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2013高考数学秒杀必备:数列通项公式的若干求法及转化思想论文


数列通项公式的若干求法及转化思想
求通项公式是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法,因此 求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。现举数例。 一. 观察法 已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而 根据规律写出此数列的一个通项。
1 1 5 13 29 61 例 1 :已知数列 , ,? , , ? , ? 写出此数列的一个通项公式。 2 4 8 16 32 64

例 2:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1)4,44,444,4444,?

4 9 16 , 3 , 4 ,? 5 10 17 2 1 2 , , ,? (3) 1, 3 2 5 1 2 3 4 , ? ,? (4) , ? , 2 3 4 5
(2) 1 , 2 二. 公式法 (1)当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求 得首项及公差公比。 例 1: 已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,数列{bn}是公比为 q 的(q∈R 且 q≠1)的等 2 比数列,若函数 f (x) = (x-1) ,且 a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q -1), 求数列{ a n }和{ b n }的通项公式; (2)已知数列的前 n 项和求通项时,通常用公式 a n ? ?
(n ? 1) ?S1 。 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

1 2

用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另一种是“合二为 一”即 a1 和 an 合为一个表达式。 例 1、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为:① S n ? 2n 2 ? n 求数列 ?an ? 的通项公式。 三. 由递推式求数列通项 对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等 比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。称辅助数列法。 ② Sn ? n2 ? n ? 1

1 ,an?1 ? 4an ? 1(n ? 2) ,写出数列的前 5 项。 (课本习题) 。 2 1 变式 1:已知数列{ an }中, a1 ? , an?1 ? 4an ? 1(n ? 2) 。求 a2006 2 1 变式 2:已知数列{ an }中, a1 ? , an?1 ? 4an ? 1(n ? 2) 。求 an 2 1 变式 3:已知数列{ an }中, a1 ? , an ? 4an?1 ? 3n?1 。求 an 2
例题:已知数列 an }中,a1 ? {
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变式 4:已知数列{ an }中, a1 ? 变式 5:已知数列{ an }中, a1 ? 变式 3:已知数列{ an }中, a1 ? 变式 6:已知数列{ an }中, a1 ? 变式 7:已知数列{ an }中, a1 ? 变式 8:已知数列{ an }中, a1 ?

1 , an ? 4an?1 ? 3n?1 ? 2 。求 an 2 1 , an ? 4an?1 ? 3n?1 ? 2 n 。求 an 2 1 , an ? 4an?1 ? 3n?1 。求 an 2 1 , an ? 4an?1 ? 3n ? 2 。求 an 2 1 , an?1 ? 4an ? n 2 ? 3n ? 2 。求 an 2 1 , an?1 ? 4an ? 3n?1 ? n ? 1 。求 an 2

类型Ⅰ: ?

?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

由等差,等比演化而来的“差型”“商型”递推关系 , ①等差数列: an?1 ? an ? d 由此推广成差型递推关系: an ? an?1 ? f (n) 累加: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?(a2 ? a1 ) ? a1 =

? f ( n) ? a
2

n

1

,于是只要 f (n) 可以求和就行。

类型 1 递推公式为 解法:把原递推公式转化为 , (差后等比数列) )

(特殊情形:⑴. an?1 ? an ? pn ? q (差后等差数列)⑵ an?1 ? an ? bn 利用累加法求解。 例 1.已知{ an }满足 an?1 ? an ? 2 ,且 a1 ? 1 ,求 an 例 2.已知{ an }满足 an?1 ? an ? 2 n ? 3 ,且 a1 ? 1 ,求 an 例 3.已知{ an }满足 an ? 3
n?1

? an?1 (n ? 2) ,且 a1 ? 1 ,求 an

例 4. 已知数列

满足

,求



②等比数列: an?1 ? an ? q
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由此推广成商型递推关系:

an ? g ( n) a n ?1

累乘: an ?

n an an?1 a ? ? ? 2 ? a1 ? ? g (n) ? a1 an?1 an?2 a1 2

类型 2 递推公式为

解法: (1)把原递推公式转化为 例 1.已知{ an }满足 a n ?1 ?

,利用累乘法求解。

1 a n ,且 a1 ? 2 ,求 an 2

例 2.已知{ an }满足 an?1 ? nan , an ? 0 ,且 a1 ? 1 ,求 an

例 4. (1). 已知数列

满足

,求



例题 1。已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, a n ?
n 求证:① an ? C2n

2(2n ? 1) a n ?1 , (n ? 2) n

② an 是偶数

(由

an?1 ? p(n)an 和 a1 确定的递推数列 ?an ? 的通项可如下求得: an ? p(n ?1)an?1, an?1 ? p(n ? 2)an?2 ,?, a2 ? p(1)a1

(2)由已知递推式有 依次向前代入,得

an ? p(n ?1) p(n ? 2)? p(1)a1 ,简记为
这就是叠代法的基本模式。

an ? ( ? p(k ))a1 (n ? 1, ? p(k ) ? 1)
k ?1 k ?1

n ?1

0



例 3 已知

a1 ? 3, an ?1 ?

3n ? 1 an (n ? 1) a 3n ? 2 ,求 n 。

an ?
解:

3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3 ? 2 ? 1 3 ? 1 ? ? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? 2
3n ? 4 3n ? 7 5 2 6 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 1 3n ? 4 8 5 3n ? 1 。
(n ? 1)a n , (n ? N ) ,求{an}的通项公式 2

?

1、已知数列{an}满足 a1 ? 1, S n ?

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类型 3 递推公式为 解法:把原递推公式转化为:

(其中 p,q 均为常数,

) 。

其中

,再利用换元法转化为等比数列求解。 中, ,求 。

例 1. 已知数列

类型 4 递推公式为

(其中 p,q 均为常数,

) 。 ,得:

解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以

引入辅助数列

(其中

) ,得:

再应用类型 3 的方法解决。

例 1. 已知数列

中,

,求



例 2. 已知数列

中,

,求



类型 5。 f (S n , an ) ? 0 型的 利用 an ? S n ? S n?1 , (n ? 2) 转化为 g (an , an?1 ) ? 0 型,或 h(S n , S n?1 ) ? 0 型 即混合型的转化为纯粹型的 例题 1. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1. (Ⅰ)写出数列 ?an ? 的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ;

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(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; 分析: S n ? 2an ? (?1) n , n ? 1. ---------------① 由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, 得 a1 ? 1. ----------------② 由 n ? 2 得, a1 ? a2 ? 2a2 ? 1 ,得 a 2 ? 0 --------------③ 由 n ? 3 得, a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 1,得 a3 ? 2 ---------④ 用 n ? 1 代 n 得 S n?1 ? 2an?1 ? (?1) n?1 -----------⑤ ①—⑤: an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ? 2(?1) n 即 an ? 2an?1 ? 2(?1) n ----------------------------⑥

an ? 2an?1 ? 2(?1) n ? 2 2an?2 ? 2(?1) n?1 ? 2(?1) n ? 22 an?2 ? 22 (?1) n?1 ? 2(?1) n
? ? ? 2 n?1 a1 ? 2 n?1 (?1) ? 2 n?2 (?1) 2 ? ?2(?1) n
2 n?2 2 ? (?1) n ?1 ---------------------------⑦ 3 n?2 S n (n ? 1,2,3?). 证明: 例题 2。数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn,已知 a1 ? 1, a n ?1 ? n ?
数列 {

?

?

?

?

Sn } 是等比数列; (全国卷(二)理科 19 题) n
n?2 Sn , n
整理得

方法 1∵ a n ?1 ? S n ?1 ? S n , a n ?1 ? ∴ (n ? 2)S n ? n(S n?1 ? S n ), 所以

nSn?1 ? 2(n ? 1)S n ,

S n ?1 S ?2 n. n ?1 n

故{

Sn } 是以 2 为公比 的等比数列. n

方法 2:事实上,我们也可以转化为

Sn 2n ,为一个商型的递推关系, ? S n ?1 n ? 1

由 sn ?

s n s n?1 s n n ?1 n ? 2 2 ? ? ? ? ? a1 ? na1 2 n ?1 ? ? ? 2 ? s1 = 2 n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 3 1 s n?1 s n?2 s1

1. an }是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn ,对所有的 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 { 的等比中项 (1)写出{ an }的前三项;

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(2)求{ an }的通项。 2.在数列{ an }中,已知 S n ? 3 ? 2an ,求 an 3.已知数列{an}的前 n 和 S n 满足 log2 (S n ? 1) ? n ? 1,

(an ? 4n ? 4)

求此数列的通项公式。

4. 已知数列 (1)求

前 n 项和 与

。 。

的关系; (2)求通项公式

5. (北京卷)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? 1, a n ?1 ? (Ⅰ) a 2 , a3 , a 4 的值及数列 {an } 的通项公式;

1 S n , n ? 1,2,3, ? ,求: 3

(Ⅱ) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值.

n ? 1, ?1, ? ( an ? ?1 4 n?2 ) ? 3 ( 3 ) , n ? 2. ?

由递推数列公式求数列通项公式的解题方法是数学中针对性较强的一种数学 解题方法,它从一个侧面体现数学的研究方法,体现了新课程标准理念,是培养 学生思维深刻性的极好的范例。注意一题多解; 例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 n ? N * (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 解法 1: (构造法Ⅰ)

?

?

? an?1 ? 2an ? 1 n ? N * ,
? an?1 ? 1 ? 2?an ? 1? ??an ? 1?是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,

?

?

? an ? 1 ? 2 n
即 an ? 2 n ? 1 n ? N *

?

? ?
??①

解法 2: (构造法Ⅱ)

? an?1 ? 2an ? 1 n ? N *

?

? an ? 2an?1 ? 1 ?n ? 2? ??②
①、②两式相减得

an?1 ? an ? 2?an ? an?1 ? ?n ? 2?

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??an?1 ? an ?是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,

? an?1 ? an ? 2 n
? ?2an ? 1? ? an ? 2 n
即 an ? 2 n ? 1 n ? N * 解法 3: (阶差法) 由 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 n ? N * 可得:

?

? ? ?

an ? 2an?1 ? 1

2an?1 ? 22 an?2 ? 2 2 2 an?2 ? 23 an?3 ? 2 2
???

2 n?2 a2 ? 2 n?1 a1 ? 2 n?2 2 n?1 a1 ? 2 n?1
以上 n 式相加得
a n ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?2 ? 2 n ?1 ? 1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2

即 an ? 2 n ? 1 n ? N * 解法五: (迭代法)

?

? ? ?

由 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 n ? N * 可得:

a n ? 2a n ?1 ? 1

? 2?2a n ? 2 ? 1? ? 1 ? 2 2 a n ? 2 ? 2 ? 1 ?? ? 2 n ?1 a1 ? 2 n ? 2 ? ? ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ? ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2n ? 1
即 an ? 2 n ? 1 n ? N *

? 2 2 ?2a n ?3 ? 1? ? 2 ? 1 ? 2 3 a n ?3 ? 2 2 ? 2 ? 1

?

?

总之,以上方法融会贯通可以解决关于递推数列公式求数列通项公式变形问 题,从而提高学生的数学解题能力,把握数学学习方法。
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同式题:.已知数列{ an } a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1,则 an = , 当然,还有一些转化的方法和技巧,如基本的式的变换,象因式分解,取倒数、对 数等还是要求掌握的。

四、转化为常见类型求解:
(1)倒数变换法: 形如 an?1an ? can?1 ? dan ( c; d 为常数,且 c ? 0, d ? 0 )的递推公式,可令
an?1 ? 1 1 , an ? 。则可转化为 an?1 ? pan ? q 型; bn?1 bn 2a n ,求数列 {a n } 的通项公式. 2a n ? 1

例 1:数列 {a n } 中,且 a1 ? 1 , a n ?1 ? 3

(2)对数变换法:例:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? a 2 n?1 (n ? 2) ,求 an 。
当然,转化方法不是一成不变的,但其本质是构造、转化为上述常见形式数列问题求解。

如比例变换; 例 1、设数列 ?an ? 满足下列条件 a1 ? a, a n ?

a 2 n?1 (n ? 2) ,求 an 。 2a n?1 ? 1

(可化为

an a ? [ n?1 ]2 ,再取对数) an ? 1 an?1 ? 1

例 2、设数列 ?an ? 满足下列条件,试求各通项: (1) a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? 1(n ? 1,2,3?) (2) a1 ? 1, an ? 2an?1 ? (?1) n?1 (n ? 2,3,4?) (3) a1 ? 1, a 2 ? 10,

an a n?1 ? (n ? 3,4,5?) a n?1 an?2
a n?1 a n 1 ? ? n ? 1 n n(n ? 1)

解: (1) nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 1 ?

令 bn ?

an 1 , 则 b1 ? a1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? n n(n ? 1)

本题用 n(n ? 1) 除递推式两边,再进行变量代换,就可转化为“ an?1 ? an ? f (n) 型” , 可得 bn ? 2 ?

1 ? a n ? nbn ? 2n ? 1 n
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(2) 递推式两边同除以 2 , 得

n

a n a n ?1 1 ? n ?1 ? (? ) n , 就可转化为 an?1 ? an ? f (n) 型” “ , n 2 2 2

当然,也可以在递推式两边同除以 (?1) n ,得

a 1 an 2a 1 a ? n?n ? 1即 n n ? ?2 ? n ?n?1 ? 1 , n (?1) (?1) (?1) (?1)

则可转化为“ an?1 ? p ? an ? q 型” ,所以得 a n ?

1 n 2 ? (?1) n ?1 3 1 (3)递推式两边同取对数,得 lg a n ? lg a n ?1 ? (lg a n ?1 ? lg a n ? 2 ) 2

?

?

令 bn ? lg an?1 ? lg an ,则 ?

? b1 ? lg a 2 ? lg a1 ? 1 1 ? ? bn ? ( ) n ?1 (n ? 1,2,3?) 1 2 ?bn ?1 ? 2 bn ? 2 (n ? 3,4,5,?) ?

1 ( ) n ?1 a 1 ,由累乘相消 ? lg an?1 ? lg an ? ( ) n?1 ? n?1 ? 10 2 ,已转化为“ an?1 ? an ? f (n) 型” 2 an
1 2 1 4 1 ( )n?2 2 ? ?1? 2 ?1?? ? ? ?2? ?
n ?1 ?

a 法可得 n ? 10 ? 10 ? 10 ? ?10 a1

? 10

? ? ?

? a n ? 10

? ?1? 2 ?1?? ? ? ?2? ?

n ?1 ?

? ? ?

一般掌握下列转化思想即可;尤其对分式型递推关系。 1、利用倒数转化为: (1)

1 a n ?1

?

1 p 1 (2) ?d; ? ?q a n ?1 a n an

2、求前若干项观察项间周期性等 练习:1、已知 a1 ? 1, a n ?1 ?

an an ? 3
,求an

求: an

2、已知a1=1, an+1=

an 2a n ? 5

3、已知数列{an}满足:a1=0,且 a n ?1 ? A 0;B

an ? 3 3a n ? 1

(n ? 1,2,3,?) ,则 a 2008 ? ( A )

3 ;C

? 3

;D

2

变式: (1) 、已知数列{an}满足:a1=0,且 a n ?1 ? {an}的 n 前项和则 S 2008 ?_________ (2) 、已知 ?an ?满足 a1 ? 1, a 2 ? ?2, a n ? 2 ? ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? 1,2,3,?) ,Sn 表示数列

1 (B ) (n ? N * ) ,则数列前 26 项的和为: an

C.-8 D.-10 (3) 、已知数列{an}满足:a1=3,且 an ? an an ?1 ? 1(n ? 1,2,3,?) ,An 表示数列{an}的 n
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A.0

B.-1

前项和则 A2005 ?_________ 3 3、 (2006 年江西卷)已知数列{an}满足:a1= (1) 求数列{an}的通项公式; 解:将条件变为:1- 1-

3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

1 n-1 n n =(- ,因此{1- }为一个等比数列,其首项为 1 ) a n-1 an 3 an

1 1 n ? 3n 1 1 n = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an= n (n?1)????1? 3 3 -1 a1 3 an 3

练习:设数列 ?an ? 满足下列条件,试求各通项: (1) a1 ? 0, an ? 3an?1 ? 2(n ? 2,3,4?) (2) a1 ? a, an?1 ? an ? n(n ? 1,2,3?) (3) a1 ? 1, (n ? 2)(an ? 1) ? nan?1 (n ? 1,2,3?) (4) a1 ? 1, an?1 ? an ? nan?1an (n ? 2,3,4?) (5) a1 ? 1, an ? 3n?1 ? 2an?1 (n ? 2,3,4?) (6) a1 ? 0, a2 ? 1, an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 1(n ? 1,2,3,?) (7) a1 ? 7, an?1 ? 5an ? 2 ? 3n?1 ? 4(n ? 1,2,3,?) (8) a1 ? 1, a n ?

4 ? an?1 (n ? 2,3,4,?) 3 ? a n?1
(p、q 均为常数)(二阶递归)

类型Ⅲ: an?2 =p an ?1 +q an

an?2 =p an ?1 +q an
{ an ?1 - ? an }是 G.P 特殊地

?? ? ? ? p 解出 ? 、 ? 因此 an?2 - ? an ?1 = ? ( an ?1 - ? an )∴ ? ?? ? ?q ?

an?2 ? pan?1 ? qan

? p ? q ? 1?



分析:∵ p ? q ? 1 ∴ p ? 1? q

an?2 ? ?1 ? q ?an?1 ? qan ? an?1 ? q?an?1 ? an ?
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an?2 ? an?1 ? ?q?an?1 ? an ?
an? 2 ? an?1 ? ?q an?1 ? an
∴ ?an?1 ? an ?是以 a 2 ? a1 为首项,公比为 ? q 的等比数列 例 1、 a1 ? 0 , a2 ? 1 , an ? 3an?1 ? 2an?2 例 2:a1=1,a2=

?n ? 3?

,求 an

5 3

an?2 =

5 2 an ?1 - an ,求数列{ an }的通项公式 an 。 3 3

5 ? ?? ? ? ? 3 2 ? 解得: ? =1、 ? = an?2 - an ?1 =( an ?1 - an ) ? 3 ? ?? ? ? 2 ? 3 ?
2 2 , an?2 - an ?1 = ( an ?1 - an ) a2-a1= 3 3

? 2? ∴ an - an ?1 = ? ? ? 3? ? 2? +? ? ? 3?
n?2

n?1

∴ an =( an - an ?1 )+

? 2? ( an ?1 - an?2 )+┈+( a2-a1)+a1= ? ? ? 3?
2n ∴ an =3- n?1 3

n ?1

+┈+

2 2n +1=3- n?1 . 3 3

同式题:已知a1=1, a2=3,an+2=3an+1-2 an , 求an

双数列型
解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 7. 已 知 数 列 中 , ; 数 列 中 , 。 当 时 ,

,求



解:因

所以

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即 又因为

所以

即 由<1>、<2>得:

例 9.数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an n ? N ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;

*

1 是否存在最大的整数 m , (n ? N * ),Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) , n(12 ? a n ) m * 使得对任意 n ? N ,均有 Tn ? 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 32 3、已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,
⑶设 bn = ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n ⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。
⑵设数列 c n ? 分析: 由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关, n }中又有 S n?1 =4a n +2, {a 可由 S n? 2 -S n?1 作切入点探索解题的途径. 解 : (1) 由 S n?1 =4a n ?2 , S n? 2 =4a n?1 +2 , 两 式 相 减 , 得 S n? 2 -S n?1 =4(a n?1 -a n ) , 即 a n? 2 =4a n?1 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键,注意 加强恒等变形能力的训练) a n? 2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n ①

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已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3


n?1

由①和②得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2



(2006 年江苏卷)设数列 {a n } 、 {bn } 、 {c n } 满足: bn ? a n ? a n? 2 , c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2 (n=1,2,3,?) , 证明: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,?) 证明: 1 必要性:设数列 {a n } 是公差为 d1 的等差数列,则:
?

bn?1 ? bn ? (an?1 ? an?3 ) ? (an ? an?2 ) = (an?1 ? an ) ? (an?3 ? an?2 ) = d1 - d1 =0, ∴ bn ? bn?1 (n=1,2,3,?)成立; 又 cn?1 ? cn ? (an?1 ? an ) ? 2 (an? 2 ? an?1 ) ? 3(an?3 ? an?2 ) =6 d1 (常数) n=1,2,3,?) (
∴数列 {c n } 为等差数列。

2 ? 充分性:设数列 {cn } 是公差为 d 2 的等差数列,且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,?) ,
∵ c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2 ??① ∴ cn?2 ? an?2 ? 2an?3 ? 3an?4 ??② ①-②得: cn ? cn?2 ? (an ? an?2 ) ? 2(an?1 ? an?3 ) ? 3(an?2 ? an?4 ) = bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 ∵ cn ? cn?2 ? (cn ? cn?1 ) ? (cn?1 ? cn?2 ) ? ?2d 2 ∴ bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 ? ?2d 2 ??③ 从而有 bn?1 ? 2bn?2 ? 3bn?3 ? ?2d 2 ??④ ④-③得: (bn?1 ? bn ) ? 2(bn?2 ? bn?1 ) ? 3(bn?3 ? bn?2 ) ? 0 ??⑤ ∵ (bn?1 ? bn ) ? 0 , bn? 2 ? bn?1 ? 0 , bn?3 ? bn? 2 ? 0 , ∴由⑤得: bn?1 ? bn ? 0 (n=1,2,3,?) , 由此,不妨设 bn ? d 3 (n=1,2,3,?) ,则 an ? a n? 2 ? d 3 (常数) 故 cn ? an ? 2an?1 ? 3an?2 ? 4an ? 2an?1 ? 3d 3 ??⑥ 从而 cn?1 ? 4an?1 ? 2an?2 ? 3d 3 ? 4an?1 ? 2an ? 5d 3 ??⑦ ⑦-⑥得: cn?1 ? cn ? 2(an?1 ? an ) ? 2d 3 , 故 a n ?1 ? a n ?

1 1 (c n ?1 ? c n ) ? d 3 ? d 2 ? d 3 (常数) n=1,2,3,?) ( , 2 2

∴数列 {a n } 为等差数列。 综上所述: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,?) 。

又称派生数列
【高考热点】 1. 所谓派生数列,是指利用一个或几个已知数列产生新数列。例如,从一个数列中按一定 的规律抽取一部分项构成一个新数列(子数列) ;又如数列 ?an ? 的前 n 项的和数列 S n 、 或由 an 构成新的数列 ?bn ? 、或由两个数列 an 、 bn 构成新的数列 ?cn ? 等等。
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? ?

2. 派生数列是综合性的问题,一般可转化为等差数列或等比数列,或用数列中的常用思想 方法求解。 【课前预习】 1. 若数列 ?an ? ? n ?N? ? 是等差数列,则有数列 bn ?

a1 ? a2 ? ? ? an ? n ?N? ? 也为等差数 n 列 , 类 比 上 述 性 质 , 相 应 的 , 若 数 列 {cn } 是 等 比 数 列 , 且 cn ? 0 ? n ?N? ? , 则 有

dn ? __________ ? n ?N? ? 也是等比数列。
A.40 B.45

2. 在等差数列 {an } 中,公差 d ? 1, a4 ? a17 ? 8 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? ( C.50 ,则 a5 等于 D.55 ( D.22

B )

3. 在数列{an}中,a1=2, ? A.12

?a n ?1 ? a n ? 2(n为奇数) ?a n ?1 ? 2a n (n为偶数)
B.14

C )

C.20

4. 有限数列 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , S n 为其前 n 项和,若定义

S1 ? S 2 ? ? ? S n 为 A 的“凯 n
(B )

森和”如有 99 项的数列 (a1 , a2 ,?, a99 ) 的“凯森和”为 1000,则有 100 项的数列

(1, a1 , a2 ,?, a99 ) 的“凯森和”为

A.1001 B.991 C.999 D.990 5. 已知公差不为零的等差数列的第 k 、 n 、 p 项依次构成等比数列的连续三项,则此等比数 列的公比 q 是 ( ) A.

n? p k ?n

B.

p?n k?p

C.

k?p 2n

D.

k?p n2

6. (04 北京)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个 常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 是等和数列, 且 这个数列的前 n 项和 【典型例题】 , 公和为 5, 那么 的值为________3______, . 的计算公式为_______________

例 1 (1)已知数列 ?cn ? ,其中 cn ? 2 n ? 3n ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列,求常数 p . (2)设 ?an ? , ?bn ? 是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明数列 ?cn ? 不是 等比数列.

例 2 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和.(n∈N ). (1) 若数列{an}单调递增,且 a2 是 a1、a5 的等比中项,证明: S n ? S n?2 ? 2 S n?1 . (2) 设{an}的首项为 a1 ,公差为 d,且 a1 ?

*

3 d (d ? 0) ,问是否存在正常数 c ,使 2 S n ? c ? S n?2 ? c ? 2 S n?1 ? c 对任意自然数 n 都成立,若存在,求出 c(用 d

表示) ;若不存在,说明理由.( c ?

a1 ) 3

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【本课小结】 【课后作业】 1. 已知数列{a n }是首项 a1>0,q>-1 且 q≠0 的等比数列,设数列{b n }的通项 b n =a n?1 - ka n? 2 (n∈N) ,数列{a n }、{b n }的前 n 项和分别为 S n 、T n .如果 T n >kS n 对一切自然 数 n 都成立,求实数 k 的取值范围. 2. 已知抛物线 x2 ? 4 y , 过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 , 又过点 P1 作

1 1 的直线交抛物线于点 P ,再过 P 作斜率为 的直线交抛物线于点 P , ? ,如 2 2 3 2 4 1 此继续,一般地,过点 P 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P ( xn , yn ) . n n 2 (1) 令 bn ? x2n?1 ? x2n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列; 3 1 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S n ? 1 与 的大小 4 3n ? 10
斜率为

数列的通项及递推关系
一、基础题: 1 1 1 1 1. 数列 1,, , , ? 的一个通项公式为 an ? ________. 3 7 15 31 1 1 1 1 , ,? , ? 的一个通项为 an ? ________. 2. 数列 ? 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 9 ?11 1 2 3 4 3. 数列 1 , 2 ,3 , 4 ? 的一个通项为___________________. 2 3 4 5
4.

1,3, 6,10,15,?的一个通项为___________________.

5. 数列 3,33,333,3333,?的一个通项为_______________. 6. 已知数列 {an } 满足: a1 ? 2, an?1 ? 3an ? 2 ,则 an ? ________. 7. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 且 an?1 ? an ? 2n ,则 a20 ? ____. 8. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

an ,则 an ? ________. an ? 1

二、解答题:
1. 已知数列 {an } 的前 n 项和满足 Sn ? 1 ? 2an ,求通项公式 an .
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2. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,根据下列条件,求 an .① Sn ? 3n ? 2 ;② Sn ? n 2 ? 3 . n 3. 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

an 求数列的通项 an . 1 ? 3an

4. 在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 5 且 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 ,求 {an } 的通项公式. 5. 已知数列 {an } 中, Sn 是它们的前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2 (n ? 1, 2,3?) , a1 ? 1 , ①设 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列 {bn } 是等比数列; ②设 Cn ?

an , ,求证: {Cn } 是等差数列; 2n

③求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式.

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