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2010年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试卷


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2010 年全国高中数学联赛贵州赛区预赛
试题所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高中高级中学数学教学大纲》中所规定的教 学内容和要求,在方法的要求上有所提高,主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况,包 括 8 道填空题和 3 道解答题,全卷满分 120 分,考

试时间为 150 分钟.

一、 填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1、已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 3a2 , 且方程 f ( x) ? 8 有三个不同的实根,则 实数 a = .

2 、 设 ? x? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 则

?lg1? ? ?lg 2? ? ?lg3? ????? ?lg 2010? ?

.

3、l1 , l2 , ???, l100 为 100 条共面且不同的直线,若其中编号为 4k (k ? N ? ) 的直 线互相平行,编号为 4k ? 1 的直线都过定点 A .则这100 条直线的交点个数 最多为 .

4、若将半径为 12cm 四个篮球在水平地面上任意堆放,则你能堆放的 最大高度是
cm .

2 , )m 是抛物线上一点, 5、 若抛物线 y 2 ? 2x 的焦点是 F , 准线是 l , 点M(

则经过点 F、M 且与 l 相切的圆一共有

个.

6、若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 和函数 y ? logc ( x ? 2) ? 2(c ? 0 且 c ? 1) 的 图象恒过同一个定点,则 ? 的最小值为
1 a 1 b

.

7 、 若 e sin? ? ln cos? ? e cos? ? ln sin ? ,且 ? ?? 0, 2? ? ,则角 ? 的取值范围 是 . 8、已知半径分别为 2, 3 的两圆外切于 T ,直线 MN 为此两圆的外公切 线且 M , N 分别为切点,则
MT ? NT



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二、解答题(第 9 小题 16 分,第 10 小题 20 分,第 11 小题 20 分, 共 56 分) 9、 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 过坐标原点 O 的直线 l 交椭圆于 A 、B a 2 b2

两点, C 是椭圆上的一点,且满足 OA OC ? OB OC . (1)求证:
1 OA
2

?

1 OC
2

是定值; (2)求 ?ABC 面积的最小值.

10、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 6, 4an?1 ? an?1 ? 4an (n ? 2) 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

11、已知 a, b, c 是 Rt ?ABC 的三边, c 为斜边,若 y ? 取值范围.

a 3 ? b3 ? c 3 ,求 y 的 c( a ? b ? c) 2

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1、 方程 f ( x) ? 8 有三个不同的实根,即函数 y ? x 2 ? 2ax ? 3a 2 的图象 与直线 y ? 8 有三个交点,由图象知, f (a) ? 8 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a 2 ? 8 ? a ? ? 2 . 2、因为1 ? k ? 9 ? ?lg k ? ? 0, 10 ? k ? 99 ? ?lg k ? ? 1,
100 ? k ? 999 ? ? lg k ? ? 2, 1000 ? k ? 2010 ? ? lg k ? ? 3

所以 ?lg1? ? ?lg 2? ? ?lg3? ????? ?lg 2010? ? 90 ?1? 900 ? 2 ?1011? 3 ? 4923 .
2 3、100 条直线任意两条的组合有 C100 ,其中编号为 4k (k ? N ? ) 的直线互

相平行,编号为 4k ? 1 的直线都过定点 A ,所以这 100 条直线的交点个数
2 2 2 最多为 C100 ? C25 ? C25 ? 1 ? 4351 .

4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相 切的堆放在地面上,其中球心相连形成棱长为 24cm 的四面体,此四面体 的高为 8 6cm ,所以能堆放的最大高度应是 24 ? 8 6cm . 5、因为点 M (2, m) 在抛物线 y2 ? 2x 上,所以 m ? ?2 ,即 M (2, ?2) ,又焦
? 点F? 过点 F、M 且与 l 相切的圆的圆心即为线段 ? , 0 ? ,由抛物线的定义知, 2 1 ? ?
FM

的垂直平分线与抛物线的交点, 这样的交点共有四个, 故过点 F、M 且

与 l 相切的圆共有四个. 6、因为函数 y ? logc ( x ? 2) ? 2 的图象恒过点 ? ?1, 2? ,故 ?a ? 2b ? 2 ?0 ,即
1 a ? b ? 1. 2

?? ? 又因为 a ? 0, b ? 0, 所以 ? ? ? ? ? 2, ? a ? b ?? ? ? ? ? ? a b ?2 ?? a b ? 2 a 2b 2 1 1 1 1 1 3 b a 3

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等号当且仅当 a ? 2b 时成立. 7、由 e sin? ? ln cos? ? e cos? ? ln sin ? ? e sin? ? ln sin ? ? e cos? ? ln cos ? , 设 f ( x) ? ex ? ln x ,则 f ( sin? ) ? f ( cos? ),因为函数 f ( x) ? ex ? ln x 在 ? 0, ??? 上 是增函数,所以 sin ? ? cos? ? 0 ,又因为 ? ? (0, 2? ) ,故
? ? ? ? ? ? 3? ? ? 5? 3? ? ? 3? 7? ? ? ?? , ? ? , ? ? , ? ? , ? . ?4 2? ?2 4 ? ? 4 2 ? ? 2 4 ?

8、如图, C , D 的半径分别为 2,3.设 ?MCT ? ? ,则 ?NDT ? ? ? ? , 因为直线 MN 与 C , D 相切于 M , N ,所以
M N

C

T

D

?NMT ?

?
2

, ?MNT ?

? ??
2

? ?NMT ? ?MNT ?

?
2

? ?MTN ?

?
2

,


? MT 2 ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 cos ? ? 2 3 2 MT 6 ? NT ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3cos(? ? ? ) . ? ? ? 2 2 2 NT 3 MT ? NT ? MN ? ? MN 2 ? (3 ? 2)2 ? (3 ? 2) 2 ?

注:也可用坐标法或平面几何法. 9、由 OA OC ? OB OC ? OC (OA ? OB) ? 0 ? OC AB ? 0 ? OC ? AB 又点 O 、 A 、 B 同为直线 l 上的三点,所以 OC ? OA . (1) 设 OA ? r1 , OC ? r2 , ?xOA ? ? ,则 ?xOC ? ? ? .
2

?

? 于是点 A 、 C 的坐标分别为 ? r1 cos ? , r1 sin ? ? , ? ? r2 cos(? ? ), r2 sin(? ? ) ? . 2 2 ? ?

?

?

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因为点 A 在椭圆上,所以
? r12 cos 2 ? r12 sin 2 ? ? ?1 ? a2 2 b ? ? 2 ? ? 2 2 2 ? r2 cos (? ? ) r2 sin (? ? ) 2 ? 2 ?1 ? a2 b2 ? ? 1 cos 2 ? sin 2 ? ? r 2 ? a 2 ? b2 , ? ?? 1 2 2 ? 1 ? sin ? ? cos ? . 2 ? a2 b2 ? r2 1 1 1 1 ? 2? 2 ? 2? 2, r1 r2 a b



1 OA
2

?

1 OC
2

是一个定值.
1 AB ? OC ? OA ? OC ? r1 ? r2 . 由(1)得 2

(2) S?ABC ?

1 1 1 1 2 2a 2b 2 ? ? 2 2 ? 2 ? r1r2 ? ? , 1 1 a 2 ? b2 a 2 b2 r1 r2 ? a 2 b2

当 r1 ? r2 ,即当 A 、 B 、 C 三点共圆时等号成立。故 ?ABC 面积的最小值 是
2a 2b 2 . a 2 ? b2

10、 (1)因为 a1 ? 1, a2 ? 6, 4an?1 ? an?1 ? 4an (n ? 2) ,所以
an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ), a2 ? 2a1 ? 4 ? an?1 ? 2an ? 4 ? 2n?1 an?1 an a 1 1 1 ? n ?1? n ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? ? an ? (n ? ) ? 2n n ?1 n 2 2 2 2 2 2 n ?1 ? an ? (2n ? 1) ? 2 ?

(2)由(1)知: Sn ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ???? ? (2n ? 3) ? 2n?2 ? (2n ?1) ? 2n?1 ① ? 2 : 2Sn ? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ???? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ① ? ②: ②



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? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? ??? ? 2 ? 2 n ?1 ? (2 n ? 1) ? 2 n 22 (1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3 1? 2 ? S n ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 ? 1?


Sn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3(n ? N ? ) .

11、因为 a, b, c 是 Rt ?ABC 的三边, c 为斜边,所以 a2 ? b2 ? c2 . 令?
?a ? c cos? ? (0 ? ? ? ) ,所以 2 ?b ? c sin ?
c 3 cos3 ? ? c3 sin 3 ? ? c3 cos3 ? ? sin 3 ? ? 1 y? ? c(c cos ? ? c sin ? ? c) 2 (cos ? ? sin ? ? 1) 2 (cos ? ? sin ? )(cos 2 ? ? cos ? ? sin ? ? sin 2 ? ) ? 1 ? (cos ? ? sin ? ? 1) 2 (cos ? ? sin ? )(1 ? cos ? ? sin ? ) ? 1 ? (cos ? ? sin ? ? 1) 2

又令 x ? cos ? ? sin ? ,因为 0 ? ? ? ,所以
? x ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? 1, 2 ? ?, 4
2

?

?

cos ? ? sin ? ?

x2 ?1 2

于是
y? ? x(1 ? x2 ?1 ) ?1 2 ? 3x ? x3 2 ? ( x ? 1) 2 2( x ? 1) 2

(2 ? x ? x 2 )( x ? 1) 2 ? x ? x 2 ? 2( x ? 1) 2 2( x ? 1) (2 ? x)( x ? 1) 1 ? ? 1? ? x 2( x ? 1) 2

显然 y ? 1 ? ? x 在 x ? ?1, 2 ? 此即为 y 的 ?, ? 上是减函数,所以 y ? ?1 ? 2 , 2 ? 2 ? ?
1

?

2 1?

取值范围.

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