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导数的分类讨论理科.知识讲解.学生版


2015 年一轮复习
导数的分类讨论

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第一阶段·模块课程·导数的分类讨论·知识讲解

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导数的分类讨论
2015 年高考怎么考
考试内容
导数概念及其 几何意义 导数的概念 导数的几何意义

求层次 了解
√ √ √

理解

掌握

y ? x, 根据导数定义求函数 y ? c , y ? x 2 ,y ? x 3 ,

y?
导数 及其 应用 导数的运算

1 , y ? x 的导数 x

导数的四则运算 简单的复合函数(仅限于形如 f (ax ? b) )的导数 导数公式表 利用导数研究函数的单调性 (其中多项式函数不超过 √ √



导数在研究函 数中的应用

三次) 函数的极值、最值(其中多项式函数不超过三次) 利用导数解决某些实际问题 √

√ √

自检自查必考点
一、为什么要分类讨论?
1.利用导数求单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f '( x) ,并对导数进行整理(常用方法:通分、因式分解) ; (3)由 f '( x) ? 0 (或 ? 0 )解出相应的 x 的取值范围. 当 f '( x) ? 0 时, f ( x) 在相应的区间内是单调增函数; 当 f '( x) ? 0 时, f ( x) 在相应的区间内是单调减函数. 一般需要通过列表,写出函数的单调区间. 2.为什么要分类讨论? 在利用导数解决函数的单调性与极值、最值问题时,一般含有参数的导数往往需要分类讨论. 原因在于,求单调区间的第(3)步中会去解一个含参的不等式. 或者,是题目给出的是区间端点含有参数.

二、如何进行分类讨论?
1.先明确是哪类不等式,不同类型的不等式,分类讨论的策略不同! 考试中常碰到的不等式有:一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等 式
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2.再观察一下区间(定义域)和参数范围. 3.结合导函数图象,开始讨论 不同类型不等式的讨论策略: (1)一元一次不等式型:①参数在一次项系数上: 如: f '( x) ? e x (ax ? 1) ? 0 , x ? R , a ? R (i)当 a ? 0 时, f '( x) ? 1 ? 0 , f ( x) 增区间为 R ; (ii)当 a ? 0 时,

1 1 ? ?) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? , f ( x) 增区间是 (? , a a 1 1 ? ). 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? , f ( x) 减区间是 (?? , a a (ii)当 a ? 0 时,

1 1 ? ); 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? , f ( x) 增区间是 (?? , a a 1 1 ? ?) . 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? , f ( x) 减区间是 (? , a a ②参数在常数项上:
如: f '( x) ? e x ( x ? a) ? 0 , x ? 0 , a ? R
? ?) ; (i)当 a …0 时, f '( x) ? 0 恒成立, f ( x) 增区间为 (0 ,

(ii)当 a ? 0 时, ? ?) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?a , f ( x) 增区间为 (?a ,
? a) . 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?a , f ( x) 增区间为 (?? ,
【例1】 设函数

f ( x) ? xekx (k ? 0) ,求函数 f ( x) 的单调区间.

(2)一元二次不等式型:①参数在二次项系数: 第一种,能因式分解型; 如: f '( x) ? a( x ? 1)( x ? a) ? 0 , x ? R , a ? R 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 恒成立, f ( x) 为常函数; 当 a ? 0 时, ? 1) , ( a , ? ?) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? a , f ( x) 的增区间是 (?? ,
a) . 由 f '( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? a , f ( x) 的减区间为 (?1,
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当 a ? 0 时,
? ?) ; (i)a ? ?1 , f '( x) ? ?( x ? 1)2 ? 0 且不恒为 0, f ( x) 减区间为 (?? ,

(ii) a ? ?1 时, ? 1) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 a ? x ? ?1 , f ( x) 的增区间是 (a ,
a) , (?1, ? ?) . 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? ?1 , f ( x) 的减区间是 (?? ,

(iii) ?1 ? a ? 0 时, a) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? a , f ( x) 的增区间是 (?1,
? 1) , ( a , ? ?) . 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? a , f ( x) 的减区间是 (?? ,

注:分类可以有层次感,在大类下还可以再分小类,这样逻辑比较清晰严谨,不易混乱. 第二种,不能因式分解型; 如: f '( x) ? ax2 ? x ? 1 ? 0 , x ? R , a ? R 当 a ? 0 时, ? ?) ; 由 f '( x) ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 , f ( x) 的增区间是 (?1,
? 1) 由 f '( x) ? x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 , f ( x) 的减区间是 (?? ,

当 a ? 0 时, ? ? 1 ? 4a (i)当 ? ? 0 时,即 a …

1 4
1 4
?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a 或x? 2a 2a

? ?) ; f '( x) ? ax2 ? x ? 1 …0 恒成立且不恒为 0, f ( x) 的增区间是 (?? ,

(ii)当 ? ? 0 时,即 0 ? a ?

由 f '( x) ? ax2 ? x ? 1 ? 0 ,得 x ?

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4 a f ( x) 的增区间是 (?? , ) ,( , ? ?) ; 2a 2a

由 f '( x) ? ax2 ? x ? 1 ? 0 ,得
f ( x) 的减区间是 (

?1 ? 1 ? 4 a ?1 ? 1 ? 4 a ?x? 2a 2a

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a , ). 2a 2a ?1 ? 1 ? 4 a ?1 ? 1 ? 4 a ?x? 2a 2a

当 a ? 0 时, ? ? 1 ? 4a ? 0 由 f '( x) ? ax2 ? x ? 1 ? 0 ,得
f ( x) 的增区间是 (

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a , ). 2a 2a

?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4a 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? 或x? 2a 2a ?1 ? 1 ? 4a ?1 ? 1 ? 4 a f ( x) 的减区间是 (?? , ) ,( , ? ?) . 2a 2a

②参数不在二次项系数上: 第一种,能因式分解型 如: f '( x) ? ( x ? 1)( x ? a) ? 0 , x ? R , a ? R

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当 a ? 1 时,
? ?) ; f '( x) ? ( x ? 1)2 …0 恒成立且不恒为 0, f ( x) 增区间为 (?? ,

当 a ? 1 时, 1) , ( a , ? ?) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? a , f ( x) 增区间为 (?? ,
a) . 由 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? a , f ( x) 减区间为 (1,

当 a ? 1 时, a ) , (1, ? ?) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 , f ( x) 增区间为 (?? ,
1) . 由 f '( x) ? 0 ,得 a ? x ? 1 , f ( x) 减区间为 (a ,

第二种,不能因式分解型 如: f '( x) ? x2 ? ax ? 1 ? 0 , x ? R , a ? R
? ? a2 ? 4

当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?2 剟a

2 时,

? ?) . f '( x) ? x2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立且不恒为 0, f ( x) 增区间是 (?? ,

当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 a ? 2 或 a ? ?2 时,
?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 由 f '( x) ? x2 ? ax ? 1 ? 0 ,得 x ? 或x? 2 2

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 f ( x) 增区间是 (?? , ) ,( , ? ?) ; 2 2
?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 由 f '( x) ? 0 ,得 ?x? 2 2
2 ?a ? a 2 ? 4 f ( x) 减区间是 ( ?a ? a ? 4 , ). 2 2

【例2】 设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点.

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【例3】 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R) ,其中 a ? R

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 3

【例4】 设函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x , a ? R ,讨论 f ( x ) 的单调性. x

【例5】 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

k 2 x (k ? 0) . 2 (Ⅰ)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程;
(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间.

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(3)分式不等式型 这种类型往往可以转化为一元二次不等式型解决.
【例6】 已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,求导函数 f ?( x) ,并确定 f ( x) 的单调区间. ( x ? 1) 2

(4)指数不等式型 如: f '( x) ? e x ? a ? 0 , x ? R , a ? R
? ?) ; 当 a …0 时, f '( x) ? 0 恒成立, f ( x) 增区间为 (?? ,

当 a ? 0 时,
? ?) ; 由 f '( x) ? e x ? a ? 0 ,得 x ? ln(?a) , f ( x) 增区间为 (ln(?a) ,

ln(?a)) 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln(? a ) , f ( x) 减区间为 (?? ,
【例7】 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? eax

? 3x ,其中 a ? R .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.

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(5)对数不等式型 a?R 如: f '( x) ? ln x ? a ? 0 , x ? 0 ,
? ?) ; 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? e? a , f ( x) 增区间是 (e? a , e? a ) . 由 f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e? a , f ( x) 减区间是 (0 ,
【例8】 已知函数 f ( x) ?

a ? ln x (a ? R) ,求 f ( x) 的单调区间. x

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