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2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)单元评估检测(十)


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单元评估检测(十)
第十章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选

项中,只有一项是符合题目要求的) 1.一个口袋内有大小、形状相同的 6 个白球和 5 个黑球,从中随机取出 3 个球, 则至少取到 2 个白球的概率为( )

?A?

9 11

? B?

10 11

?C ?

20 33

?D?

19 33

2.将一枚骰子连续抛掷两次,则向上点数之差的绝对值不大于 3 的概率是(
5 29 3 ?C ? ?D? 6 36 4 1 3.(1+x)10(1+ )10(x>0)展开式中的常数项为( x

)

?A?

2 3

? B?

)

(A)1 (C) C120

(B) ? C1 10 ? (D) C10 20

2

4.(2013·桂林模拟)从甲袋中摸出 1 个红球的概率为 , 从乙袋中摸出 1 个红球 的概率为 , 从两袋中各摸出一个球,则 等于( (A)2 个球都不是红球的概率 (B)2 个球都是红球的概率 (C)至少有 1 个红球的概率 (D)2 个球中恰有 1 个红球的概率
-1-

1 3

1 2

2 3

)

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5.已知 P 箱中有红球 1 个,白球 9 个,Q 箱中有白球 7 个(P,Q 箱中所有的球除 颜色外完全相同).现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱,将 Q 箱中的球充分搅 匀后,再从 Q 箱中随意取出 3 个球放入 P 箱,则红球从 P 箱移到 Q 箱,再从 Q 箱返回 P 箱中的概率等于( )

9 1 3 ? C? ? D? 100 100 5 ? ? 1 6.在区间 [? , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2 1 2 1 2 ?A? ? B? ?C? ? D? 3 ? 2 3

?A?

1 5

? B?

)

7.将编号为 1,2,3,4,5 的 5 个球放入编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,每个盒内 放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数 为( (A)6 ) (B)10 (C)20
1 9

(D)30

8.(2013·广州模拟)在正态分布 N(0, ) 中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞) 内的概率为( (A)0.097 ) (B)0.046 (C)0.03 (D)0.002 6
1 3

9.设随机变量ξ 的分布列为 P(ξ =i)=a( )i,i=1,2,3,则 a 的值为( (A)1 (B)
9 13

)

(C)

11 13

(D)

27 13

10.一份数学试卷由 25 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有 1 个选项是正确的,每题选正确得 4 分,不选或选错得 0 分,满分 100 分.小强选 对任一题的概率为 0.8,则他在这次考试中得分的期望为( (A)60 分 (C)80 分 (B)70 分 (D)90 分 )

11.(能力挑战题)在区间[0,π ]上随机取一个数 x,则事件“sin x+ 3 cos x
-2-

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≤1”发生的概率为(

)

?A?

1 4

? B?

1 3

? C?

1 2

? D?

2 3

12.设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1),则 c 等于 ( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横 线上) 13.袋中有 5 个球,其中 3 个白球,2 个黑球,现不放回地每次抽取 1 个球,则 在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率为_______. 14.一位学生每天骑车上学,从他家到学校共有 5 个交通岗.假设他在每个交通 岗是否遇到红灯是相互独立的,且每次遇到红灯的概率为 , 则他在上学途中恰 好遇到 3 次红灯的概率为_______,他在上学途中至多遇到 4 次红灯的概率为 _______. 15.(能力挑战题)为落实素质教育,某中学拟从 4 个重点研究性课题和 6 个一般 研究性课题中各选 2 个课题作为本年度该校启动的课题项目,若重点课题 A 和 一般课题 B 至少有一个被选中的不同选法种数是 k, 那么二项式(1+kx2)6 的展开 式中,x4 的系数为_______. 16.图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体 的平面展开图内的概率是 , 则此长方体的体积是_______.
1 4 1 3

-3-

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(12 分)(2013·安阳模拟)某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选 手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3 次,在 A 区每进一球得 2 分, 不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分,得分高的选手胜出.已 知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是
9 1 和 . 10 3

(1)如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准,问该选手应该选择哪个区投 篮?请说明理由. (2)求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率. 18.(12 分)某人抛掷一枚硬币,出现正面、反面的概率均为 .构造数列{an},使 得 an ?
1 ?= ??1 当第n次出现正面时, 当第n次出现反面时,
1 2

记 Sn=a1+a2+a3+?+an(n∈N*).

(1)求 S4=2 的概率. (2)若前两次均出现正面,求 2≤S6≤6 的概率.
-4-

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19.(12 分)(2012·江苏高考)设ξ 为随机变量.从棱长为 1 的正方体的 12 条棱 中任取两条,当两条棱相交时,ξ =0;当两条棱平行时,ξ 的值为两条棱之间 的距离;当两条棱异面时,ξ =1. (1)求概率 P(ξ =0). (2)求ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ ). 20.(12 分)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白 球;乙袋装有 2 个红球,n 个白球,从甲、乙两袋中各任取 2 个球. (1)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率. (2)若取到 4 个球中至少有 2 个红球的概率为 , 求 n. 21.(13 分)(2013·绵阳模拟)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向 保险公司缴纳每辆 900 元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位 获 9 000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆车在一年内发生此种 事故的概率分别为 , , , 且各车是否发生事故相互独立, 求一年内该单位在此 保险中: (1)获赔的概率. (2)获赔金额ξ 的分布列与期望. 22.(13 分)(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安 排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.
1 1 1 9 10 11 3 4

-5-

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已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望. (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算, 且各顾客的结算相互独立, 求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.(注:将频率视为概率)

答案解析
1.【解析】选 D.P=
2 1 C6 C5+C3 19 6 ? . 3 C11 33

2.【解析】选 B.抛掷骰子两次,有 36 种等可能的结果,如表:

所求概率 P=

30 5 = . 36 6 1 x 1 x 1 x

10 3. 【解析】 选 D.因为(1+x)10(1+ )10= [(1+x)(1+ )] =(2+ x+ )10=( x



1 20 ) (x>0),所以 Tr+1= Cr20 x

? x?

20-r

(

1 r r ) =C20 x10-r, 由 10-r=0,得 r=10,故 x

常数项为 T11= C10 20 ,选 D. 4.【解析】选 C.∵两个袋中都不是红球的概率为(1- )×(1- )=
-6-

1 3

1 2

1 , 3

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∴至少有 1 个红球的概率为 1- = . 5.【解析】选 B.可看作是两个独立事件 A:红球从 P 箱移到 Q 箱,B:红球从 Q 箱返回 P 箱同时发生,可知 P(A)=
2 C9 3 = ,对于 B 发生时,Q 箱中有红球 1 个, 3 C10 10

1 3

2 3

白球 9 个,再从中取出 2 白 1 红,P(B)=P(A)= , 根据独立事件同时发生的概 率计算公式,有 P=P(A)〃P(B)=
? 2 ? 2 9 ,故选 B. 100

3 10

6.【解析】选 A.当- ≤x ≤ 时,
? ? ? ? ≤x≤- 或 ≤x≤ . 2 3 3 2 ? ? 2( ? ) 1 根据几何概型概率公式求得 P= 2 3 ? . ? ? ? (? ) 3 2 2

由 cos x∈[0, ]得-

1 2

7.【解析】选 B.从编号为 1,2,3,4,5 的 5 个球中选出三个与盒子编号相同的球 的投放方法有 C3 5 =10 种;另两个球的投放方法有 1 种,所以共有 10 种不同的投 放方法.故选 B. 8.【解析】选 D.∵μ=0,σ= , ∴P(X<-1 或 X>1)=1-P(-1≤X≤1) =1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) =1-0.997 4=0.002 6. 【误区警示】由于不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误.若 随机变量ξ服从正态分布 N(μ,σ2), 那么随机变量ξ在区间(μ-σ,μ+σ),(μ -2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别约为 0.683,0.954,0.997, 应熟练掌握这几个概率值,在解决正态分布问题时,经常遇到这类数值的计算 问题. 9.【解析】选 D.P(ξ=1)=a〃 ,P(ξ=2)=a〃( )2,
-7-

1 3

1 3

1 3

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P(ξ=3)=a〃( )3, 由 P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1, 即 a〃 +a〃( )2+a〃( )3=1,所以 a=
1 3 1 3 1 3 27 . 13

1 3

10.【解析】选 C.设小强做对题数为ξ,则ξ~B(25,0.8),则他得分为 4ξ, E(4ξ)=4E(ξ)=4×25×0.8=80. 11.【解析】选 C.由题意知,此概率符合几何概型,所有基本事件包含的区域长 度为π,设 A 表示取出的 x 满足 sin x+ 3 cos x≤1 这样的事件,对条件变形
? ? 1 ? 1 为 sin(x+ )≤ ,即事件 A 包含的区域长度为 .∴P(A)= 2 = . 3 2 2 ? 2

12.【解析】选 B.∵μ=2,由正态分布的定义知其函数图象关于 x=2 对称,于 是
c+ 1+c- 1 =2 ,∴c=2. 2

【误区警示】 对正态分布 N(μ,σ2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解 透彻并记住,且注意第二个数值应该为σ2 而不是σ,同时,记住正态密度曲线 的六条性质. 13.【解析】方法一:记第二次取到白球为事件 B, 则 P(B)= = . 方法二: 第一次取到白球为事件 A, 第二次取到白球为事件 B, 则 P(A)= , P(AB)
3 P AB ? ? = 10 = 1 . A 3 = = ,P ? B | A ?= 3 2 A 10 P ?A? 5 1 答案: 2
2 3 2 5

2 4

1 2

3 5

14.【解析】该试验为独立重复试验,设遇到红灯次数为ξ,则 P(ξ=3)=
1 3 2 2 40 C3 , 5( ) ( ) = 3 3 243 1 242 P(? ? 4)= 1-P(?=5)= 1-( )5= . 3 243
-8-

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答案:

40 243

242 243

4 1 2 2 1 15.【解析】用直接法:k= C1 +C1 3C5 3C5+C3 C5 =15+30+15=60,x 的系数为

2 2 C6 k =15×3 600=54 000.

答案:54 000 16.【思路点拨】设长方体的高为 h,用 h 表示出图(2)中虚线围成的矩形的面积 及平面展开图的面积,再由几何概型的概率公式构造含有 h 的方程,求出 h 后 再求解体积. 【解析】 设长方体的高为 h, 则图(2)中虚线围成的矩形长为 2+2h, 宽为 1+2h, 面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为 2+4h;由几何概型的概率公式知
2+4h 1 = , 得 h=3,所以长方体的体积是 V=1×3=3. (2+2h)(1+2h) 4

答案:3 17.【解析】(1)设该选手在 A 区投篮的进球数为 X,则 X~B(2, ),故 E(X)=2 ×
9 9 = , 10 5 9 5 9 10

则该选手在 A 区投篮得分的期望为 2× =3.6. 设该选手在 B 区投篮的进球数为 Y,则 Y~B(3, ),故 E(Y)=3× =1, 则该选手在 B 区投篮得分的期望为 3×1=3. 所以该选手应该选择在 A 区投篮. (2)设“该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分”为事件 C, “该选手在 A 区 投篮得 4 分且在 B 区投篮得 3 分或 0 分”为事件 D, “该选手在 A 区投篮得 2 分 且在 B 区投篮得 0 分”为事件 E,则事件 C=D∪E,且事件 D 与事件 E 互斥. P(D)=
81 4 8 3 ?( ? ) ? , 100 9 27 5 18 8 4 3 4 49 P ?E? ? ? ? ,P ? C ? ? P(D ? E) ? ? ? , 故该选手在 A 区投篮得分高于在 B 100 27 75 5 75 75
-9-

1 3

1 3

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区投篮得分的概率为

49 . 75

18.【解析】(1)某人抛掷一枚硬币 4 次,共有 24 种可能. 设 S4=2 为事件 A,则 A 表示抛硬币 4 次,恰好三次正面向上,一次反面向上, 包含 4 种可能, 所以 P(A)=
4 1 = . 24 4

(2)抛 6 次,若前两次均出现正面,则可能结果有 24 种. 设 2≤S6≤6 为事件 B,S6=2 表示 4 次中 2 次正面向上,2 次正面向下,有 6 种 可能;S6=4 表示 4 次中恰好 3 次正面向上,1 次反面向上,有 4 种可能;S6=6 表示都是正面向上,有 1 种可能,则 B 包含 6+4+1=11(种)可能,所以 P(B) =
11 11 = . 24 16

19.【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,过任意 1
2 8C3 8? 3 4 个顶点恰有 3 条棱,所以共有 8C 对相交棱,因此 P(ξ=0)= 2 = = . C12 66 11

2 3

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, 故 P(ξ= 2 )=
6 1 = , 2 C12 11
4 1 6 11 11 11

于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2 )=1- - = , 所以随机变量ξ的分布列是

因此 E(ξ)= 0 ?

4 6 1 6+ 2 ? 1? + 2 ? = . 11 11 11 11

20.【解析】(1)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A.

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2 C2 1 1 1 2 C2 ? ? ? . 2 2 C4 C5 6 10 60

P ? A? ?

(2)记 “取到的 4 个球至多有 1 个红球” 为事件 B, “取到的 4 个球只有 1 个红球” 为事件 B1, “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2,由题意,得 P(B)=1- ? .
P ? B1 ? ?
1 1 1 C1 C2 C2 2n 2 2 C2 n 2 C2 Cn ? ? , 2 2 C2 C2 C4 Cn 3 ? n ? 2 ?? n ? 1? 4 n ?2 ?2

3 4

1 4

n ? n ? 1? C2 C2 2 P(B2)= 2 2n ? , C4 Cn ?2 6 ? n ? 2 ?? n ? 1?

所以 P(B)=P(B1)+P(B2)=
3 7

n ? n ?1? 2n 2 1 化简, 得 7n2-11n-6=0, ? ? , 3 ? n ? 2 ?? n ?1? 6 ? n ? 2 ??n ?1? 4

解得 n=2,或 n= ? (舍去),故 n=2. 【方法技巧】判断事件是否相互独立的方法 (1)利用定义: 事件 A,B 相互独立?P(AB)=P(A)〃P(B). (2)利用性质:A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B,
A 与 B 也都相互独立.

(3)具体背景下: ①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的; ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 21.【解析】设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故,k=1,2,3.由题意知 A1, A2,A3 独立,且 P(A1)= ,P(A2)= (1)该单位一年内获赔的概率为
8 9 10 3 1 ? P(A1 A 2 A 3 ) ? 1 ? P A1 P A 2 P A 3 ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11
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1 9

1 1 ,P(A3)= . 10 11

? ? ? ? ? ?

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(2)ξ的所有可能取值为 0,9 000,18 000,27 000.
8 9 10 8 P(? ? 0) ? P(A1 A 2 A 3 ) ? P A1 P A 2 P A 3 ? ? ? ? , 9 10 11 11

? ? ? ? ? ?

P(ξ=9 000)= P(A1 A2 A3 ) ? P(A1A2 A3 ) ? P(A1 A2A3 )
? P ? A1 ? P A 2 P A3 ? P A1 P ? A 2 ? P A3 ? P A1 P A 2 P ? A3 ?
1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

P(ξ=18 000)= P(A1A2 A3 ) ? P(A1 A2A3 ) ? P(A1A2A3 )
? P ? A1 ? P ? A 2 ? P A3 ? P ? A1 ? P A 2 P ? A 3 ? ? P A1 P ? A 2 ? P ? A 3 ?
1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 P(? ? 27 000) ? P(A1A 2 A 3 ) ? P ? A1 ? P ? A 2 ? P ? A 3 ? ? ? ? ? . 9 10 11 990

? ?

? ?

? ?

综上知,ξ的分布列为

由ξ的分布列得 E(ξ)=0× 2 718.18(元).

8 11 3 1 29 900 +9 000× +18 000× +27 000× = ≈ 11 990 11 45 110

22.【解析】(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45, 所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次 购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,将频率视为概 率得
15 3 30 3 P(X= 1)= = ,P(X= 1.5)= = , 100 20 100 10 25 1 20 1 P(X=2)= = ,P(X=2.5)= = , 100 4 100 5 10 1 P(X=3)= = . 100 10

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X 的分布列为

X 的数学期望为
E ? X ?= 1? 3 3 1 1 1 + 1.5 ? +2 ? +2.5 ? +3 ? = 1.9. 20 10 4 5 10

(2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” ,Xi(i=1,2)为该顾 客前面第 i 位顾客的结算时间,则 P(A)=P(X1=1 且 X2=1)+P(X1=1 且 X2=1.5)+P(X1=1.5 且 X2=1). 由于各顾客的结算相互独立,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1)=
3 3 3 3 3 3 9 ? + ? + ? = . 20 20 20 10 10 20 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

9 . 80

【变式备选】某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业 班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格. 把 所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从 左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1)求这次铅球测试成绩合格的人数. (2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取 两名,记 X 表示两人中成绩不合格的人数,求 X 的分布列及数学期望. (3)经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现 甲、乙各投掷一次,求甲比乙投掷远的概率.
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【解析】(1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为
7 =50(人). 0.14

∴第 4,5,6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). (2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为 P(X=0)= ( )2=
P(X= 1)=C1 2?
18 25 324 , 625 14 7 7 = ,∴X~B(2, ). 50 25 25

7 18 252 ? = , 25 25 625 7 49 P(X=2)=( ) 2= . 25 625

所求分布列为

E(X)= 0 ?

324 252 49 14 + 1? +2 ? = . 625 625 625 25

(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x,y 米,则基本事件满足的区域为
10, ?8 ? x< 事件 A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为 x>y,如图所示. ? 10.5, ?9.5 ? y<

1 1 1 ? ? 1 2 由几何概型得 P(A)= 2 2 = . 1? 2 16

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2014年高中数学复习方略课时作业:单元评估检测(二)(人教A版·数学理·浙江专用)]

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2014年高中数学复习方略课时作业:单元评估检测(八)(人教A版·数学理·浙江专用)]

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2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第八章 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

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2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第九章 第二节随 机 抽 样

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2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)阶段滚动检测(一)

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2014年高中数学复习方略课时作业:单元评估检测(九)(人教A版·数学理·浙江专用)]

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