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山西省大同市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


2015~2016 学年度第一学期 期末试卷 高 二 数 学(文)
第Ⅰ卷 客观卷(共 48 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y ? 4x2 的焦点到准线的距离是( )

A.2
2.如果方程

B.4
<

br />C.

1 8

D.

1 4

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,那么实数 m 的取值范围是( ) m ?1 m ? 2
B.m<1 或 m>2 D.-1<m<1 或 m>2

A.m>2 C.-1<m<2

3.已知命题 p、q,如果 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,那么 q 是 p 的( )

A.必要不充分条件 C.充要条件
4. 已知双曲线 C :

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要


y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 , 则 C 的渐近线方程为 ( 2 a b 2
B. y ? ?3x D. y ? ?2 x

1 x 4 1 C. y ? ? x 2
A. y ? ?

5.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? ; ③若 ? ? ? ? n , m // n ,则 m // ? 且 m // ? ;④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? . 其中正确的命题有( ) A.① B.②

C.③④

D.②④

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
1

A. 8 ? 2? C. 8 ?

B. 8 ? ? D. 8 ?

? 2

? 4

7.下列叙述中正确的是( )

A. “m=2”是“ l1 : 2x ? ? m ?1? y ? 4 ? 0 与 l2 :

mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行”的充分条件
B. “方程 Ax2 ? By 2 ? 1 表示椭圆”的充要条件是“ A ? B ”
2 C.命题“ ?x ? R , x 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R , x0 ?0”

D.命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题为“a+b 不是偶数,则 a、b 都
是奇数” 8.直线 y=a 与函数 y ? x3 ? 3x 的图象有三个相异的点,则 a 的取值范围是( )

A.(-2,2)

B. ? ?2, 2?

C. ? 2, ? ??

D. ? ??, ? 2?

9.已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 ,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC,BD,则四边形 ABCD 的面积为( )

A. 10 6
x

B. 20 6

C. 30 6

D. 40 6

10、已知 f ? x ? ? e ? 2xf ? ?1? ,则 f ? ? 0? 等于( )

B. 1 ? 2e C. ?2e D. 2 e 11、 设过抛物线的焦点 F 的弦为 PQ, 则以 PQ 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上均有可能

A. 1 ? 2e

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 B(2,2), F1 、 F2 是其左右焦点,M 为椭圆上的动点, 12、已知椭圆 32 16 ???? ? ???? 则 MF1 ? MB 的最小值为( )
A. 4 3 B. 6 2 C.4 D.6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上)

2

13. 已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 , 曲线 y ? f ? x ? 在点 P(-1, b)处的切线平行于直线 3x+y=0, 则切线方程为 14.已知 .

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 、F2 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直 a 2 b2
C1

线与双曲线左支交于 A、B 两点,若 ?ABF2 为正三角形,则双曲线的离心率 D1 N 为 . A1 B1 15.已知点 E,F,M,N 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 棱 AA1,AD,BB1,B1C1 的中点,则异面直线 EF 和 MN 所成的角为 . E D M

C

F A B 16. 已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 8 的两个焦点分别为 F A 为椭圆上任意一点, AP 是 ?AF1 F2 F2 , 1、 的外角平分线,且 AP ? F2 P ? 0 ,则点 P 的轨迹方程为 三、解答题(解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 8 分)设命题 p: “ ?x ? R , x ? 2 x ? a ” ,命题 q: “ ?x ? R ,
2

??? ? ???? ?



x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ” ,如果 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 8 分)一边长为 a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都为 x 的小 正方形,然后做成一个无盖方盒。 (1)试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数。 (2) x 多大时,方盒的容积 V 最大?

x
a

3

19.(本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,

AB ? DC , ?BCD ? 90? 。
(1)求证: PC ? BC ; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。

20. (本小题满分 10 分)已知椭圆 C 中心在原点,焦点在 x 轴,椭圆 C 上的点到焦点的 距离最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l: y=kx+m( k ? 0 )与椭圆交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点)且以 AB 为直径的圆过 C 的右顶点 M,求证:l 过定点,并求该定点坐标.

4

高二数学(文) 答案 一、选择题 1~5:CDBDD 二、填空题 13. 3x ? y ? 1 ? 0 三、解答题 17.解: 若命题 p 为真,则 x ? 2 x ? a ? 0 在 R 上恒成立.
2

6~10:BAABB

11~12:BB 16. x 2 ? y 2 ? 8

14. 3

15. 90

?

∴ ??0

∴ 4 ? 4a ? 0 ,即: a ? ?1 .∴ p 为真时, a ? ?1 ;p 为假时,a ? -1. ∴ 4a ? 4 ? 2 ? a ? ? 0 ,
2

2 若命题 q 为真, 则 x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在 R 上有解. ∴ ??0

即: a ? 1 或 a ? ?2 .∴ q 为真时, a ? 1 或 a ? ?2 ;q 为假时,-2<a<1. 依题意得:p、q 中一真一假.若 p 真 q 假时, a ? ?1 且-2<a<1,即: ?2 ? a ? ?1 . ① 若 p 假 q 真时, a ? -1 且 a ? 1 或 a ? ?2 , 即:a ? 1 . 综上所述:?2 ? a ? ?1 或 a ? 1 . 18.解:(1)无盖方盒的容积 V ( x ) ? ? a ? 2 x ? x, 0 ? x ?
2

a 。 2

(2)因为 V ( x) ? 4x3 ? 4ax2 ? a2 x ,所以 V ?( x) ? 12 x2 ? 8ax ? a 2 ,令 V ?( x) ? 0 得

a a a a a a (舍),x ? 。 , ( ) 时, V ?( x) ? 0 , V ?( x) ? 0 , 当 x ?0 当 x ? ( , ) 时, 因此 x ? 6 2 6 6 6 2 a 是函数 V ( x) 的极大值点,也是最大值点,故当 x ? 时,方盒的容积最大。 6 D ? B C , 19.解: (1) 证明: 因为 PD ? 平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD, 所以 PD ? BC , 而C

x?

又 PD ? DC ? D ,故 BC ? 平面PCD ,故 PC ? BC 。 (2)分别取 AB,PC 的中点 E,F,连接 DE,DF,易证 DE ? BC , DF ? PC ,则

DE ? 平面PBC ,故点 D,E 到面 PBC 的距离相等,所以点 A 到面 PBC 的距离为点 D 到
C ?面 P C D 面 PBC 的距离的 2 倍。 由 ( 1) 知B
, 所以 面PBC ? 面PCD , 又因为 DF ? PC ,

,所以DF= 所以 DF ? 面PBC , 因为 PD=DC=1

2 , 所以点 A 到面 PBC 的距离为 2 。 2

20.解: (1)设椭圆的长半轴为 a,半焦距为 c,则依题意得:?

?a ? c ? 3 ?a ? 2 ,解得:? ?a ? c ? 1 ?c ? 1

5

x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆 C 的标准方程为 4 3

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 (2)由方程组 ? 4 消去 y,得: ? 3 ? 4 k ? x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 3 ? y ? kx ? m ?
依题意得: ? ? ? 8km ? ? 4 3 ? 4k
2

?

2

?? 4m

2

? 12 ? ? 0

整理得: 3 ? 4k ? m ? 0
2 2

①设 A? x1, y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

依题意得:AM⊥BM,且椭圆的右顶点为 M(2,0) ∴

? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? 0

2 2 即: 1 ? k x1 x2 ? ? km ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? m ? 4 ? 0

?

?

4m2 ? 12 ?8km ? ? km ? 2 ? ? ? m2 ? 4 ? 0 , 也即: ?1 ? k ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2

整理得: 7m ? 16mk ? 4k ? 0
2 2

解得:m=﹣2k 或 m ? ?

2k , 7

当 m=﹣2k 时,直线 l 的方程为 y=kx﹣2k,过定点(2,0) ,舍去, 当m ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时,直线 l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,过定点 ? , 0 ? , 7 7? ? ?7 ?

故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ? , 0 ? .

?2 ?7

? ?

6


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