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广东省普宁市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 理


普宁市第一中学 2015-2016 学年度下学期第二次月考 高二理科数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 注意事项: 1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,

用橡皮擦 干净后,在改涂在其他答案标号。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x||x﹣b|>2,x∈R}.若 A? B,则实数 a,b 必满足 ( ) D.|a﹣b|≥3 共 60 分)

A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a﹣b|≤3

2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成 的角是( )

A.60° B.45° C.90° D.120° 3.甲乙两人下棋,甲获胜的概率为 30%,甲不输的概率为 80%,则甲乙下成和棋的概率为 ( )

A.70% B.30% C.20% D.50% 4.函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是(
x



A. (0, ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3) 5.若等边△ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足 A. B. C. D. ) ,则 =( )

6.已知向量 =(1,1,0) , =(﹣1,0,2)且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,则 k 的值是( A.1 B. C. D. )

7.“1<x<2”是“x<2”成立的( A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

1

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设集合 A={x||x﹣a|<1,x∈R},B={x||x﹣b|>2,x∈R}.若 A? B,则实数 a,b 必满足 ( ) D.|a﹣b|≥3

A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3 C.|a﹣b|≤3

9.已知函数 y=f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠2},且 y=f(x+2)是偶函数,当 x<2 时, f(x)=|2 ﹣1|,那么当 x>2 时,函数 f(x)的递减区间是( A. (3,5) B. (3,+∞)
x x



C. (2,+∞)

D. (2,4] )

10.函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的区间是(

A. (0, ) B. ( ,1) C. (1,2) D. (2,3) 11.若等边△ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足 A. B. C. D. ,则 =( )

12.已知函数 f(x)的定义域为 R,若存在常数 m>0,对任意 x∈R,有|f(x)|≤m|x|,则 称函数 f(x)为 F﹣函数.给出下列函数: ①f(x)=x ; ② ③f(x)=2 ; ④f(x)=sin2x. 其中是 F﹣函数的序号为( )
x 2



A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 第 II 卷(非选择题 共 90 分)

注意事项:第 II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13.已知| |=1,| |= , . =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设 =m +n

(m、n∈R) ,则 等于

14.已知点 A(1,﹣2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M,且在两坐标轴上的截距相等, 则直线 l 的方程是 .

2

15.函数

的定义域是

. .

16.直线 l1:(3+a)x+4y=5﹣3a 和直线 l2:2x+(5+a)y=8 平行,则 a=

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知平面内两点 A(8,﹣6) ,B(2,2) . (Ⅰ)求过点 P(2,﹣3)且与直线 AB 平行的直线 l 的方程; (Ⅱ)求线段 AB 的垂直平分线方程. (10 分)

18.如图在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,∠ABC=90°,

? ABC ?? ADC , PA ? AC ? 2 AB ? 2 ,E 是线段 PC 的中点.
(I)求证:DE//面 PAB; (II)求二面角 D-CP-B 的余弦值.(12 分)

P

E B A D O C

19.(本小 题满分 12 分) 某校在规划课程设置方案的调研中,随机抽取 50 名文科学生,调查对选做题倾向得下表:

(Ⅰ)从表中三种选题倾向中,选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种,作为选题 倾向变量的取值,分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”.(只需要做 出其中的一种情况) (Ⅱ)按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中 抽取 8 人进行问卷.
3

(ⅰ)分别求出抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数; (ⅱ)若从这 8 人中任选 3 人,记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数 的差为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? .(12 分)

20.已知⊙O:x2+y2=1 和定点 A(2,1),由⊙O 外一点 P(x,y)向⊙O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足|PQ|=2|PA|.(12 分) (I)求动点 P 的轨迹方程 C; (Ⅱ)求线段 PQ 长的最小值; (Ⅲ)若以⊙P 为圆心所做的⊙P 与⊙O 有公共点,试求 P 半径取最小值时的 P 点坐标. (12 分)

21.在某娱乐节目的一期比赛中,有 6 位歌手(1 至 6 号)登台演出,由现场的百家大众媒 体投票选出最受欢迎的歌手, 各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选人, 其中媒体甲 是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 另在 2 号至 6 号中随机的选 2 名; 媒体乙不欣赏 2 号歌手, 他必不选 2 号;媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名. (12 分) (Ⅰ)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ)X 表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望. (12 分)

22.已知函数 f(x)= ∈R,且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2). (I)求实数 a 的取值集合 A;

,若存在 x1,x2

(Ⅱ)若 a∈A,且函数 g(x)=1g[ax2+(a+3)x+4]的值域为 R,求实数 a 的取值范围. (12 分)
4

普宁市勤建学校 2015-2016 学年度高一下学期期中考试 高一理科数学参考答案 一.选择题 1-5 DADAC 二、填空题 13. 3 14. 2x﹣3y=0,或 x+y﹣5=0 16. ﹣7 6-10 DADDA 11-12 CC

15 . (1,2] 三、解答题 17. 【解答】 解: (Ⅰ)因为 所以由点斜式

,? 得直线 l 的方程 4x+3y+1=0?

(Ⅱ)因为 AB 的中点坐标为(5,﹣2) ,AB 的垂直平分线斜率为 ? 所以由点斜式 得 AB 的中垂线方程为 3x﹣4y﹣23=0?

18. I)证明:设线段 AC 的中点为 O,连接 OD,OE. 因为∠ABC=90°, BO ?

1 AC ? 1 ,同理 DO ? 1, 2

又 AB ? AD ? 1 ,故四边形 ABOD 是平行四边形,所以 DO//AB, O,E 分别是 PC,AC 的中点,所以 OE//PA, OD 与 OE 相交,AP 和 AB 相交,OE 在面 ODE 中,PA,AB 在面 PAB 中, 面 ODE//面 PAB,而 ED 在面 ODE 中,故 DE//面 PAB. (II).因为 AB⊥BC,PA⊥面 ABCD,以 B 为原点,以 BA 为 x 轴正方向,以 BC 为 y 轴正方向, 过点 B 做平行于 AP 的直线做 z 轴正方向建立空间直角坐标系. 则 B ? 0, 0, 0 ? ,C 0, 3 , 0 ,P ?1, 0, 2 ? ,D ? 设面 PBC 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 ,z1 ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

?3 3 ? ? 2 , 2 ,0 ? ? ? ?

??

?? ??? ? ?n1 ? BP ? 0 ? ? x1 ? 2 z1 ? 0 ? ?? 则 ? ?? ??? ? ? ? 3 y1 ? 0 ?n1 ? BC ? 0 ? ?? n1 ? ? 2,0, ?1? ,

5

设面 DPC 的法向量为 n2 ? ? x2 , y2 ,z2 ?

?? ?

? 1 ?? ? ??? ? ?? x ? ? ?n2 ? DP ? 0 ? 2 2 则 ? ?? ?? ? ???? n ? DC ? 0 ? ?? 3 x ? ? 2 2 ? ? 2 ?? ? n2 ? 1, 3 ,1 ,

3 y2 ? 2 z1 ? 0 2 3 y1 ? 0 2

?

?

?? ?? ? cos ? n1 ,n2 ??

2 ?1 1 ? , 5? 5 5
1 . 5

二面角 D-CP-B 的余弦值为

19. (Ⅰ)可直观判断:倾向“坐标系与参数方程”或倾向“不等式选讲”,与性别无关; 倾向“坐标系与参数方程”或倾向“平面几何选讲”,与性别有关;倾向“平面几何选讲” 或倾向“不等式选讲”,与性别有关. 分) ????1 分 (正确选择一组变量并指出与性别有关即给 1

选择一:选择倾向“平面几何选讲”和倾向“坐标系与参数方程”作为选题倾向变量 Y 的 值.作出如下 2×2 列联表: 平面几何选讲 男生 女生 合计 16 4 20 ????2 分 由上表,可直观判断: 因为 k ? 坐标系与参数方程 4 8 12 合计 20 12 32

32 ? (16 ? 8 ? 4 ? 4) 2 ? 6.969 ? 6.635 , 20 ?12 ? 20 ?12

????4 分

所以可以有 99%以上的把握,认为“‘坐标系与参数方程’和‘平面几何 选讲’这两种选题倾向与性别有 关”. ????6 分

选择二:选择倾向“平面几 何选讲”和倾向“不等式选讲”作为分类变量 Y 的值.作出如下 2×2 列联表:

6

平面几何选讲 男生 女生 合计 16 4 20

不等式选讲 6 12 18

合计 22 16 38 ???

?2 分 因为 k ?

38 ? (16 ?12 ? 6 ? 4) 2 ? 10.88 ? 10.828 , 20 ?18 ? 22 ?16

????4 分

所以可以有 99.9%以上的把握,认为“‘不等式选讲’和‘平面几何选讲’ 这两种选题倾向与性别有 关”. ???6 分

(Ⅱ)(ⅰ)倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为 20:12=5: 3, 所以抽取的 8 人中倾向“平面几何选讲”的人数为 5,倾向“坐标系 与参数方程”的人数为 3. (ⅱ)依题意,得 ? ? ?3, ?1,1,3 ,
3 C3 1 , P(? ? ?3) ? 3 ? C8 56 1 C52C3 30 ? , 3 C8 56

????7 分 ????8 分
1 2 C5 C 15 P(? ? ?1) ? 3 3 ? , C8 56

P(? ? 1) ?

P(? ? 3) ?

3 0 C5 C3 10 ? . 3 C8 56

????10 分

故 ? 的分布列如下:

?

-3

-1

1

3

15 56 1 15 30 10 ? (?1) ? ? 1? ? 3 ? ? 所以 E? ? ?3 ? 56 56 56 56

P

1 56

30 56
3 . 4

10 56
????12 分

20. 【解答】解:(I)连接 OQ,∵切点为 Q,PQ⊥OQ,由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2.
7

由已知|PQ|=2|PA|.可得 PQ =4PA ,即 x +y ﹣1=4(x﹣2) +4(y﹣1) . 化简可得 3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0. (2)3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0,可化为(x﹣ 半径为 ∵|CA|= ∴|PA|min= ﹣ , ﹣ ); = , )2+(y﹣ )2= ,圆心 C( , ),

2

2

2

2

2

2

∴线段 PQ 长的最小值为 2(

(Ⅲ)P 半径取最小值时,OC 与圆 C 相交的交点为所求, 直线 OC 的方程为 y= ∴x= ∴P 半径取最小值时,P( x,代入 3x2+3y2﹣16x﹣8y+21=0,可得 15x2﹣80x+84=0, , , ).

21. (Ⅰ)设 A 表示事件: “媒体甲选中 3 号歌手” ,事件 B 表示“媒体乙选中 3 号歌手” , 事件 C 表示“媒体丙选中 3 号歌手” , 媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率: P(A )=P(A) (1﹣P(B) )

(Ⅱ)P(C)=

,由已知得 X 的可能取值为 0,1,2,3,

8

22. 【解答】 解:(I)当﹣ <1,即 a<2 时,由二次函数的图象和性质,可知:

存在 x1,x2∈(﹣∞,1]且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立, 当﹣ ≥1,即 a≥2 时,

若存在 x1,x2∈R 且 x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立, 则﹣1+a>a ﹣7a+14, 解得:3<a<5, 综上所述:实数 a 的取值集合是 A=(﹣∞,2)∪(3,5); (Ⅱ)由题意可得 z=ax +(a+3)x+4 取到一切的正数, 当 a=0 时,z=3x+4 取得一切的正数; 当 a>0,判别式△≥0,即为(a+3) ﹣16a≥0, 解得 a≥9 或 0<a≤1. 综上可得,a 的范围是 即为 0≤a≤1. ,
2 2 2

9


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