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2016届高三数学复习 第八章 第四节 空间中平行的判定与性质


第四节

空间中平行的判定与性质

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1.(2015·浙江金华十校期末)设 α 是空间中的一个平面,l,m,n 是三条不同的直线,则 下列命题中正确的是( )

A.若 m? α ,n? α ,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α B.若 m? α ,n⊥α ,l⊥n,则 l∥m C.

若 l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则 l∥n D.若 l⊥m,l⊥n,则 n∥m 解析 m? α ,n? α ,l⊥m,l⊥n, 需要 m∩n=A 才有 l⊥α ,A 错误; 若 m? α ,n⊥α ,l⊥n,l 与 m 可能平行、相交,也可能异面,B 错误; 若 l⊥m,l⊥n,n 与 m 可能平行、相交,也可能异面,D 错误. 答案 C 2.(2015·成都四中模拟)以下命题中真命题的个数是( )

①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,b? α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b? α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线. A.1 B.2 C.3 D.4

解析 ①中 l 可以在平面 α 内;②中直线 a 可以与平面 α 相交,故错误;③a 可以在 平面 α 内;④正确. 答案 A 3.(2014·许昌联考)如图,正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF= A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.直线 AB 与平面 BEF 所成的角为定值 D.异面直线 AE,BF 所成的角为定值 解析 ∵AC⊥平面 BDD1B1,故 AC⊥BE; 2 ,则下列结论中错误的是( 2 )

∵EF∥BD, ∴EF∥平面 ABCD; 直线 AB 与平面 BEF 所成的角即直线 AB 与平面 BDD1B1 所成的角,故为定值,故 D 错误. 答案 D 4.(2014·北京顺义二模)a、b、c 为三条不重合的直线,α 、β 、γ 面,现给出六个命题: ①?
?a∥c, ? ?b∥c ?

为三个不重合的平

? a∥b;②?

?a∥γ , ? ?b∥γ ?

? a∥b;

? ? ?α ∥c, ?α ∥γ , ③? ? α ∥β ;④? ? α ∥β ; ?β ∥c ?β ∥γ ? ? ?α ∥c, ?α ∥γ , ? ? ⑤? ? α ∥a;⑥? ? a∥α . ?a∥c ?a∥γ ? ?

其中正确的命题是( A.①②③

) C.①④ D.①③④

B.①④⑤

解析 ①④正确.②错,a、b 可能相交或异面.③错,α 与 β 可能相交.⑤⑥错,a 可 能在 α 内. 答案 C 二、填空题 5.(2014·广东顺德预测)如图所示,四棱锥 P?ABCD 的底面是一直角 梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中 点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________. 解析 取 PD 的中点 F,连接 EF、AF, 1 在△PCD 中,EF 綉 CD. 2 又∵AB∥CD 且 CD=2AB,∴EF 綉 AB, ∴四边形 ABEF 是平行四边形,∴EB∥AF. 又∵EB?平面 PAD,AF? 平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. 答案 平行 一年创新演练 6.若平面 α ∥平面 β ,直线 a∥平面 α ,点 B∈β ,则在平面 β 内与过 B 点的所有直线 中( )

A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线

D.存在唯一与 α 平行的直线 解析 当直线 a 在平面 β 内且经过 B 点时,可使 a∥平面 α ,但这时在平面 β 内过 B 点的所有直线中,不存在与 a 平行的直线,而在其他情况下,都可以存在与 a 平行的直 线,故选 A. 答案 A 7.如图,ABCD 与 ADEF 均为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,

AD,EF 的中点.
(1)求证:BE∥平面 DMF; (2)求证:平面 BDE∥平面 MNG. 证明 (1)连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O, 连接 MO,则 MO 为△ABE 的中位线, 所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF,MO? 平面 DMF, 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点,所以 DE∥GN, 又 DE?平面 MNG,GN? 平面 MNG, 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线, 所以 BD∥MN, 又 MN? 平面 MNG,BD?平面 MNG, 所以 BD∥平面 MNG, 又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线, 所以平面 BDE∥平面 MNG. B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 8.(2015·贵阳调研)在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,AD 上的点,且 AE∶EB=

AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则(
A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形 解析 如图,由题意,EF∥BD,

)

1 且 EF= BD. 5

HG∥BD,且 HG= BD.
∴EF∥HG,且 EF≠HG. ∴四边形 EFGH 是梯形. 又 EF∥平面 BCD,而 EH 与平面 ADC 不平行,故选 B. 答案 B 二、填空题 9.(2015·北京海淀模拟)如图所示,ABCD?A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方 体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上 的一点,AP= ,过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ 3 =________. 解析 如图所示,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD, ∴MN∥PQ.又∵MN∥AC, ∴PQ∥AC.又∵AP= , 3 ∴

1 2

a

a

PD DQ PQ 2 2 2 2 = = = ,∴PQ= AC= a. AD CD AC 3 3 3
2 2 a 3

答案

三、解答题 10.(2015·四川德阳模拟)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F 分别是棱 DD1 、C1D1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角 θ 的正弦值; (2)证明:B1F∥平面 A1BE. (1)解 设 G 是 AA1 的中点,连接 GE,BG. ∵E 为 DD1 的中点,ABCD-A1B1C1D1 为正方体, ∴GE∥AD, 又∵AD⊥平面 ABB1A1,∴GE⊥平面 ABB1A1,且斜线 BE 在平面 ABB1A1 内的射影为 BG,∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角,即∠EBG=θ .设正方体的棱长为 a, ∴GE=a,BG= 5 a, 2 3 2

BE= BG2+GE2= a,

GE 2 ∴直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角 θ 的正弦值为:sin θ = = . BE 3
(2)证明 连接 EF、AB1、C1D,记 AB1 与 A1B 的交点为 H,连接 EH. 1 1 ∵H 为 AB1 的中点,且 B1H= C1D,B1H∥C1D,而 EF= C1D,EF∥C1D, 2 2 ∴B1H∥EF 且 B1H=EF,四边形 B1FEH 为平行四边形,即 B1F∥EH, 又∵B1F?平面 A1BE 且 EH? 平面 A1BE, ∴B1F∥平面 A1BE. 11.(2014·北京朝阳期末)在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,AA1=AD=2,E 是棱 CD 上的一点. (1)求证:AD1⊥平面 A1B1D; (2)求证:B1E⊥AD1; (3)若 E 是棱 CD 的中点,在棱 AA1 上是否存在点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求出线 段 AP 的长;若不存在,请说明理由. (1)证明 在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中, 因为 A1B1⊥平面 A1D1DA,AD1? 平面 A1D1DA,所以 A1B1⊥AD1. 在矩形 A1D1DA 中, 因为 AA1=AD=2, 所以 AD1⊥A1D.A1D∩A1B1=A1, 所以 AD1⊥平面 A1B1D. (2)证明 因为 E∈CD, 所以 B1E? 平面 A1B1CD, 由(1)可知,AD1⊥平面 A1B1CD, 所以 B1E⊥AD1. (3)解 当点 P 是棱 AA1 的中点时,有 DP∥平面 B1AE. 理由如下: 在 AB1 上取中点 M,连接 PM,ME. 因为 P 是棱 AA1 的中点,M 是 AB1 的中点, 1 所以 PM∥A1B1,且 PM= A1B1. 2 1 又 DE∥A1B1,且 DE= A1B1, 2 所以 PM∥DE,且 PM=DE, 所以四边形 PMED 是平行四边形, 所以 DP∥ME. 又 DP?平面 B1AE,ME? 平面 B1AE,

所以 DP∥平面 B1AE. 1 此时,AP= A1A=1. 2 一年创新演练 12.如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD?A1B1C1D1 内灌进一些水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下面命题不正确的是( )

A.有水的部分始终呈棱柱形 B.棱 A1D1 始终与水面所在的平面平行 C.当容器倾斜如图③所示时,BE·BF 为定值 D.水面 EFGH 所在四边形的面积为定值 解析 由题意知有水部分左、右两个面一定平行, 且由于 BC 水平固定,故 BC∥水平面, 由线面平行的性质可知 BC∥FG,BC∥EH. 又 BC∥A1D1,故 A1D1∥水平面. 在图③中,有水部分始终是以平面 BEF 和平面 CHG 为底面的三棱柱,且高确定,因此底面 积确定,即 BE·BF 为定值. 答案 D 13.如图,圆 O 为三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 的外接圆,AC 是圆 O 的直径,PA⊥BC,点 M 是线段 PA 的中点. (1)求证:BC⊥PB; (2)设 PA⊥AC,PA=AC=2,AB=1,求三棱锥 P-MBC 的体积; (3)在△ABC 内是否存在点 N,使得 MN∥平面 PBC?请证明你的结 论. (1)证明 如图,因为 AC 是圆 O 的直径,所以 BC⊥AB, 因为 BC⊥PA,又 PA、AB? 平面 PAB,且 PA∩AB=A, 所以 BC⊥平面 PAB,又 PB? 平面 PAB,所以 BC⊥PB, (2)解 如图,在 Rt△ABC 中,AC=2,AB=1, 所以 BC= 3, 因此 S△ABC= 3 , 2

因为 PA⊥BC,PA⊥AC,BC∩AC=C, 所以 PA⊥平面 ABC, 1 3 1 3 3 所以,VP-MBC=VP-ABC-VM-ABC= · ·2- · ·1= . 3 2 3 2 6 (3)解 如图,取 AB 的中点 D,连接 OD、MD、OM,则 N 为线段 OD(除端点 O、D 外)上任意 一点即可,理由如下: 因为 M、O、D 分别是 PA、AC、AB 的中点,所以 MD∥PB,MO∥PC.因为,MD?平面 PBC,

PB? 平面 PBC,
所以 MD∥平面 PBC,同理可得,MO∥平面 PBC. 因为 MD、MO? 平面 MDO,MD∩MO=M, 所以平面 MDO∥平面 PBC, 因为 MN? 平面 MDO,故 MN∥平面 PBC.


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