 设函数 (A) 1

2 ? t ?x ? ? 2 ? 4 t ? y ? y ? y ( x ) 由参数方程 ? 4 ?

确定,则 y ' ' ( x ) ________ (D) t
2

(B) 2
2

(C) 2t

(7) 设函数 f ( x ) ? ( x 根的个数为 ________ (A)
2

? 3 x ? 2 )( x ? 3 )( x ? 4 )( x ? 5 )

,则方程 (D) 个

f '( x) ? 0





(B)

3个

(C)

4



5

(8) 已知椭圆 x
V x ,V
y

? 2 cos t , y ? 3 sin t

( 0 ? t ? 2? )

绕 x 轴和 y 轴旋转的体积分别为
? 4? ? 10 ?

,则有 ________
y

(A) (C)

Vx ?V Vx ?V

? 2? ? 8?

(B) (D)
1
1

Vx ?V Vx ?V

y

y

y

f (x) ?

(9)

点是函数 (A) 振荡间断点 (C) 跳跃间断点
1? e
? x ?x
2

x ? 0

e

x

? 2

的间断点 ________ (B) 可去间断点 (D) 无穷间断点

________ 1? e (10) 曲线 (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
1

y ?

2

三、 分)求极限 (6 四、 分)已知 (6 五、 分) (6

lim (
x? 0

3 ? x ? e x ? 2

x

) sin

x

f ' (0)
x

存在,且 x ? 0
t cos t ? ( 2 t ? 1 )

lim

f (x) 3x
1000

?

d dx

(?

3 0

sin x x
]dt

dx ? 3 x )

,求
(x)

f ' (0)

y( x ) ?

? [sin
0

? 100 t
3

100

,求
? a cos
3

y

( 1001 )

六、 分)已知星形线 x (6 求 A 的面积 S 七、 分)证明:方程 x (6 八、 分)已知 (6

t , y ? a sin

t

围成的图形为 A ,

101

? x

99

?1 ? 0

只有一个正根。
t t

y ? y ( x ) 是由参数表示式
2

x= 0

?

arcsin udu ,

y ?

? te
0

u

du

所确定的

函数, 求

lim

dy dx
1 ? 2 ? x sin f (x) ? ? x ?0 ? x ? 0 x ? 0

t? 0

九、 分) 设 (4 证明

f (x)在 x ? 0

处连续且可微,但

f '( x)

在x

? 0

处不连续。

2006 级高等数学试题 A-1 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
lim arcsin kx ln( 1 ? x 6 ) ? 5

x? 0

(1) 若

,则 k ? (
ln ( x ? a x ) ? ln x
3

). 与 co s x ? 1 是 等 价 无 穷 小 , 则 常 数 a ?

(2) 设 当 x ? ( ). (3) ? (4)
a
π ?π

0

时,
3

( x ? sin x ) dx ?
1 n ? tan 3 n


? tan 5 n

).
? ? tan 999 n ) ?

lim n (tan
n? ?



).

(5)

?
0

x a ? x
2 2

dx ? (

), ( a ? 0 )

.

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) (1) 下列广义积分收敛的是 ________
?

.
?

(A)

?
1

1 x

1

dx

(B )

?
0

2 x x

dx

(C )

?
0

3 x
2

?

dx

(D)

?
1

4 x x

dx

(2) 函



2 ? ? x sin x ? f ( x) ? ?2 ? x ? 1 ? ?

x ? 0 ?1? x ? 0 x ? ?1

的连续区间为 ________ (B) (D)
( ? 1 , ?? )

.

(A) (C)
80 ?

( ?? , ?? )

( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? )

( ?? , ? 1 ) ? ( ? 1 , ?? )

(3)

?
0

cos x dx ?
________
( A ) 80
.

( B ) 160

( C ) 240

( D ) 320

(4) 下列函数中在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是

.

3

1

(A)

ln x

(B)

ln x

(C)
lim
h? 0

ln ln x
h

(D) ln( 2 ?
? 1 4

x)

(5) 设 f ( x ) 在点 x 0 可导, 且 (A)4 (B) ? 4

f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 )

(C) 2

, 则 (D)-2
y'' ( x )

f '( x0 ) ?

.

(6) 设函数 (A) 0

? x ? 2e t ? 1 ? 3 y ? y ( x ) 由参数方程 ? y ? t

确定,则
3 4e
2

t ?1

? ________

.

3

1

(B)

4e

(C)

(D)

2

(7) 设 函 数
________
.

f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 2 )( x ? 7 x ? 12 )
2 2

, 则 方程 (C)4 个 绕
x

f '( x) ? 0

实 根 的 个数 为 (D) 5 个

(A) 2 个 (8) 已知椭圆 (A)
24 π

(B) 3 个
( 0 ? t ? 2? )

x ? 2 co s t , y ? 3 s i n t
.

轴旋转的体积为 V x , 则有 (D)
60 π

V x ? ________

(B) 36 π
f (x) ? 1
1

(C) 48 π

(9) x ? 0 点是函数 (A) 振荡间断点 (C) 无穷间断点
1

2x ? 2

的间断点 ________ . (B) 可去间断点 (D) 跳跃间断点

f (x) ?

5x ?1
1

5 x ? 1 ________ . (10) 曲线 (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

x (arctan 三、 分)求积分 ? (6

x ) dx
lim

2

.
? d dx
100

f (x) 3x
2

四、 6 分) ( 已知 五、 分) (6

f ' (0)
x

存在, 且

x? 0

[?

x ?x

t ln( t ?
2

1 ? t )dt ? 5 x ]
2

, 求

f ' (0)

.

y( x ) ?

? [ln( 1 ?
0

t ) ? (2 t ? 1)

? 2t

1000

]dt

,求 ,则方程
f ( x ) ? x ? ax
3 2

y

( 1001 )

(x)

. 有唯一实根.

六、 分)求心脏线 r (6 七、 分)证明:若 a (6
2

? a ( 1 ? cos ? ) 所围平面图形的面积( a ? 0
? 3b ? 0

).

? bx ? c ? 0

4

t

t

八、 分)已知 (6 求 t? 0
lim dy dx

y ? y ( x ) 是由参数

x ?

?
0

arctan

udu ,

y ?

? te
0

u

du

所确定的函数,

.
? arctan x ? p f (x) ? ? ? sin x 2 ??0 p cos x ? sin ?
[0,

0 ? x ? 1, dx x 1? x ?

?
2

九、 分) 已知 (4 (其中 p
? 0

p

?
2

),问 p 取何值时,

f (x)



]

连续。 (请详细写明过程).

07 级高等数学(上)试题 A 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
ln( 1 ? 6 x arctan x ) ?

(1) 极限 x ? ? ?

lim


x ? 0 x ? 0

) 。

(2) 设 (3) ?
a ?a

? arcsin kx ? , f (x) ? ? x ? 2, ?
2

在x (

? 0

处连续,则 k ) 。

?



) 。

x [ f ( x ) ? f ( ? x ) ? 2 ]dx ?

(4) 设 (5)

f ( x ) ? x ( x ? 1 )( x ? 2 ) ? ( x ? 100 ),



f ? ( 100 ) ?



) 。

广义积分

?

?? e

1 x (ln x )
2

dx ?



) 。

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) (1) 设当 x (A)
x
F (x) ?

? 0

?

时,

x ?
3

x

与( (C)

)是等价无穷小。
4

(B)

x

x

(D)


3

x

2

(2) 设 (A) cos x (3) ?
100 ? 0

?

x 0

sin( x ? t ) dt

(B)

,则 F ? ( x ) ? ________ ? sin x (C) sin

x

(D) 0

1 ? cos 2 x dx ?
100

________
2



(A) (4) 设 确的是 (A)

(B)

100

(C)
f ?( x ) ? 0

200

(D)
?(x) ?

200

2

f (x)

在 [ a , b ] 上可导,且 。

,若

?

x

f ( t ) dt
0

,则下列说法正

? ( x ) 在 [ a , b ] 上单调减少

(B)
5

? ( x ) 在 [ a , b ] 上单调增加

(C) (5) 已知 (A)1

? ( x ) 在 [ a , b ] 上为凹函数
f ( a ) ? 0 , f ?( a ) ? 1

(D)
n? ?

? ( x ) 在 [ a , b ] 上为凸函数

(B) ? 1
? y( x )
2

,则极限 (C) 2

lim nf ( a ?

1 n

)?

。 (D)-2
d
2

(6) 设函数 y
1? t

由参数方程
1? t
2

? x ? 1 ? ln( 1 ? t 2 ) ? ? y ? t ? arctan t
1? t

y
2

所确定,则 dx
2

?

________
2



1? t

(A)

4t

(B)

2t
2

(C)
? 7 x ? 12 )

4t

2

(D)
f '( x) ? 0

2t

2

(7) 设函数
________

f ( x ) ? ( x ? 1 )( x ? 2 )( x


,则方程

实根的个数为

(A) 2 个 (8) 曲线 y 的体积为 (A) (9)
?
2
? ln x

(B) 3 个 及直线 x
V
y

(C)4 个
? e

(D) 5 个

, x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转形成的旋转体


Vy,

则有

? ________

e

2

?

(B)

(e

2

? 1)

?

2
sin x x

(C)

(e

2

? 1)

2

2 (D) ? e

f (x) ?

是函数 (A) 振荡间断点 (C) 无穷间断点
y ? e
? 1 x
2

x ? 0

的 ________ 间断点。 (B) 可去间断点 (D) 跳跃间断点


(10) 曲线 (A)

的水平渐近线为 ________ (B)
y ? 1

y ? 0
2

(C)

y ? 2

(D)

y ? e

三、 分)求积分 (6

? (x ?

x e

x 2

dx

2)


y
2

四、 分)设函数 y (6

? y ( x ) 由方程 x

? y ln x ? 2
2

所确定,求 y ? 。

五、 分)讨论函数 (6

1 ? ? ?1 ? 2 x ? sin x , x ? 0 f (x) ? ? ? e2 , x ? 0 ?

在x

? 0 处的连续性。

六、 分)证明: (6

e

?2x

?

1? x 1? x

,

x ? (0, 1)



七、 分)设函数 (8

f ( x ) ? ?2a ?

?

x

(t
0

2

? a ) dt ( a ? 0 )
2

,试求
2

f (x)

的极大值。

八、 分)设连续函数 (8

f (x)

满足

f ( x ) ? f ( ? x ) ? sin
6

x

,求

?

?

2 ?

?
2

f ( x ) sin

6

xdx

。 2008 级高等数学试题 A-1

一、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) (1) 设当 x (A)
3

? 0 时,与 x
2

2

等价的无穷小是(
x
2

) . (D)
1 ? cos x

1 ? 3x

?1

(B)
1 x

? sin x

(C)

tan x ? sin x

(2) 设 (A) 左连续但不右连续 (C) 连续
2

1 ? ? f (x) ? ? 1? 3 ? ?0

x ? 0 x ? 0

,则 f ( x ) 在 x ? 0 点( (B) 右连续但不左连续 (D) 既不左连续也不右连续

) .

(3) ? 2 (A) 4 ?

?

4 ? x ( x cos x ? 2 )dx ?
2

(B)

0

( (C)

) .
2?

(D)

?

(4) 下列广义积分收敛的是(
??

) .
1

(A)

?
1

dx x

1

;(B)
? 2 cos ?

?
0

dx x
3

; (C)

?
?1

1 x
2

??

dx

;(D)

?
0

xe

?x

dx

(5) 由曲线 r (A) (6) 设
4?

所围成的平面图形的面积是(
3?
x0

) .
?

(B)

(C)

2?

(D)

y ? f (x)

在 点 ,而

的某 邻 域 内 具 有 三 阶连 续 导 数 , 如 果 ,则必有( ) .

f ? ( x 0 ) ? f ?? ( x 0 ) ? 0

f ??? ( x 0 ) ? 0

(A) (B) (C) (D) (7) 已知
lim
x? 0

x0 x0 x0 x0

是极值点, ( x 0, f ( x 0 )) 不是拐点 是极值点, ( x 0, f ( x 0 )) 不一定是拐点 不是极值点, ( x 0, f ( x 0 )) 是拐点 不是极值点, ( x 0, f ( x 0 )) 不是拐点 在x
? 1)

f (x)

? 0
?

的某邻域内有定义,且
1 2

f (0) ? 0

,如果 ) .

( 1 ? cos x ) f ( x ) x (e
x
2

,则

f (x)

在x (C)

? 0

处(

(A)

不可导
f (x) ? x
3

(B) 驻点
? ax
2

f ?( 0 ) ? 1

(D) 2,则 a

f ?( 0 ) ?
,b

1 2

(8) 设函数

? bx

在x

? 1 处有极值

之值(

) .

7

(A) (C)

a ? ?4, b ? 5 a ? 5, b ? 4
5

(B) (D) 共有 3 (C) 2

a ? 4, b ? ?5 a ? ?5, b ? 4

(9) 方程 x ? (A) 4 (10) 曲线 y (A)

x ?1 ? 0

(B)
1 x
2

个正根。 (D) 1 ) .

? xe

的渐近线是( (B)
x ? 1

x ? 0

(C) y

? 0

(D)

y ? 1

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) (1) 若 x ? ?
lim ( 1 ? k x )
?5 x

? e

? 10

,则 k ?

. 确定的函数 y ? y ( x ) ,则

(2) 由参数方程
d
2

? x ? arctan t ? 2 2 ? y ? t ? ln( 1 ? t )

y
2 t ?1

?

dx


3 sin x

f ( x ) ? (1 ? 2 x )

?

(3) 设
?
2

?
1

sin x x

dx

,则

f ?(

?
2

) ?



? ( 3 sin
(4)
?

2

x ? cos

2

x ) dx

?

2

=
x

. .
2 3

F (x) ?

(5) 设

?(x
0

2

? t ) dt

,则 F ? ( x ) =
(e
x

lim

? 1 ? x)
2

三、 分)求极限: (6

x? 0

ln( x ? x sin

x ) ? ln x

四、 分)求积分 (6

?

ln cos x cos
2

dx

x

. 时,
tan x ? x ?
? 2

五、 分)证明:当 (6

0 ? x ?
2

? 2

1 3

x

3



六、 分) (6 求由曲线 y ? x ? 1 , 直线 y 轴旋转一周所得立体之体积.

与 x 轴、 轴所围成的平面图形绕 x y

七、 分)设函数 (6 八、 6 分)设 (

f (x) ?

?

x 0

( t ? 3 )e

?t

dt

,试求

f (x)



[0, ? ? )

上的最小值.
x ? 0

f (x)

的原函数为

F (x) ? 0

,且

F (0) ? 1

,当

时,有

8

f ( x ) F ( x ) ? sin

2

2x

,试求

f (x)
f (x)
3?

. 在 ( ?? , ?? ) 内满足 。
f ( x ) ? f ( x ? ? ) ? si n x

九、 (4 分)设连续函数
f ( x) ? x,

,且

x ? [ 0 , ? ] ,求 ? ?

f ( x ) dx

2009 级高等数学试题(A-1)

一、选择题(毎小题 3 分,共 36 分)
1

1.当 x ? ? 时,若 ax ( (A) a (C) a )
? 0 , b ? 1, c ? 1 ? 0, b、 c

2

? bx ? c



1 x ?1

为等价无穷小,则 a,b,c 之值一定为

(B) a

? 0 , b ? 1, c

为任意常数

为任意常数
x

(D)a、b、c 均为任意常数

2.极限 x ? ? 1 ? (A)0
lim

lim

1 e

的结果是( (C) ?
? x)

) (D)不存在但也不是 ?
?

(B)1

sin ? x ? 1 ? arctan(cos

3. x ? 1

x

2

? x ?1
1?

(

)

?
4

(A)

0

(B)

(C)

1

(D) 不存在

? f (x) , ? F (x) ? ? x ? 0 , ? 4.设
f ( 0 ) ? 0 , f ?( 0 ) ? 0

x ? 0 x ? 0

,其中

f ( x )在 x ? 0

处可导,且 )

,则 x ? 0 是 F ( x ) 的( (B)第一类间断点

(A)连续点 (C)第二类间断点 5.设
f ( x ) ? (1 ? x )
x

(D)不能由此确定是连续点还是间断点
f ? (1) ?

,则



) (D) 2 ln
2

(A) ? 1 6.若函数 y (A)

(B)1
? f (x)

(C) 2 ln
? x0

2 ?1

在点 x

处取得极大值,则必有( (B)

).

f ? ( x 0 ) ? 0 且 f ?? ( x 0 ) ? 0

f ? ( x 0 ) ? 0 且 f ?? ( x 0 ) ? 0

9

(C)
1

f ?( x 0 ) ? 0
x cos x 1? x
2

(D)
) dx ?

f ?( x 0 ) ? 0 或 f ?( x 0 ) 不 存 在

7. ? 1

? (x

2

1? x

3

?

( )
4 2 9 8 2 9
4

(A)0 8.若
f (x)

(B)

(C)
x

(D) 9 )

的导函数为 sin

,则

f (x)

有一个原函数为(

(A) 1 ? sin x 9.由曲线 y 积是( (A)
?
? x
2

(B) 1 ? sin x

(C) 1 ? cos x

(D) 1 ? cos x 轴旋转一周所得旋转体的体

及直线 y

? 0, x ? 1 所围平面图形绕 y

).

?

1 0

x dx

4

(B)

?

?

1 0

x dx

2

(C)

?

?

1

yd y
0

(D)

?

?

1 0

(1 ? y ) d y

1] 10. 区间 [ ? 1, 上满足罗尔定理条件的函数是(

).
x ?1
2

s in x

2

(A) 11.函数 y

x

(B)
?x

( x ? 1)

2

(C)

x3

(D)

? xe

在区间(

)内是单调减少的并且其图形是凸的。 (C) [1, 2 ] )
??

(A) [ 2 , ?? )

(B) ( ?? ,1]

(D) [1, ?? )

12.下列反常积分收敛的是(
??

(A)

?
1

dx x

1

(B) 0

?

dx x
3

(C) ? ?

?1?

x x
2

??

dx

(D)

? xe
0

?x

dx

二、填空题(每小题 4 分,共 32 分)
? ??1 ? x ?? f ( x ) ? ?? a ? 2 ? e ?
1

?x ? , ? ,

x ? 0 x ? 0

1.当 a=__________时,函数 2.函 数
y ? 2
x

在x

? 0 连续。
x
n

的 n 阶 麦 克 劳 林 展 开 式 中 含

项 的 系 数 是

____________________。
? x ? 2 te ? 1 ? 3 ? y ? t ? 3t
t

d y

2

3.设

y ? y ( x ) 由方程组

确定,则

dx

2 x ?1

?



10

y ?1?

x ( x ? 3)
2

4.曲线
? ?x ? ? ? ? y ? ? 5.曲线 ?
t
2

的拐点是



? u ln udu
1 t

?u
1

2

ln udu

在t

? 1 处的切线方程

为__________________
f (x) ? x ta n x



6.函数

的可去间断点为___________________。
? 4 所围图形的面积是

7.由曲线 y

? x

2

与y



? 8. cos

sin 4 x
2

2x ? 4

dx ?



三、解答题(共 32 分)
lim 1 ? ta n x ?
2

1 ? s in x

1. 分) (7

求极限

x? 0

x s in x


? 1 , x ? 0 ?1 ? x ? f (x) ? ? ? 1 , x ? 0 ?1 ? e x ?

2

2. 分)计算定积分 (7

?
0

f ( x ? 1 )dx

,其中
xy ) ? x y
2 2



3. 分)求由方程 cos( (6

所确定的函数 y 的微分。
?t

x

f (x) ?

4. 分)求函数 (6 5. 分)证明:当 x (6

? (2 ? t )e
0

dt .

在 [ 0 , ?? ) 的最大值。
1? x ) ?
2

? 0 时, 1 ? x ln( x ?

1? x

2



05 级高等数学试题 A-1 标准答案及评分标准 制定教师 刘春凤 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)解:
8 .;(2) 2 ; (3) 0 ;(4) 500500 ;(5) (1) 二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分)解: DCCDD;BCCCD k ? 5
? 1

审核人 米翠兰

?
2

a

2

11

三、 分) (6
lim (
x? 0

3? x ? e x ? 2

x

1

解:

) sin

x

? e

x ? 0 sin

lim

1 x
x

ln(

3? x ? e x?2

x

)

……………….2 分

? e
? e
四、 分) (6 解:
lim f (x) 3x
x? 0

x? 0

lim

1? e

x ( x?2)

……………….4 分 ……………….6 分

?

1 2

? 3

……………….3 分



lim f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0
x? 0

f ? ( 0 ) ? lim

f (x) x

x? 0

? 9

……………….6 分
1000

五、 分) (6 解: y ? ( x ) ? sin x cos x ? ( 2 x ? 1 )
? 1 2
( 1 0 0) 1

? 100 x
100

100

……………… ………………

2分 3分

sin 2 x ? ( 2 x ? 1 ) ? 1 2
?

1000

? 100 x

y

(x)

s i n 2 x ? 1 0 0 0? (

?
2

)? 2

1 0 0 0

? 2

1 0 0 0

?1000 !

………….6 分

六、 分) (6
a 2 2

解:

S ? 4 ? ydx ? 12 a
0

? sin
0

4

t cos

2

tdt

………….3 分
6

?
2

? 12 a

2

? (sin
0

4

t ? sin

t ) dt

………….4 分
?

? 12 a (
2

3 4

?

1 2

?
2

?

5 6

?

3 4

?

1 2

?

?
2

)

?

3 8

?a

2

………….6 分
101

七、 分) (6 证明:存在性:设 f ( x ) ? x
? x
99

?1

f ( 0 ) ? ? 1 ? 0 , f (1 ) ? 1 ? 0

所以至少存在一个正根 惟一性: 又 f ? ( x ) ? 101 x 八、 分) (6
100

………….3 分
98

? 99 x

? 0

f ( x ) 单调递增,只有一个正根。

………….6 分

12

t

dy

?e
?
0

u

du ? te

t

解:

dx

arcsin t
t

………….4 分
u

lim

dy dx

?e
? lim
0 t? 0

du ? te t

t

t? 0

?1

………….6 分

九、 分) (4 解:
lim f ( x ) ? lim x sin
2 x? 0 x? 0

1 x

? 0 ? f (0)

连续 可微

………….1 分 ………….2 分

f ? ( 0 ) ? lim x s i n
x? 0

1 x

? 0

1 1 ? ?2 x s i n ? c o s f ?( x ) ? ? x x ?0 x ? 0 ?

x ? 0

………….3 分
1 x )

lim f ? ( x ) ? lim ( 2 x sin
x? 0 x? 0

1 x

? cos

不存在

f '( x)

在x

? 0

处不连续。 ………….4 分 2006 级高等数学(A-1)标准答案及评分标准 制定教师 刘春凤 审核人 马醒花

一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
k ? 5 6 .;(2)
? 1 2

(1)

; (3)

0 ;(4)

250000 ;(5)

a

二、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) DCBADCBADB 三、 分) (6 解法 1: ?
x (arctan x ) dx
2

微分部分
(arctan x)
2

积分部分
x
1 1? x
2

2 arctan

x

x

2

2 x
2 2

arctan

x

1? x

1 1? x
2

x ? arctan

x

………….2 分

13

x ? arctan

x

1
1
2

1? x ln( 1 ? x ) ? 1 2

2

(arctan

x)

2

0

2
x
2

……….4 分

?

x (arctan

x ) dx

2

= 2 (arctan
1
2

x ) - ( x ? arctan
2

x ) arctan

x

ln( 1 ? x ) ?

1 2

(arctan

x)

2

+2 解法 2:

+C

………….6 分

?
?

x (arctan
1 2

x ) dx ?
2

1 2

x (arctan x
2

2

x) ?
2

?

x arctan 1? x x dx
2

2

x

dx

x (arctan

2

x) ?
2

?

?1?1
2

1? x

arctan

……… .2 分
arctan x dx

?

1 2

x (arctan

2

x) ?
2

? arctan

x dx ?

?1?

1 x
2

………….4 分
x) ? C
2

?

1 2

x (arctan

2

x ) ? x arctan
2

x ?

1 2

ln( 1 ? x ) ?
2

1 2

(arctan

………….6 分

四、 分) (6
lim f (x) 3x ? 5

解:

x? 0

……………….3 分 …… ……………4 分


lim

lim f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0
x? 0

f ( x ) ? f (0) 3x

x? 0

?

1 3

f '(0) ? 5

… …………………….6 分

f ? ( 0 ) ? 15

五、 分) (6 解: y ? ( x ) ? ln( x ? 1 ) ? ( 2 x ? 1 )
2 100

? 2x

1000

………………3 分

y

( 1 0 0) 1

? ?

999 ! ( x ? 1)

(x)

1 0 0 0

? 2?1000 !

……………….6 分

六、 分) (6
dA ? 1 2 a ( 1 ? cos ? ) d ?
2 2

解:

14

A ? 2?
?
0

1 2

a

2

?

?
0

1 2

a ( 1 ? cos ? ) d ?
2 2

……………….2 分 ……………….4 分

? a

2

?

( 1 ? 2 cos ? ? cos ? ) d ?
2

?

a

2

2 ? a
2

?

?
??

( 1 ? 2 cos ? ? cos

2

? )d ?

( 2? ? 0 ? ? ) ?

3 2

? a .
2

2

……………….6 分

七、 分) (6 证明一: 因为三次多项式 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c ? 0 可能有三个实根或一个实根,
3 2

如果 f ( x ) 有三个实根, 根据罗尔定理 f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b 至少有两个实根, ………….3
2



2 而 f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ,当 a ? 3 b ? 0 时,没有实根,如此方程

2

f ( x ) ? x ? ax
3

2

? bx ? c ? 0 只有一实根。…

……….6

分 证明二: 因为 x ? ? ? 分
2 因为 f ' ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ;所以 ? ? 4 a ? 12 b ;

lim f ( x ) ? ? ? ? 0

, x ? ?? 且

lim f ( x ) ? ? ? ? 0

, 所以 f ( x ) 一定有实根。 ….2

2

2 2 因为 a ? 3 b ? 0 ,所以 ? ? 4 a ? 12 b ? 0 。

所 增。 所 根。



f (x) ? 0





f (x)







…….5 分 以
f (x)





一 …….6 分





八、 分) (6
t

dy

?e
?
0

u

du ? te

t

解:

dx

arctan t
15

………….4 分

t

lim

dy dx

?e
? lim
0 t? 0

u

du ? te t

t

t? 0

? 2

………….6

分 九、 分) (4
π

解:

I ?

?

2 0

sin cos
p

p

x
p

x ? sin

dx x

( p ? 0)



x ?

π 2

?t

I ? ??π

0

sin ( cos (
p

p

π 2

? t)
p

2

π 2

? t) ? s i n (

π 2

dt ? t)
?

π

?

2 0

cos sin
p

p

t
p

t ? cos

dt ? I t

………….

2分

I ?

1

π 2 0

? 2

sin sin

p p

x ? cos x ? cos

p p

x x

dx ?

1 2

?

π 2

?

π 4

………….3


lim? f ( x ) ? 4
[0,

?

又因为 x ? 1

? ,所以只要 p ? 0 , f ( x ) 在

] 2 连续.

…….4 分

07 级高等数学(上)试题 A 卷答案
4

a

3

一、(1) 0 (2) 2 (3) 3 二、C C D C B A B C D B

(4) 100 !
1 x ? 2
x

(5) 1

三、解:
? ? ? ?

? (x ?
2 x

x e

2

x 2

2)

dx ? ? x 2 e x d ( ?

)

………….2 分

x e
2

x ? 2 x e
x

? ?

? ?

1 x ? 2 xe dx
x

( 2 xe

x

? x e )dx
2

x ? 2
2 x

………….4


? ? x e x ? 2 ? e ( x ? 1) ? C
x

………….6
? y ln x ? 2
2


y 2

四、解:将原方程转化为 两边对 x 求导得:

e

ln x

………….2 分

16

y

2

e

ln x

( 2 y y ? ln x ?

y

2

) ? 2 y y ? ln x ? y
2

y

2

? 0

x
y 2

x ) ? 0

, ………….4 分

(e

ln x

? 1 )( 2 y y ? ln x ?


y 2

x 2 y y ? ln x ? y
2

e

ln x

? 1 ? 0 ,所以

? 0

x


1

y? ? ?

y 2 x ln x 。
1 sin x

………….6

分 五、解: f ( 0 ) ? e ,
2

lim f ( x ) ?
x? 0

lim ?1 ?
x? 0

2 x ? sin x

? e

x? 0

lim 2 x ?

? e

2

………….4


lim f ( x )
x? 0

? f ( 0 ) ,所以 f ( x ) 在 x ? 0 处连续.
?2 x

………….6 分
f ( x ) 在 [ 0 ,1 ) 内 连 续 ,

六 、 证 明 : 令 f (x) ? e
f ?? ( x ) ? 4 xe
?2 x

(1 ? x ) ? (1 ? x ) , 则

?2 x f ?( x ) ? e ( ? 1 ? 2 x ) ? 1,

?? ? ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 单调增加,

………….2 ………….4 分


? ? 又 f ( 0 ) ? 0 ,所以当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 单调增加,

又 f ( 0 ) ? 0 ,所以 f ( x ) ? 0 ,即 e 分

?2 x

( 1 ? x ) ? ( 1 ? x ) ? 0 ,即

e

?2x

?

1? x 1 ? x .………….6

2 2 ? ? 七、解: f ( x ) ? x ? a , 令 f ( x ) ? 0 , 得 x ? ? a ,

………….2 分 ………….4
f (? a ) ? ?2a ? 2 3 2 3
3

f ?? ( x ) ? 2 x , 于是

f ?? ( a ) ? 2 a , f ?? ( ? a ) ? ? 2 a ,


?? 当 a ? 0 时, f ( ? a ) ? ? 2 a ? 0 , f ( x ) 取得极大值, 极大值为

a

…….6


?? 当 a ? 0 时, f ( a ) ? 2 a ? 0 , f ( x ) 取得极大值, 极大值为

f (a ) ? ? 2a ?

a

3

. …….8 则
t

分 八
?


2


xdx ? ? ? ? i
?


?
2


?
6

x ? ?t


d n

?

?

?
2

f (x)s

6

f (n t ) s ?

t

?? i

2 ?

?
2

fd( ? t ) n s

6

t

i

2

,…….4 分 以


?

?

2 ?

?
2

f ( x ) sin

6

xdx ?

1 2

?

?
2

2 ?

?
2

[ f ( ? x ) ? f ( x )] s

6

xdx

…… ,所以 式
17

.6 分 又 f ( x ) ? f ( ? x ) ? sin 原
x

?

1 2

?

?

?

2 ?

?
2

sin

8

xdx ?

?

2 0

sin

8

xdx ? 35 ? 256 .

…….8 分

2008 级高等数学(A-1)标准答案及评分标准 制定教师 一、选择题(毎小题 4 分,共 40 分) ABADD;CCADA 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) (1) k ? 2 .;(2) 12; (3) 2 ;(4) 2 ? ;(5) 三、 分) (6
lim (e
x

米翠兰 审核人 刘春凤

3x

2

? x

? 1 ? x)
2 3

2

解:

x? 0

ln( x ? x sin

x ) ? ln x
2

? lim

(e

x

? 1 ? x)
3

x? 0

ln( 1 ? x sin
(e
x

x)
x

? lim ? 1)

(e

x

? 1 ? x) x
4

2

x? 0

………………. 2 分 ………………. 3 分

? lim

? 1 ? x )( e 2x
3

x? 0

? lim

(e

x

? 1 ? x) 2x
2

x? 0

………………. 4 分
? 1 4

? lim

(e

x

? 1)

x? 0

4x

……………….6 分

四、 分) (6

解:
?

?

ln cos x cos
2

dx

x

? ln cos

xd tan x

……………….2 分
2

? tan x ln cos x ? ? tan x ln cos x ?

? tan

x dx
2

………………4 分

? (sec

x ? 1 )dx

? tan x ln cos x ? tan x ? x ? C

………………6 分

五、 分) (6
f ( x ) ? tan x ? x ?
x ?1? x x ? x
2

1 3

解:

x

2

……………….2 分

f ? ( x ) ? sec ? tan

2 2

2

? (tan x ? x )(tan x ? x ) ? 0

……………….4 分

18

f ?( x )

? (0,

? 2

), ?

从而 f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0
tan x ? x ? 1 3 x
3

所以当

0 ? x ?

2 时,



……………….6 分

六、 分) (6
5

解:

V x ? ? ? 2 ? 1 ? ? ? [ 4 ? ( x ? 1 )] dx
2 1

………………4 分 ………………4 分

? 4 ? ? ?[ 4 x ?

1 2

( x ? 1) ]
2

5 1

? 12 ?

七、 分) (6
?x ? ? 解: f ( x ) ? ( x ? 3 ) e 令 f ( x ) ? 0 , 得 x ? 3 , ?x ?3 f ?? ( x ) ? ( 4 ? x ) e , f ?? ( 3 ) ? e ? 0

……………….2 分

f ( x ) 在 x ? 3 取得极小值,

又 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 内连续且有唯一的极小值,故 f ( 3 ) 也是最小值, ……………….4 分 最小值为
3 3 3

f (3) ?

?
0

( t ? 3 )e
?t

?t

dt ?

?
0

te

?t

dt ?

? 3e
0
?3

?t

dt

. ……………….6 分

? ? ( t ? 1 )e

?

?

3 0

? 3e

?

?t

?

3 0

? ?2 ? e

八、 分) (6 解:由 ?
f ( x ) F ( x ) dx
F (x) ?

=?
1 4

sin

2

2 xdx

及 F (0) ? 1

………………2 分

x ?

sin 4 x ? 1



………………4 分
1 ? cos 4 x 1 4

? f ( x ) ? F ?( x ) =

2

x ?

sin 4 x ? 1

………………6 分
3? ?

九、 分) (4 解:

?

3? ?

f ( x ) dx ?
2? 0

?

3? ?

[ f ( x ? ? ) ? sin x ]dx ?

?

f ( x ? ? ) dx

……….2 分

x ? ? ? t?
? ?
2

f ( t ) dt ?
2? ?

?

?
0

f ( t ) dt ?

??

2?

[ f ( t ? ? ) ? sin t ] dt

? 2?

2 t ?? ? x

?
2

f ( t ? ? ) dt

?

? 2?

2

?

?

f ( x ) dx
0

……….4 分 2009 级高等数学(A-1)标准答案及评分标准
19

? ?

2

? 2

制定教师 一、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 1 B 2 D 3 B 4 B 5 C

刘春凤

审核人 肖继先

6 D

7 B

8 A

9 B

10 D

11 C

12 D

二、选择题(毎小题 4 分,共 32 分)
a ? 1 2

(ln 2 )

n

3

(6,

29 27

)

y ?

1 4

x
2

(1)

(2)

n!

(3) 2
?

(4)

(5) (8)
? 1 2

x ? 0, x ? k? ?

32

(6)可去间断点: 三、解答题(共 32 分)

2 (7) 3

ln(cos

2 x ? 4) ? C

lim

tan x ? sin x ( 1 ? tan x ? 1 ? sin x ) x sin
2

1.(7 分)原式= 分)
1

x? 0

x

…………………………(2

1
lim tan x ? sin x x sin
2 2

1

?1

=2
1

x? 0

lim

cos x x sin x

x ? 1

=2
4
1

x? 0

lim

1 ? cos x x cos x

=2 分)

x? 0

…………………………(7

2

2.(7 分) 0 分)

?

f ( x ? 1 ) dx ?

?
?1

f ( t ) dt

…………………………(2
1

0

= ?1 分)
0

?1? e

1

t

dt ?

? 1 ? t dt
0 1

1

…………………………(4

?
= ?1

1? e ? e
t

t

1? e

t

dt ?
0

? 1 ? t dt
0
1

1

t = ?t ? ln( 1 ? e ) ?? 1 ? ?ln( 1 ? t ) ?0 ? ln( e ? 1)

…………………………(7

分) 3.(6 分) 方程两端同时微分得: d cos( xy ) ? d ( x y ) ,
2 2

故 ? sin( xy )( ydx ? xdy ) ? x d ( y ) ? y d ( x ) , 分)
2 2 2 2

…………………………(3

即 ? sin( xy )( ydx ? xdy ) ? 2 x ydy ? 2 xy dx
2 2

dy ?

2 xy

2 2

? y sin xy

整理得: 分)

? 2 x y ? x sin xy

? ?

y x

dx

…………………………(6

20

?x 4.(6 分) f ? ( x ) ? ( 2 ? x ) e ,驻点为 x ? 2 。 ?x ?2 f ?? ( x ) ? ( x ? 3 ) e , f ?? ( 2 ) ? ? e ? 0

所以函数在 x ? 2 处取得极大值, f ( x ) 在 [ 0 , ?? ) 内连续且有唯一的极大值, f ( 2 ) 又 故 也 是 最 大 值。 …………………………(3 分)
2 2 ?t 2 ?t

f (2) ?

? (2 ? t )e
0
2

dt ?

? 2e
0

dt ?
2

? te
0

?t

dt

?t ?t ?2 = ?? 2 e ?0 ? ?( t ? 1) e ?0 ? e ? 1 。

…………………………(6

分) 5.(6 分)令 f ( x ) ? 1 ? x ln( x ? 分)
1? x )?
2

1? x

2



…………………………(1

则 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 连续、可导且 f ( 0 ) ? 0 。
1? f ? ( x ) ? ln( x ? 1? x )? x
2

x 1? x
2

?
2

x 1? x
2

? ln( x ?

1? x )
2

x?

1? x

, ………………………… (3

可得 f ? ( 0 ) ? 0 。 分)
1? f ?? ( x ) ? x? x 1? x 1? x
2

?
2

1 1? x
2

,显然有 f ?? ( x ) ? 0 ,

所以 f ? ( x ) 单增,即当 x ? 0 时, f ? ( x ) ? f ? ( 0 ) ? 0 , 所以 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 单增,故当 x ? 0 时, f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0 , 结论成立。 分) ………………………… (6

21


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