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高中数学 第三章 推理与证明 分析法在解题中的应用拓展资料素材 北师大版选修1-2


分析法在解题中的应用
好多数学问题, 条件和结论之间的关系比较复杂, 根据既定法则和事实条件, 由因导果, 一直推究下去,有时会在中途迷失方向,使解题无法进行下去.在这种情况下,可以运用分 析的解题方法,执果索因、逆向思考问题,在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件(隐含 条件、过渡条件等) ,由欲知确定需知,求需知利用已知,往往会收到“柳暗花明又一村” 的效果. 一、分

析法寻找解题思路 解题如果仅局限于由条件到结论的固定思维模式, 很容易造成思维过程的单向定势, 适 时采用由结论到条件的分析方法逆向训练,有利于养成双向考虑问题的良好习惯. 例1 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点, 点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O. 解析:要证明直线 AC 经过原点 O,只要证明原点 O 在直线 AC 上,也即直线 AC 的方程 没有常数项. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ?
2

?p ? , 0 ? ,经过点 F 的直线 AB 方程可以设为 ?2 ?

x ? my ?

p , 2
2 2

代入抛物线方程,得 y ? 2 pmy ? p ? 0 . 令 A?

? y12 ? ? y2 ? ,y1 ?,B ? 2 ,y2 ? , ? 2p ? ? 2p ?

则 y1,y2 是上述方程的两个根, 由根与系数的关系,得 y1 y2 ? ? p .
2

∵ BC ∥ x 轴,且点 C 在准线 x ? ? ∴点 C 坐标是 ? ?

p 上, 2

? p ? ,y2 ? . ? 2 ?
x?

p y ? y2 ? 2 2 , 从而直线 AC 的方程为 y1 p y1 ? y2 ? 2p 2

整理,得 2 px ? y1 y ? 0 .

0) 满足上述方程,故直线 AC 经过原点 O. 显然 O(0,
评注:由繁向简的解题习惯促使此类问题用分析法逆推寻找解题思路. 二、分析法明确解题途径 在已知与结论之间有时需要用分析去衔接,此时,分析过程显得十分的重要. 例 2 已知 ai (i ? 1 求证: , 2, …,n) 都是正数,
2 2 a1 ? a2 ? … ? an a 2 ? a2 ? … ? an . ≤ 1 n n

解析:从结论结构出发,寻找条件与结论之间需要的通道:由于 ai (i ? 1 , 2, …,n) 均为 正数,可将待证结论两边平方,得
2 2 a2 ? ? a1 ? a 2? … ? an ? 1 a ?… 2 ? an . ≤ ? ? n n ? ? 2

两边乘以 4,得

?2 (a1 ? a 2? … ? an ? ?n


? 2 2n ) ? a 42 (? ≤ ) . 0 1 a ?… 2 ? an ? n2 ?

2

2 n 2 2 2 (a1 ? a2 ? … ? an ) ? b ,a12 ? a2 则上式正是 ? ? b ? 4ac ? …? an ?a, 2 ? c, n n

2 2 2 的形式,由于 a ? a1 ? a2 ? …? an ?0,

因此可以作出不等式 (a1 ? a2 ? … ? an ) x ?
2 2 2 2

2 n (a1 ? a2 ? … ? an ) x ? 2 ≥ 0 n n

①,

其中 x ? R . 上述不等式又可化为 ? a1 x ?

? ?

1? ? 1? 1? ? ? ? ? a2 x ? ? ? … ? ? an x ? ? ≥ 0 , n? ? n? n? ?

2

2

2

故不等式①对 x ? R 恒成立. 所以,有 ? ? b ? 4ac ≤ 0 ,这就找到了证明不等式的途径,即从
2

1? ? 1? 1? ? ? ? a1 x ? ? ? ? a2 x ? ? ? … ? ? an x ? ? ≥ 0 开始,用顺推的方法证明之. n? ? n? n? ? ?

2

2

2


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