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1.2充分必要条件及充要条件


复 习 旧 知

1、命题:可以判断真假的陈述句 可以写成:若p则q。 2、四种命题及相互关系
原命题 若 p则 q 互否 互为 互逆 互逆 逆命题 若 q则 p 逆否 互否

否命题 若 p则 q

逆否命题 若 q则 p

复习引入



判断下列命题是真命题还是假命题?

(1)若x>a2+b2,则x>2ab。

(2)若ab=0,则a=o。
(3)有两角相等的三角形是等腰三角形。

(4)若a2>b2,则a>b。
(1)、(3)为真命题。 (2)、(4)为假命题。

充分条件与必要条件:一般地,如果已知 p ? q 那 么就说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.

例如:
x ? a ? b ? x ? 2 ab
2 2

x ? a ? b 是 x ? 2 ab 的充分条件
2 2

x ? 2 ab 是 x ? a ? b 的必要条件
2 2

两三角形全等 ? 两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件. 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

例1:下列“若 ,则q”形式的命题中,哪些 p 命题中的 p是q 的充分条件? (1)若x ? 1,则x ? 4 x ? 3 ? 0;
2

(2)若f ( x ) ? x,则 f ( x )为增函数 ; (3)若x为无理数, 则x 为无理数.
2

解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题. 所以, 命题(1)(2)中的p是q的充分条件 .
如果“若p,则q”为假命题,那么由 推不出q,记作 p p ?? q。此时,我们就说 不是q的充分条件, 不是p的必 p q 要条件。

例 2:下列“若 ,则q”形式的命题中,哪些 p 命题中的 q是p的必要条件? ()若x ? y,则x ? y ; 1
2 2

( )若两个三角形全等, 2 则这两个三角形的面积 相等; (3) 若a ? b, 则ac ? bc .

解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题. 所以, 命题(1)(2)中的q是p的必要条件 .

充分条件必要条件理解概念
定义知“ p ? q ”表示有p必有q, 所以p是q的充分条件,但同时说q是p的必要 条件是为什么呢?
这时逆否命题:¬q,则¬P. 是真命题! 即:“有p就有q”,那么“无q必定无p”,q 对p而言是必不可少的! q是p的必要条件说明没有q就没有p了, q是 p成立的必不可少条件,当然有q 未必一定有p.

理解概念
充分性:条件是充分的,也就是说条件是 充足的,条件是足够的,条件是足以保证结论 成立的。 “有之必成立,无之未必不成立” 你能举例说明吗?生活中有吗?

若张三是高中生,则张三是中学生。
必要性:必要就是必须,必不可少。 “有之未必成立,无之必不成立” 你能举例说明吗?生活中有吗?

【方法小结】 判别充分条件 与必要条件
1、判别步骤:

① 认清条件和结论。 ② 考察p
2、判别技巧:

q和q

p的真假。

① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

充要条件的定义
一般地, 如 果 既 有 p ? q , 又 有 q ? p , 就 记 作 :p ? q. 此 时 , 我 们 说 , p 是 q的 充 分 必 要 条 件 , 简 称 充 要 条 件 . 显 然 , 如 果 p 是 q的 充 要 条 件 , 那 么 q 也 是 p的 充 要 条 件 .

例 如 、 p :内 错 角 相 等 , q :两 直 线 平 行 .

分 析 : p ? q, 又 q ? p, 即 p ? q.

如果p ? q,那么p与q互为充要条件。
练习:p:三角形的三条边相等; q:三角形的三个角相等.

例3:下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p : b ? 0,q : 函数f ( x ) ? ax ? bx ? c是偶函数 ;
2

(2)p : x ? 0,y ? 0,q : xy ? 0; (3) p : a ? b,q : a ? c ? b ? c .

解 : 在(1)(3)中,p ? q,所以(1)(3)中的p是q的充要条件。在 (2)中,q ?? p,所以(2)中的p不是q的充要条件。

各种条件的可能情况
1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件

2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1)p 2)若p 3)若p q 且q q 且q q 且q p,则p是q的

充分非必要条件
p,则p是q的 必要非充分条件 p,则p是q的 既不充分也不必要条件

4)p

q 且q

p,则p是q的 充分且必要条件

巩固练习
练 习 1 、 在 下 列 各 题 中 , p 是 q的 什 么 条 件 ? ( 课 本 P 1 2 , 练 习 2 ) ( 1 ) p : x ? 3 x ? 4,
2

q:x ?

3x ? 4;

( 2 ) p : x ? 3 ? 0, ( 3 ) p : b ? 4 a c ? 0 ( a ? 0 ),
2 2

q : ( x ? 3)( x ? 4 ) ? 0; q : ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)有 实 根 ;
2

( 4 ) p : x ? 1是 方 程 a x ? b x ? c ? 0的 一 个 根 ,

q : a ? b ? c ? 0.

练 习 2 、 在 直 角 坐 标 系 中 ,2 m ? 3 ? m , 2 ? m ) (
2

在 第 四 象 限 的 充 要 条 件 是 ________________.

课堂小结
(1)充分条件、必要条件、充要条件的概念. (2)判断“若p,则q”命题中,条件p是q的什么条

件.

充要条件判断:

如果p ? q,那么p与q互为充要条件。

3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 一般情况下若条件甲为x∈A,条件乙为x∈B 1)若A ? B且B ? A,则甲是乙的 充分非必要条件 2) 若A ? B且B ? A,则甲是乙的 必要非充分条件 3)若A ? B且B ? A,则甲是乙的 既不充分也不必要条件

4)若A=B ,则甲是乙的充分且必要条件。

作业: 1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 必要而不充分 “a∈N”的____________________条件。 x>1 2.x>2的一个必要而不充分条件是_____________。 充分而不必要 条件q:“直线l的斜率为-2”,则p是q的_____________ 条件。

3.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”,

4.cos ? “ 条件。

? ?

3 2

”是“ ? ? 2 k ? ?

5? 6

必要而不充分 , k ? Z ” 的___________

5.设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t是s 充分 的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t的_______条件, 充要 r是t的________条件。


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