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中职数学教案(数列)


江苏省洪泽中等专业学校


教 师 姓 名 授 课 日 期 授 课 章 节 名 称 授课班级


授课形式 授课时数 新授 2

§6.1 数列

了解数列的定义,掌握与数列有关的一些术语 教 学 目 的 了解数列各种表示法及适用场合 对已知通项公式的数列,能写出任意项 数列的

定义 教 学 重 点 数列通项公式的定义 数列的各种表示法 对数列的认识 教 学 难 点 数列的表示 正确运用数列的通项公式 更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: 1. 数列的定义 我们把按一定次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 数列的一般形式可以写成 a1, a2, a3, …,an,…. 简记作{an}.其中 a1 叫做数列的第 1 项(或 首项),a2 叫做数列的第 2 项, …,an 叫做数列的第 n 项(n 是正整数). 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列. 课内练习 1 2. 数列的表示形式 数列除了表示成上述形式以外,根据实际情况需要,只要不改变有序这个特,也能以其他 形式表示.例如体温记录数列(1),表示成下面的表可能更合适: 序号 体温 1 39.8 2 40.1 3 38.6 4 38.8 5 38.3 6 39.2 7 37.8 8 38.6 9 37.2 10 37.6 11 36.8 12 37.0

当一个有穷数列,随着项号变化,其对应的项的变化没有规律,且数据又要求比较准确时, 通常会以列表方式表示.列表表示的一般形式是 序号 项 1 a1 2 a2 3 a3 … … n an … …

在医疗单位,表示病员体温记录的数列(1),更常用的是如下图象表示形式, : W(?C) 42 41 40 39 38 37 36 35

?

? ? ? ?

? ?

? ? 8 9

?

?

? T

0

1

2

3

4

5

6

7

10 11 12 13

图 1-3 图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色.当数列项数不太多而又需要明显地表明其变 化趋势时(例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等 ),把数列用图象形式表示出来,无 疑是上策.

3. 数列的通项 对于习惯于以式作为研究对象的你来讲,最乐意见到的,是数列{an}的第 n 项 an 与 n(n 是 正整数)之间的关系可以用一个公式 项公式. 数列的通项公式表示了数列中的任何一项,为了求得第 n 项,只要把 n 代入到公式中就行 了,而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。 例 1 根据数列{an}, {bn}的通项公式,写出它的前 5 项: (1)an= an=f(n),n=1,2,3, … 来表示.公式就叫做这个数列的通

n ; n ?1

(2)bn=

( ?1) n . 2n

例 2 写出一个数列的通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数:
1 1 1 (1) 1 , , , , …; (2)2, -4, 6, -8, …. 1 2 3 4

课内练习 2 1. 怎样表示下面的数列比较合适? (1)全年按月顺序排列的月降水量; (2)打靶 10 次,按打靶顺序排列的中靶环数; (3)按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列; (4)一年中 12 个月的营业额. 2. 已知数列的通项,求其前 4 项: (1)an=10n;(2)bn=

1 ( ?1) n?1 ;(3)cn= 3 ;(4)dn=n(n+2). n n

3. 已知数列的前 4 项,试求出其通项公式: (1)2, -4, 6, -8, 10, …; (3) (2)1, -1, 1, -1, …; (4)

1 1 1 1 , , , ,…; 2 2 2 2

1 5 9 13 , , , ,…. 2 4 8 16

4. 已知数列{an}的通项公式 an= 是第几项? 小结 作业

n2 ,8.1 是这个数列中的项吗?如果是, n ?1

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§6.2

等差数列

教 学 目 的

掌握等差数列的定义 掌握等差数列的通项公式 掌握等差数列的前 n 项和公式 能应用等差数列的知识解决一些简单的实际问

教 学 重 点

等差数列的定义 等差数列的通项公式及应用 等差数列的前 n 项和公式及应用 等差数列的概念 应用等差数列解决有关问题

教 学 难 点

更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: 1. 等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用字母 d 来表示.用符 号语言来叙述, 则是: 如果数列{an}满足 an+1-an=d, (n?1, 且 n∈N ,d 是常数), 那么数列{an}
+

叫做等差数列,常数 d 叫做等差数列的公差. 例 1 下面的数列中,哪些是等差数列?为什么?如果是等差数列,求出公差 d: (1)-0.70,-0.71,-0.72,-0.74,-0.76,…;(2)-9,-9,-9,-9,-9,…; (3)-1,0,1,0,-1,0, 1,…; (4)1,4,7,10,13,….

例 2 下列数列都是等差数列,试求出其中的未知项: (1)3,a,5; 课内练习 1 1. 下面的数列中,哪些是等差数列?为什么?如果是等差数列,求出公差 d: (1)-1,-1,-1,-1,…; (3)-3 (5)1, (2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…; (4)1, 0, 1, 0,1,…; (2)3,b,c,-9.

1 1 1 ,-1,1 ,4,6 ,…; 2 2 2 1 1 1 , , , …. 2 3 4

2. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数: (1)( ), 5, 10; (2)31, ( ), ( ), 1.

3. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. (1)将数列中的前 m 项去掉,余下的项按原来顺序组成一个新的数列,这个新数列是等差 数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? (2)取出数列中的所有奇数项,按原来顺序组成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如 果是,它的首项和公差分别是多少? (3)取出数列中所有项数为 7 的倍数的各项,按原来顺序组成一个新的数列,这个数列是等 差数列吗?如果是,它的首项与公差各是多少? 2. 等差数列的通项公式

设{an}是等差数列,首项是 a1,公差是 d.根据等差数列的定义,从第 2 项起, ,每一项减 去它的前一项所得的差都等于同一个常数,于是有 a2-a1=d,a2=a1+d;a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d;a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d;… 依次类推,得到 an=a1+(n-1)d, n=1,2,3, …. 例 3(1)求等差数列 8, 5, 2,…的第 20 项; (2)在等差数列{an}中,已知 a5=10, a12=31,求首项 a1 与公差 d. 例 4 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一次.奥运会如因故不能 举行,届数照算. (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2)2008 年北京奥运会是第几届? (3)2050 年举行奥运会吗? 例 5 某滑轮组由直径成等差数列的 6 个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直径分别为 15cm 和 25cm,求中间四个滑轮的直径. 3. 等差中项 如果 a,A,b 这三个数成等差数列,即 A-a=b-A ,则 A 必定是 a,b 的算术平均值 A=

a?b . 2
从数列的角度来看, A 是成等差三个数的中间一项, 故把 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 反之,

若 A 由 A=

a?b 确定,则 2

A-a=b-A=

b?a ,即 a,A,b 成等差数列. 2

在一个等差数列{an}中,相邻三项总是等差的,因此从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的 末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即 an=

a n ?1 ? a n ?1 ,(n?2). 2

例 6 已知两个数 a=205, b=315,求它们的的等差中项. 课内练习 2 1. 求等差数列 3, 7, 11,…的第 4 项与第 10 项. 2. 等差数列的通项公式为 an=-2n+7,试求其首项和公差. 3. 在等差数列{an}中,已知 a3=10, a9=28,求 a12. 4. 梯子的最高一级宽 33cm, 最低一级宽 110cm, 中间还有 10 级, 各级的宽度成等差数列. 计

算中间各级的宽度. 5. -401 是不是等差数列-5, -9, -13, … 的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理 由. 6. 在通常情况下,从地面到 10km 高空,高度每增加 1km,气温就下降某一固定数值,如 果高度为 1km 处的气温是 8.5?,5km 处的气温是-17.5?,求高度为 2km、4km、8km 处的气温. 7. 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,bn=an+c, (c 为常数),试证明数列{bn}也是等差 数列,并求其公差. 4. 等差数列的前 n 项和 现设{an}为一等差数列,欲求其前 n 项的和 Sn=a1+a2+…+an.以 a2=a1+d, a3=a1+2d, …, an=a1+(n-1)d 代入,得 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+ …+[a1+(n-1)d]=na1+[(1+2+3+…+(n-1)]d. 应用(11-2-3), Sn=na1+ 因为 故 na1+ Sn=

n( n ? 1) d; 2

n( n ? 1) a ? [a1 ? (n ? 1)d ] (a1 ? an )n d= n 1 = , 2 2 2

(a1 ? a n )n . 2

即等差数列的前 n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半. 即为等差数列前 n 项求和公式. 两个公式虽说可以互化, 但在不同场合还是应该有所选择. 例 7 (1)求正奇数前 100 项之和; (2)求第 101 个正奇数到第 150 个正奇数之和; (3)等差数列的通项公式为 an=100-3n,求前 65 项之和; (4)在等差数列{an}中,已知 a1=3, d= 例 8

1 ,求 S10. 2

某 长 跑 运 动 员 7 天 里 每 天 的 训 练 量 ( 单 位 :m) 分 别 是 : 7500,8000,8500,9000,9500, 10000,10500,他在 7 天内共跑了多少米?

例 9 在例 8 中那位长跑运动员的教练,规定第一期训练计划为跑完 150000m.问第一期需要 多少天?

例 10 某人以分期付款方式购买了一套住房,售价 50 万元.首期付 20 万元,余款按月归还一 次,在 20 年内还清,欠款以利率 0.5%按月计算利息,并平均加到每月还款额上.问此 人每月要付多少购房款?最终实际为住房付了多少款? 例 12 设等差数列{an}的公差 d= 课内练习 3 1 在等差数列{an}中: (1)已知 an=2-0.2n, 求 S50; (2)已知 an=

15 1 3 , an= , 前 n 项之和 Sn=- .求首项 a1 及 n. 2 2 2

n , 求第 10 项至第 50 项的和 S; 3

(3)已知 a1=100, d=-2, 求 S50; (4)a1=14.5, d=0.7, 求 S32. 2. 设{an}是等差数列,a1=

5 2 , n=34, Sn=-158 ,求 an 和公差 d. 6 3

3. 在一个成等腰梯形屋面上铺瓦,最上面一层铺了 21 块,往下每一层多铺 2 块,共铺了 19 层,问共铺了多少块瓦片? 4. 一个剧场设置了 20 排座位,第一排 38 个座位,往后每一排都比前一排多 3 个座位.这个 剧场一共设置了多少个座位? 5. 已知一个等差数列{bn}的首项 b1=-35,公差 d=7,这个数列的前多少项和恰好为 0? 6. 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房, 共需 1150 万元, 购买时先付 150 万元, 以后每月都交付 50 万元,并加付欠款利息,月利率为 1%.若交付 150 万元后的第一个月开始 算分期付款的第一个月,问:分期付款的第 10 个月应该付多少钱?全部贷款付清后,买这 40 套住房实际花了多少钱? 小结: 作业:

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授课形式 授课时数 新授 4

§6.3

等比数列

教 学 目 的

等比数列的定义 等比数列的通项公式及应用 等比数列的前 n 项和公式及应用

教 学 重 点

掌握等比数列的定义 掌握等比数列的通项公式 掌握等比数列的前 n 项和公式

教 学 难 点

能应用等比数列的知识解决一些简单的实际问题 等比数列的概念 应用等比数列解决有关问题

更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: 1. 等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q, (q?0)表示. 用数学符号语言来说, 如果数列{an}满足

a n ?1 =q, (n?1,且 n?N+, q?0, q 是常数), 那么数列 an

{an}叫做等比数列,常数 q 叫做等比数列的公比. 例 1 下面是数列{an}的前 4 项,据此判断哪些是等比数列?为什么?如果是等比数列,求出 公比 q: (1)-1, -4, -16, -64, …; (3)1, (2)2, 2, 2, 2, …; (4)0, 1, 2, 22, 23, 24, … .

1 1 1 1 , , , , …; 2 4 6 8

例 2 求出下列等比数列中的未知项: (1)2, a, 8,(a>0); 课内练习 1 1. 下面是数列{an}的前 4 项,由此判断哪些是等比数列?为什么?如果是等比数列,求出 公比 q: (1) 0, 0, 0, 0,…; (3) (2)1.21, 1.331, 1.4641, 1.51051, …; (2)4, b, c,

1 . 2

1 ,0.1,10,100, …. 100

2. 已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数: (1)( ), 3, 27;(2)16, ( ), ( ), 2. 3. 已知{an}是无穷等比数列,公比为 q: (1)将数列{an}中的前 k 项去掉,剩余各项按原来顺序组成一个新数列,这个新数列是等比 数列吗?如果是,它的首项与公比各是多少? (2)取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列,这个数列是等比数列吗? (3)数列{an}中, 每隔 10 项取出一项, 组成一个新的数列, 这个数列是等比数列吗?如果是, 它的公比是多少?

2. 等比数列的通项公式 等差数列有通项公式,等比数列有没有通项公式? 设{an}是一个公比为 q 的等比数列.根据等比数列的定义,从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比都等于公比 q,所以每一项都等于它的前一项乘以公比 q,于是有 a2=a1q; a3=a2q=(a1q)q=a1q2; 依次类推可得 a4=a3q=(a1q2)q=a1q3;….

an=a1qn-1, n=1,2,3, ….(a1?0, q?0)

即为所求的通项公式,其中首项为 a1,公比为 q. 例 3 已知等比数列{an}2, 6, 18, 54, …,求其公比 q, a5 和 an. 例 4 在等比数列{bn}中, (1)已知 b1=3, q=2,求 b6; ;(2)已知 b3=20, b6=160,求 bn. 例4 培育水稻新品种,如果第一代得到 120 粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的 120 种子,到第 5 代大约可以得到这个新品种的种子多少粒? (保留两个有效数字)? 3. 等比中项 与等差中项类似,在等比问题中也有等比中项.若 a,G,b 三个数成等比,则把中间那个项 G 叫做 a,b 的等比中项. 任何两个数均存在他们的等差中项,且等差中项是唯一的.是否任何两个数都存在等比中 项?两个数的等比中项也唯一吗?从等比中项定义可知,两个数 a,b 的等比中项 G 应满足

G b 2 ? ,G =ab.这表明当且仅当两个同号的数 a,b 才有等比中项;当 a,b 同号时,其等比中 a G
项为 G=? ab . 一个等比数列,从第 2 项起每一项(有穷等比数列的末首项除外),是它的前一项与后一项
2 的等比中项,即 an =an-1?an+1, an= a n ?1a n ?1 或

an=- a n ?1a n ?1 .

例 5 求 5 与 125 的正等比中项. 课内练习 2 1. 设 0.3, 0.09, 0.027, ...为一等比数列{bn}的前 3 项,求其公比 q 及第 5 项和第 n 项. 2. 已知等比数列的通项公式 an=

1 ?10n,求其首项与公比. 4

3. 在等比数列{an}中,a3=2, a6=18,求 q 与 a10. 4. 求 3 与 27 的等比中项. 5. 细胞以分裂方式繁殖,一个细胞成熟后分裂成 2 个.设某种细胞最初有 10 个,繁殖周 期是 1 小时,且不考虑细胞的死亡,那么在一昼夜之后将有多少个细胞(保留 2 位有效数字)? 6. .某林场计划第一年造林 15 公顷,以后每年比前一年多造林 20%,第 5 年应造林多少公 顷(结果保留到个位)? 7. 在 9 与 243 中间插入两个数,使它们与这两个数成等比数列. 5. 等比数列的前 n 项和 对一般的等比数列{an},若要求其前 n 项的和 Sn, Sn=a1(1+q+q2+...+qn-1),qSn= a1(q+q2+q3+...+qn-1+qn), 两式相加后即可解出 Sn=

a1 (1 ? q n ) . 1? q
a1 ? a n q . 1? q

轻而易举地得到了求等比数列前 n 项和的公式. 因为 a1qn=anq, 公式也能变形为 Sn= 例 8 在等比数列{an}中, (1)已知 a1=-4, q=

1 ,求前 10 项的和 S10;(2)已知 a1=1, ak=243, q=3,求前 k 项的和 Sk. 2

例 9 某商场第 1 年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第 一年起,约几年内可使总销售量达到 30000 台(保留到个位)? 例 10 已知等比数列{an}中的 a2=5, a5=40,求其前 7 项之和 S7. 课内练习 3 1. 在等比数列{an}中,a1=3, q=2,求前 5 项的和 S5. 2. 求等比数列 1,3,9,…,2187 的和. 3. 求等比数列

1 1 1 , , ,…的前 8 项的和. 2 4 8

4. 某养鸡专业户今年向农贸市场出售肉鸡 1000 只,计划近几年内的出售量平均比上一年 增长 8%,那么从今年起,大约几年内可以使总出售量达到 4500 只? 5. 在等比数列{an}中: (1) 已知 q=

1 7 , S5=3 ,求 a1 与 a5; 2 8

(2)a1=2, S3=26,求 q 与 a3;

(3)已知 a3=1

1 1 , S3=4 ,求 a1 与 q. 2 2

6. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.全国约有 9100 万亩的坡耕地需要退 耕还林,其中西部地区占 70℅.国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515 万亩,以后每 年退耕土地面积递增 12℅,那么从 2000 年起到 2005 年底,西部地区退耕还林的面积共有多少 万亩(精确到万亩)? 课内练习 1. 在等比数列{cn}中: (1)c4=27, q=-3,求 c7; (3)若 c7=(2)若 c3=-1, c6=-8,求公比 q 及 c10;

1 , c2=25,求公比 q 及 c1. 125

2. 已知{xn}为等比数列,x7=2, x17=2048,求 x12. 3. 求 3 与 27 的等比中项. 4. 求等比数列 1, 小结: 作业:

1 1 1 , , - , ...的前 8 项之和. 2 4 8

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授课形式 授课时数 新授 2

§6.4

数列的实际应用

教 学 目 的

通过实际应用加深对数列的概念及公式的理解与掌握

教 学 重 点

等比数列的应用

教 学 难 点

等比数列的应用

更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入: 新授: 例 6 某企业要在今年起的今后 10 年内,把产值翻一番,那么平均每年增值率应为多少? 解 设今年产值为 a,平均每年增值 x%=

x .则各年的产值依次为 100 x x 2 x 3 x 10 a, a?(1+ ), a(1+ ) , a(1+ ) , ..., a(1+ ) . 100 100 100 100 x 10 x 10 ) =2a,(1+ ) =2,x=100( 10 2 -1)?7.18. 100 100

据企业要求 x 应满足 a(1+

所以,为了使企业在今后 10 年内把产值翻一番,每年平均增值应不小于 7.18%. 例 9 某商场第 1 年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第 一年起,约几年内可使总销售量达到 30000 台(保留到个位)? 解 根据题意,每年销售量从上一年增加的百分率相同,所以从第 1 年起,每年的销售量组成一 个等比数列{an},其中 a1=5000, q=1+10%=1.1;设销售量达 30000 台须 n 年,则 30000=

5000? (1 ? 1.1n ) ln 1.6 ,即 1.1n=1.6,n= ?5(年). ln 1.1 1 ? 1.1

所以约 5 年内可以使总销售量达到 30000 台. 例 2 从一个边长为 a 的原始正方形开始,每次把它分成四个小正方形、取其中一个(见图 1).证 明所有这些正方形面积的和 S 等于原始正方形面积的三分之四. 证明 原始正方形面积 A1=a2; 第一次剖分后正方形边长为 第二次剖分后正方形边长为 第三次剖分后正方形边长为

a 1 ,面积 A2= a2; 4 2 1 a ,面积 A3= a2; 4 16 a 1 2 ,面积 A4= a ;… 64 8 1 的无穷递缩 4
图1

所以正方形系列的面积{An}是一个公比为 等比数列. 小结: 作业:


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