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1.2充分条件与必要条件


知识回顾:
①四种命题的概念及相互关系; ②四种命题之间的相互转化。 原命题是相对于其它 关键:找出原命题 三个命题而言的,任何 的条件和结论。 一个命题都可以作为原 命题。

四种命题之间的关系

原命题
若p 则q
互 否

互逆

逆命题
若q 则 p

互 否

否命题
若﹁p,则﹁q

互逆

逆否命题
若﹁q,则﹁p

原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真假

问 题 情 境
学生会 招聘广告: 为扩大学生会队伍,需招收若干 名部长.条件是品貌端庄,成绩 位于班级前10名,在班级中担任 班干部,面试通过后录用.有意 者请与政教处郑老师联系.
思考: 如果你能被录用成为学生会干部,必须满足什么条件?

如果你是班长能被学生会录用吗?

1.1.2充分条

件和必要条件

一个符号:
推断符号

?与

的含义

如果命题“若p则q”为真,则记作p (或q p)。读作 “ p推出 q ”.

?

?q
q

如果命题“若p则q”为假,则记作p (或q

p)。读作 “ p推不出 q ”.

判断下列命题的真假,并用
2

? 与
2

表示.

(1)若x=y,则 x ? y (2)若ab = 0,则a = 0 2 (3)若x >1,则x<1 2 (4)若x=1或x=2,则 -3x+2=0

真 假 假 真

x

一个定义
一般地,如果 p

? q,那么称p是q的充分条件
同时称q是p的必要条件

如果 p ? q ,且 q ? p,称p是q的充分必要条件,简 称为p是q的充要条件记作: p ? q 如果 如果p

p ? q,且q
q, 且q ?

p,则说p是q的充分不必要条件

p ,则说p是q的必要不充分条件
p , 则说p是q的既不充分也不

如果p q, 且 q 必要条件

数学运用 2 2 充分不必要 条件 (1)x=y是 x ? y 的_____________ 必要不充分 (2)ab = 0是a = 0 的________________ 条件 2 既不充分又不必要 条件 (3) x >1是x<1的__________________ 2 充要 条件 (4)x=1或x=2是 -3x+2=0的_____

x

从集合的角度理解充要条件:

A ? B, 且B ? A 充分不必要条件 A ? B, 且B ? A 必要不充分条件 A ? B, 且B ? A 充要条件 A ? B, 且B ? A 既不充分又不必要条件



学生活动

1、用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”填
(1)“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 (2)“四边相等”是“四边形是正方形”的
必要不充分

件;

充分不必要



必要不充分



件; (3)“x≠3”是“|x| ≠3”的

充分不必要

条件; 充分不必要

(4)“x-1=0”是“x2-1=0”的
必要不充分

条件;

(5)“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 条件;

条件

(6)“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的

(7) 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a , b , c 都不
必要不充分 条件; __________

为0)来说,“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的
充分不必要 条件; (8) “a=2,b=3”是“a+b=5”的 充分不必要 (10) “一个自然数能被5整除”的

必要不充分 条件是“a+b是偶数” (9) “a和b都是偶数”的

条件

是“个位数字是5的自然数”

2、在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:

⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分不必要 __________条件; 必要不充分条件; ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 充要 ⑶如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________ 条件; ⑷如图④所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件.
既不充分也不必要

例1 : x是实数,“ x ? 1”是“x ? 2”的什么条件?
A

B

A ? B时 “x ? A”是“x ? B”的什么条件?

必要不充分条件

举例 若你温岭人,则你是浙江人
你是高中生,则你是学生
充分不必要 练习:(1) x >1是 x≥1的_______
必要不充分 (2) x2 >1是 x >1的_______

(3)使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件 C 是( ) A. x<0 B. x≥0 1 C. x∈{-1,3,5} D. x≤- 或x≥3 2 (4)设p,q是两个命题:

5 1 p :| x | ?3 ? 0,q : x ? x ? ? 0 , 6 6
2

则p是q的( A )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 变式 1: 若p : 3 x ? 4 ? 2, q : 2 ? 0, x ? x?2 则?p是?q的 什 么 条 件 ?
1 变式2:若p : 3x ? 4 ? a(a ? 7), q : 2 ? 0, x ?x?2 则?p是?q的什么条件?
1 变式 3: 若p : 3 x ? 4 ? a(a ? 0), q : 2 ? 0, x ? x?2 且?p是?q的 充 分 不 必 要 条 件 , 求a的 值 .

例2:已知p : ?2 ? x ? 10, q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0(m ? 0),
2 2

若?p是?q的充分不必要条件, 求实数m的取值范围。 0<m≤3
变: 2.已知p : A ? { x | x 2 ? ax ? 1 ? 0}, q : B ? { x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0},
若p是q的充分不必要条件, 求实数a的取值范围 .

例3:求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的 q 充要条件是ac<0.

p 一般形式: ac<0是一元二次方程ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件. 条件p: ac<0
结论q:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根

要证 p 是 q 的充要条件,就是要证明两个命题成立 : ⑴充分性( p ? q ) ; ⑵必要性( p ? q )

小结
1. 推断符号 "?"与等价符号 " ?". 2. 充分条件, 必要条件, 充要条件的定义. 若p ? q但q ? p,则p是q的充分而不必要条件.

若q ? p但p ? q,则p是q的必要而不充分条件. 若p ? q且q ? p,即p ? q,则p,q互为充要条件. 若p ? q且q ? p,则p是q的既不充分也不必要条件 3. 运用定义进行判断 .

判断时应注意:条件是什么,结论是什么.

作 业 布 置
生活中的一些名言警句包含着充要关系, 如:“骄兵必败”、“玉不琢,不成器”、 “若要人不知,除非己莫为”等等. 请大家自己试着找一些,分析其充要关系. 感受数学的魅力.

提高题:
3.方程 x 2 ? mx ? 4 ? 0在 [?1, 1]上有解, 求实数 m的取值范围 .
m ? ?5 或 m ? 5

4.集合A ? {( x , y ) | x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0}, B ? {( x , y ) | y ? x ? 1,0 ? x ? 2}, 若A ? B ? ? , 求实数m的取值范围 .

m ? ?1

3、设甲、乙、丙是三个命题, 如果甲是乙的必要条件; 丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( A ) (A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C)丙是甲的充要条件 (D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

6、 已知: ⊙O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的 距离为 d . 求证 : d ? r 是直线 l 与 ⊙O 相切的充要条

件.
分析: p : d ? r ,

q:

直线 l 与 ⊙O 相切.

要证

p 是 q 的充要条件 ,就是要证明两个命题成

立: ⑴充分性 ( p ? q ) ; ⑵必要性 ( p ? q )

判断下列命题的真假,并用
2

? 与
2

表示. 真 假 真 真 真 假

(1)若x=y,则 x ? y (2)若ab = 0,则a = 0 2 (3)若x=1或x=2,则 x -3x+2=0 (4)若 x >1,则 x≥1 2 (5)若 x >1,则 x >1 2 (6)若 x >1,则 x >1

建构数学
问题2:如何理解充分条件与必要条件中的 “充分”与“必要”呢?
上述定义知“ p ? q ”表示有p必有q,所以p是q的 充分条件,但同时说q是p的必要条件是为什么呢? q 是p必要条件说明没有q就没有p了, q是 p成立的必 不可少条件,但有q 未必一定有p。

充分性:说条件是充分的,也就是说条件是充 足的,条件是足够的,条件是足以保证的。 “有之必成立,无之未必不成立” 必要性:必要就是必须,必不可少。 “有之未必成立,无之必不成立”


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