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立体几何第2讲 空间几何体的表面积与体积


第2讲
【高考趋势】

空间几何体的表面积与体积

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图 及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大. 【复习指导】 本讲复习时,熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式,运用这些公式 解决一些简单的问题. 基础梳理 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 面 圆柱

积 体 积

S 侧=2πrh

V=Sh=πr2h 1 1 1 V=3Sh=3πr2h=3 πr2 l2-r2

圆锥

S 侧=πrl

圆台

S 侧=π(r1+r2)l S 侧=Ch 1 S 侧=2Ch′ 1 S 侧=2(C+C′)h′ S 球面=4πR2

1 1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h=3 π(r2+r2+r1r2)h 1 2

直棱柱 正棱锥 正棱台 球 2.几何体的表面积

V=Sh 1 V=3Sh 1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h 4 V=3πR3

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等 于侧面积与底面面积之和.

两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接.解题时要认真 分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的 截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球 的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于 球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组 合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图. (2)等积法: 等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体) 的面积(或体积)通过已知条件可以得到, 利用等积法可以用来求解几何图形的高或 几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回避了具体通过作 图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形, 那么这个圆柱的侧面积是( A.4πS C.πS ). B.2πS 2 3 D. πS 3 S π,

解析 设圆柱底面圆的半径为 r,高为 h,则 r= 又 h=2πr=2 πS,∴S 圆柱侧=(2 πS)2=4πS. 答案 A

2.(2012· 东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个 球面上,则该球的表面积为( A.3πa2 解析 B.6πa2 ). C.12πa2 D.24πa2

由于长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,则长方体的体对角线长为

?2a?2+a2+a2= 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的体对角线,∴2R= 6a.∴S 球=4πR2=6πa2. 答案 B

3.(2011· 北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( A.8 C.10 B.6 2 D.8 2 ).

解析 由三视图可知, 该几何体的四个面都是直角三角形, 面积分别为 6,6 2, 8,10, 所以面积最大的是 10,故选择 C. 答案 C 4.(2011· 湖南)设

右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( 9 A.2π+12 C.9π+42 9 B.2π+18 D.36π+18

).

解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为 3,长方体的 4 ?3? 9 底面是边长为 3 的正方形,高为 2,故所求体积为 2×32+3π?2?3=2π+18. ? ? 答案 B 5.若一个球的体积为 4 3π,则它的表面积为________. 4π 解析 V= 3 R3=4 3π,∴R= 3,S=4πR2=4π·3=12π. 答案 12π 考向一 几何体的表面积

【例 1】?(2011· 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ).

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

[审题视点] 由三视图还原几何体, 把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积. 解析 换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为 4 的直棱柱, 且等腰梯形的两底分别为 2,4,高为 4,故腰长为 17,所以该几何体的表面积为 48+8 17. 答案 C 以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行 恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系. 【训练 1】 若一

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( A. 3 C.2 3 B.2 D.6

).

解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为 2 的正三角形、侧棱为 1 的直三 棱柱,则此三棱柱的侧面积为 2×1×3=6. 答案 D 考向二 几何体的体积

【例 2】?(2011· 广东)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左 视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ).

A.18 3

B.12 3

C.9 3

D.6 3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据和几何体的体积公式 求解.

解析

该几何体为一个斜棱柱,其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是边

长为 3 的正方形,高为 3,故 V=3×3× 3=9 3. 答案 C 以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原几 何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系, 然后在直观图中求解. 【训练 2】 (2012· 东莞模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 ( ).

28 A. 3 π 4 C.3π+8 解析

16 B. 3 π D.12 π

由三视图可知,该几何体是底面半径为 2,高为 2

的圆柱和半径为 1 的球的组合体,则该几何体的体积为 4 28 π×22×2+3π= 3 π. 答案 A 考向三 几何体的展开与折叠

【例 3】?(2012· 广州模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB, AB=4,AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何 体 DABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 DABC 的体积. [审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理,证明 BC 垂直于平面 ACD 内的两条相交 线即可;(2)利用体积公式及等体积法证明. (1)证明 在图中,可得 AC=BC=2 2,

从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC, 取 AC 的中点 O,连接 DO, 则 DO⊥AC, 又平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC, DO?平面 ADC, 从而 DO⊥平面 ABC,∴DO⊥BC, 又 AC⊥BC,AC∩DO=O,∴BC⊥平面 ACD. (2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥 BACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,∴VBACD= 1 1 4 2 S△ACD· BC=3×2×2 2= 3 , 3 4 2 由等体积性可知,几何体 DABC 的体积为 3 . (1)有关折叠问题, 一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后 的空间图形)各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪些不变. (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为 平面上两点间的最短距离问题. 【训练 3】 已知

在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面为直角三角形,∠ACB=90° ,AC=6,BC=CC1 = 2,P 是 BC1 上一动点,如图所示,则 CP+PA1 的最小值为________. 解析 PA1 在平面 A1BC1 内,PC 在平面 BCC1 内,将其铺平后转化为平面上的问题 解决.计算 A1B=AB1= 40,BC1=2,又 A1C1=6,故△A1BC1 是∠A1C1B=90° 的 直角三角形.铺平平面 A1BC1、平面 BCC1,如图所示.

CP+PA1≥A1C. 在△AC1C 中,由余弦定理得 A1C= 62+? 2?2-2· 2· 135° 50=5 2,故(CP+PA1)min=5 2. 6· cos = 答案 5 2 难点突破——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点,解决这类问题,首先要 熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如 把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大 的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的 技巧等,这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键. 【示例 1】? (2010· 安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为 ( ).

A.280 B.292 C.360 D.372

【示例 2】? (2011· 全国新课标)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面 3 的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 16,则这两个圆锥 中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________.


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