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§3.1 导数的概念及运算


§ 3.1

导数的概念及运算

1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-f?x1? 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 ,若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变 x2-x1 Δy 化率可表示为 . Δx 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y

=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim →
0

Δx 0Δx

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的 Δx Δx→0
Δx 0Δx

导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x ,即 f′(x0)= lim → (2)几何意义

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0

函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0, f(x0))处的切线的斜率. 相 应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. Δx

4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 为常数) f(x)=xα (α∈Q*) f(x)=sinx 导函数 f′(x)=__0__ f′(x)=αxα
-1

f′(x)=cos_x

f(x)=cosx f(x)=ax (a>0) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f(x)=lnx 5.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2

f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a f′(x)=ex 1 f′(x)= xlna f′(x)= 1 x

6.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x=y′u· u′x,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)若 f(x)=a3+2ax-x2,则 f′(x)=3a2+2x.( × ) (6)函数 y= x3的导数是 y′= 3x2.( × )

1 1.设函数 f(x)= ax3+bx(a≠0),若 f(3)=3f′(x0),则 x0 等于( 3 A.± 1 C.± 3 答案 C 解析 由已知得 f′(x)=ax2+b. B. 2 D.2

)

2 又 f(3)=3f′(x0),则有 9a+3b=3ax2 0+3b,所以 x0=3,则 x0=± 3,故选 C.

2. 如图所示为函数 y=f(x), y=g(x)的导函数的图象, 那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是(

)

答案 D 解析 由 y=f′(x)的图象知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减, 说明函数 y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除 A,C. 又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象在 x=x0 处相交, 说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D. 3.(2014· 广东)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为________________. 答案 5x+y+2=0 解析 因为 y′|x=0=-5e0=-5, 所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为 y-(-2)=-5(x-0), 即 5x+y+2=0. 4.曲线 y=e 答案 1 3
-2x -2x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为________.

解析 ∵y′=-2e k=-2,

,曲线在点(0,2)处的切线斜率

∴切线方程为 y=-2x+2,该直线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角 形如图所示, 2 2 其中直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点为 A( , ), 3 3 1 2 1 ∴三角形的面积 S= ×1× = . 2 3 3

题型一 利用定义求函数的导数

例 1 用定义法求函数 f(x)=x2-2x-1 在 x=1 处的导数. 解 方法一 Δy=f(x+Δx)-f(x) =(x+Δx)2-2(x+Δx)-1-(x2-2x-1) =x2+2x·Δx+(Δx)2-2x-2Δx-1-x2+2x+1 =(2x-2)Δx+(Δx)2, ?2x-2?Δx+(Δx) Δy 所以 lim = lim = lim [(2x-2)+Δx]=2x-2. Δx Δx→0Δx Δx→0 Δx→0 所以函数 f(x)=x2-2x-1 在 x=1 处的导数为 f′(x)|x=1=2×1-2=0. 方法二 Δy=f(1+Δx)-f(1) =(1+Δx)2-2(1+Δx)-1-(12-2×1-1) =1+2Δx+(Δx)2-2-2Δx-1+2 =(Δx)2, 所以 lim →
Δx 2

Δy Δx2 = lim = lim Δx=0. 0Δx Δx→0 Δx Δx→0

故 f′(x)|x=1=0. 思维升华 (1)求函数 f(x)的导数步骤: ①求函数值的增量 Δy=f(x2)-f(x1); Δy f?x2?-f?x1? ②计算平均变化率 = ; Δx x2-x1 ③计算导数 f′(x)= lim →
Δx

Δy . 0Δx

(2)利用定义法求解 f′(a),可以先求出函数的导数 f′(x),然后令 x=a 即可求解,也可直接 利用定义求解. 1 Δy (1)函数 y=x+ 在[x,x+Δx]上的平均变化率 =________;该函数在 x=1 处 x Δx 的导数是____________________________________. (2)已知 f(x)= 1 ,则 f′(1)=________. x 1 (2)- 2

1 答案 (1)1- 0 x?x+Δx?

1 1 解析 (1)∵Δy=(x+Δx)+ -x- x x+Δx -Δx 1 1 =Δx+ - =Δx+ . x+Δx x x?x+Δx? ∴ Δy 1 Δy =1- .y′|x=1= lim =0. Δx Δx→0Δx x?x+Δx?

(2)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= = ∴ , 1+Δx?1+ 1+Δx? -Δx

1- 1+Δx ?1- 1+Δx??1+ 1+Δx? 1 -1= = 1+Δx 1+Δx 1+Δx?1+ 1+Δx?

Δy 1 =- , Δx 1+Δx?1+ 1+Δx?
Δx 0Δx

∴ lim →

Δy = lim →

Δx 0

1 =- . 2 1+Δx?1+ 1+Δx?

-1

1 ∴f′(1)=- . 2 题型二 导数的运算 例 2 求下列函数的导数: (1)y=ex· lnx; 1? 2 1 (2)y=x? ?x +x+x3?; π? (3)y=sin2? ?2x+3?; (4)y=ln(2x+5). 1 解 (1)y′=(ex· lnx)′=exlnx+ex· x 1 =ex(lnx+ ). x 1 2 (2)∵y=x3+1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x π (3)y=sin2(2x+ ) 3 1 1 2 = - cos(4x+ π) 2 2 3 1 1 2 故设 y= - cosu,u=4x+ π, 2 2 3 1 则 yx′=yu′· ux′= sinu· 4 2 2 =2sinu=2sin(4x+ π). 3 (4)设 y=lnu,u=2x+5,则 y′x=y′u· u′x, 因此 y′= 1 2 · (2x+5)′= . 2x+5 2x+5

思维升华 (1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变 形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量,提高运算 速度减少差错;

(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后由 外向内逐层求导. (1)f(x)=x(2015+lnx),若 f′(x0)=2016,则 x0 等于( A.e2 C.ln2 B.1 D.e ) )

(2)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( A.-1B.-2C.2D.0 (3)若 f(x)= 3-x+e2x,则 f′(x)=________. 1 答案 (1)B (2)B (3)- +2e2x 2 3-x

1 解析 (1)f′(x)=2015+lnx+x× =2016+lnx,故由 f′(x0)=2016 得 2016+lnx0=2016,则 x lnx0=0,解得 x0=1. (2)f′(x)=4ax3+2bx, ∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. 1 1 (3)f′(x)= · · (3-x)′+e2x· (2x)′ 2 3-x 1 =- +2e2x. 2 3-x 题型三 导数的几何意义 b 例 3 设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明: 曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 并求此定值. 7 解 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x

?2a-2=2, 于是? b 7 ?a+4=4,
?1+ 32?(x-x0), ? x0?

b 1

?a=1, ? 3 解得? 故 f(x)=x- . x ? b = 3. ?

3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0= x

3? ? 3? 即 y-? ?x0-x ?=?1+x2?(x-x0).
0 0

6 令 x=0,得 y=- , x0 6? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为? ?0,-x ?.
0

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x |=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ? 2? x0? 0 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形面积为定值, 且此定值为 6. 思维升华 导数几何意义的应用,需注意以下两点: (1)当曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于 x 轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方 程是 x=x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线 方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在 切线上求解. b (1)(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 x P(2,-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是______. (2)已知函数 f(x)=x3-3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的直线方程为 y=ax+16,则 实数 a 的值是________. 答案 (1)-3 (2)9 b b 解析 (1)y=ax2+ 的导数为 y′=2ax- 2, x x 7 直线 7x+2y+3=0 的斜率为- . 2

?4a+2=-5, 由题意得? b 7 ?4a-4=-2,

b

?a=-1, ? 解得? 则 a+b=-3. ?b=-2, ?

(2)先设切点为 M(x0,y0),则切点在曲线上有 y0=x3 0-3x0,①
2 求导数得到切线的斜率 k=f′(x0)=3x0 -3,

y0-16 又切线 l 过 A、M 两点,所以 k= , x0 y0-16 则 3x2 ,② 0-3= x0 联立①②可解得 x0=-2,y0=-2,

-2-16 从而实数 a 的值为 a=k= =9. -2

混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 典例:若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ 25 A.-1 或- 64 7 25 C.- 或- 4 64 21 B.-1 或 4 7 D.- 或 7 4 15 x-9 都相切,则 a 等于( 4 )

易错分析 没有对点(1,0)的位置进行分析,误认为是切点而失误. 解析 因为 y=x3,所以 y′=3x2, 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0), 则在该点处的切线斜率为 k=3x2 0,
2 所以切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0), 3 即 y=3x2 0x-2x0.

3 又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= . 2 15 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切可得 4 25 a=- , 64 3 27 27 15 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切, 2 4 4 4 可得 a=-1. 答案 A 温馨提醒 1.对于曲线切线方程问题的求解,对曲线的求导是一个关键点,因此求导公式,

求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点,应首先确定其是否为曲线的切点, 进而选择相应的方法求解.

方法与技巧 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值;(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0)是 一个常数,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应

用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价 性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.复合函数的导 数要正确分解函数的结构,由外向内逐层求导. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者 包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为( ln2 A.e2B.eC. D.ln2 2 答案 B 解析 由 f(x)=xlnx 得 f′(x)=lnx+1. 根据题意知 lnx0+1=2,所以 lnx0=1,因此 x0=e. 2.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2x· f′(1)+lnx,则 f′(1)等于( A.-e C.1 答案 B 1 解析 由 f(x)=2xf′(1)+lnx,得 f′(x)=2f′(1)+ . x ∴f′(1)=2f′(1)+1, 则 f′(1)=-1. 3.(2014· 大纲全国)曲线 y=xex A.2eB.eC.2D.1 答案 C 解析 y′=ex 1+xex 1=(x+1)ex 1,
- - - -1

)

)

B.-1 D.e

在点(1,1)处切线的斜率等于(

)

故曲线在点(1,1)处的切线斜率为 y′|x=1=2. 4.与直线 2x-y+4=0 平行的抛物线 y=x2 的切线方程是( A.2x-y+3=0 C.2x-y+1=0 B.2x-y-3=0 D.2x-y-1=0 )

答案 D 解析 对 y=x2 求导得 y′=2x.设切点坐标为(x0,x2 0),则切线斜率为 k=2x0. 由 2x0=2 得 x0=1,故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 5.曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为( 1 A. 12 1 C. 3 答案 B 解析 求导得 y′=3x2,所以 y′|x=1=3, 所以曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1), 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形, 2 三个交点的坐标分别是( ,0),(1,0),(1,1), 3 1 2 1 于是三角形的面积为 ×(1- )×1= ,故选 B. 2 3 6 6.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2x· f′(2),则 f′(5)=________. 答案 6 解析 对 f(x)=3x2+2xf′(2)求导, 得 f′(x)=6x+2f′(2). 令 x=2,得 f′(2)=-12. 再令 x=5,得 f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 7.已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x) 在点 P 处的切线方程是__________. 答案 x-y-2=0 解析 根据导数的几何意义及图象可知,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的 斜率 k=f′(2)=1,又过点 P(2,0), 所以切线方程为 x-y-2=0. 8.已知函数 f(x)= x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有共 同的切线,则切线方程为________. 1 e 答案 y= x+ 2e 2 1 a 解析 f′(x)= ,g′(x)= (x>0), x 2 x 由已知得错误!解得 a=错误!,x=e2. 1 B. 6 1 D. 2 )

1 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为 k=f′(e2)= , 2e 1 ∴切线的方程为 y-e= (x-e2), 2e 1 e 即 y= x+ . 2e 2 9.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 解 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知令 3x2+1=4,解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限,∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 10.已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 解 (1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y+6=13(x-2) 即 y=13x-32. (2)设切点坐标为(x0,y0),
3 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1,y0=x0+x0-16, 2 ∴直线 l 的方程为 y=(3x0 +1)(x-x0)+x3 0+x0-16.

又∵直线 l 过坐标点(0,0),
2 ∴0=(3x0 +1)(-x0)+x3 0+x0-16,

整理得,x3 0=-8, ∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,

得切点坐标(-2,-26), k=3×(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11.函数 f(x)=e cosx 的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( A.0 C.1 答案 B 解析 由 f(x)=excosx,得 f′(x)=excosx-exsinx.所以 f′(0)=e0cos0-e0sin0=1,即倾斜角 π α 满足 tanα=1.根据 α∈[0,π),得 α= . 4 π π π 12.若函数 f(x)=cosx+2xf′( ),则 f(- )与 f( )的大小关系是( 6 3 3 π π A.f(- )=f( ) 3 3 π π C.f(- )<f( ) 3 3 答案 C π 解析 依题意得 f′(x)=-sinx+2f′( ), 6 π π π ∴f′( )=-sin +2f′( ), 6 6 6 π 1 ∴f′( )= , 6 2 ∴f′(x)=-sinx+1. π π ∵当 x∈(- , )时,f′(x)>0, 2 2 π π ∴f(x)=cosx+x 是(- , )上的增函数, 2 2 π π π π π π 又- <- < < ,∴f(- )<f( ). 2 3 3 2 3 3 13.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的 倾斜角互补,则 a 的值为________. 答案 27 8 π π B.f(- )>f( ) 3 3 D.不确定 ) π B. 4 π D. 2
x

)

解析 设切点坐标为(t,t3-at+a). 由题意知,f′(x)=3x2-a,

切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a,① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).② 将点(1,0)代入②式得,-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t), 3 解之得,t=0 或 t= . 2 3 分别将 t=0 和 t= 代入①式, 2 27 得 k1=-a 和 k2= -a, 4 27 由题意,它们互为相反数得 a= . 8 1 14.若函数 f(x)= x2-ax+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 2 答案 [2,+∞) 1 1 解析 ∵f(x)= x2-ax+lnx,∴f′(x)=x-a+ . 2 x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点, 1 1 即 x+ -a=0 有解,∴a=x+ ≥2. x x 2 15.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-lnx)(a>0). x 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为 同一条直线. 解 根据题意有 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a. 所以 f′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1), 得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1), 得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以两条切线不是同一条直线.


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